Mính sẽ đề xuất 1 số bài về số nguyên tố để mọi người luyện tập .
Bài 125: CMR nếu n là hợp số thì $2^{n}-1$ cũng là hợp số.
Bài 126: Cho n là số thự nhiên (n>0). Giả sử $2^{n}+1$ là 1 số nguyên tố. Hãy CMR n là một lũy thừa của 2.
Bài 127: CMR tồn tại vô số số nguyên dương a sao cho z=$n^{4}+a$ không là số nguyên tố với mọi n nguyên dương.
Bài 128: Tìm các số tự nhiên n sao cho: n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 và n+15 đều là các số nguyên tố.
Bài 129: Cho số A= $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$. CMR A là 1 hợp số.
Bài 130: CMR với mọi số tự nhiên n>0 thì $19.8^{n}+17$ là hợp số.
Bài 131: Tìm tất cả các số nguyên tố P có dạng: P=$n^{n}+1$, trong đó n là 1 số nguyên dương. Biết P có không nhiều hơn 19 chữ số.
Bài 132: Cho n số nguyên dương lớn hơn 5. CMR trong dãy n+1, n+2, . . ., n+30 có nhiều nhất 8 số nguyên tố.
Bài 132: Cho m, n là các số nguyên. CMR mn($m^{30}-n^{30}$) chia hết cho 14322.

131:có :$20^{20}=2^{20}.10^{20}$
Mà P= $2^n+1$ Có ít hơn 20 chữ số
=> $n<20$
$n=1 => P=2 $ (thỏa mãn)
$n=2=> P=5 $ (thỏa mãn)
$n>2=> P>5$
P lẻ => n chẵn
Chứng minh $n$ ko thể có ước nguyên dương lẻ
Cm bằng cách =_= giả sử $n=(2k+1)k$
Khi đó $n^n= (n^k+1)Q$
$Q>1$
=> chỉ cần xét nốt $n=4/8/6$
~~ thay vào

Bài toán số 11: Giải phương trình: $\sqrt{3x-1}+\sqrt{x^2+17x+1}=x^2+3$
Bài toán số 12: Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} x^3-3xy^2-x+1=x^2-2xy-y^2\\ y^3-3x^2y+y-1=y^2-2xy-x^2 \end{matrix}\right.$

p/s: Trích đề thi HSG tỉnh Thái Bình./.

Câu 12:
$a=x^3-3xy^2-x+1-x^2+2xy+y^2$
$b=y^3-3x^2y+y-1-y^2+2xy+x^2$
$b(x-1)-a=0$ suy ra $$y(-xy^2+y^2+3x^3-5x^2+3x+1-2xy)=0$$
....

Giải phương trình và hệ phương trình
1) $\sqrt{7x+1}-\sqrt{3x+19}=2x-9$
2) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3$
3) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+3y}-\sqrt{x+y-1}=1 \\ \sqrt{x+3y}+x-y=2 \end{matrix}\right.$
4) $\left\{\begin{matrix}(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=144 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=y \end{matrix}\right.$
5) $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+x+y^{2}=7 \\ xy-x+y=3 \end{matrix}\right.$
6) $\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{y-1}=\frac{5}{2} \\ y+2(x-3)\sqrt{x+1}=\frac{-3}{4} \end{matrix}\right.$
7) $\left\{\begin{matrix}(x^{2}+1)(y^{2}+1)+8xy=0 \\ \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{y}{1+y^{2}}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$
8) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1-y^{2}}=1-x \\ \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{3}-y \end{matrix}\right.$
9) $\frac{9}{x^{2}}+\frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}}=1$
10) $\sqrt{x^{3}-3x^{2}}+2\sqrt{(x+1)^{3}}-3x=0$
11) $\sqrt{x^{^{2}}+10x+21} +3\sqrt{x+3}=2\sqrt{x+7}-6$
12) $x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$
P/S: Thân gửi những bạn có nguyện vọng thi trường chuyên PBC thì làm được hết 12 bài này thì coi như đạt yêu cầu phần phương trình và hệ phương trình nhé. Ấy mà mình chưa làm được câu 11, ai chỉ mình với

11) $\sqrt{x^{^{2}}+10x+21} +3\sqrt{x+3}=2\sqrt{x+7}+6$
T nghĩ câu 11 thì phải sửa lại như vậy ms giải đc...

Có thể sử dụng nguyên lí dirichlet ko bn

Mk chưa nghĩ tới

1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$
2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$

1,Với tính thuần nhất của BĐT trên,ta chuẩn hóa:$abc=1$ $ a+b+c \ge 3$

Bài toán quy về CM:$2(a^2+b^2+c^2)+9 \ge 5(a+b+c)$

Ta có:$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2(a+b+c)$(biến đổi tương đương)

Do đó ta chỉ CM:

$a^2+b^2+c^2+6 \ge 3(a+b+c)$

Đặt: $a+b+c=p$ và $ab+bc+ca=q$

$Q.E.D$ \Leftrightarrow $p^2-3p+6\ge 2q$

Theo BĐT schur:$\frac{p^3+9}{2p}\ge 2q$

Ta sẽ CM: $p^2-3p+6 \ge \frac{p^3+9}{2p}$

\Leftrightarrow $(p-3)(p^2-3p+3)\ge 0$

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với $p\ge 3$ $đpcm$

=_= câu bất thật là....

III)2)
$P^{2}\leq 3(\sum \frac{1}{2x^{2}+y^{2}+3})\leq 3(\sum \frac{1}{4x+2y})\leq 3.\frac{1}{9}(\sum \frac{1}{2y}+\frac{1}{x})=\frac{3}{2}$

Mình tưởng bài này ra $\frac{\sqrt{6}}{2}$ chứ nhỉ

Cm
$\frac{1}{\left ( \sqrt{1} +\sqrt{3}\right )^{3}} + \frac{1}{\left ( \sqrt{3} +\sqrt{5} \right )^{3}} +...+ \frac{1}{\left ( \sqrt{2003} + \sqrt{2005}\right )^{3}}< \frac{246}{2007}$

Em muốn hỏi một vài thủ thuật của 570 có ứng dụng được ko @-@

Giải phương trình :v
$\left\{\begin{matrix} x^2 -2y^2+y-5x+6=0& \\ x^2+y^2+xy-4=0 & \end{matrix}\right.$

Cộng 2 pt lại ta có: $2x^2-y^2+xy+y-5x+2=0$
$\Leftrightarrow (x+y-2)(2x-y-1)=0$.....

Cộng vào mà t ko bt tách nhóm
Heyyy sao nhóm đc thế kia /-/

phá dấu GTTĐ xong xét các trường hợp

Cho e xin key chiị tiết ...

Tìm a để pt có nghiệm duy nhất
$|2x-a|=|x+3|-1$

Đề tuyên quang
Cần lắm câu hệ ạ

Tìm nghiệm nguyên
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

Giải pt
$\sqrt[3]{x-16}-\sqrt[3]{x+3}=-1$

tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn $x+3y-z=xyz$

File

Anh ơi file lỗi r ạ
Cho e xin lại tài liệu này dđc ko ạ

Cho $x\geq -1;y\geq 1$ thỏa mãn $\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{2(x-y)^{2}+10x-6y+8}$
Tìm min của $P=x^{4}+y^{2}-5(x+y)+2020$

Tìm nghiệm nguyên: $2^{y}= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$
Cảm ơn.

Giải bất phương trình
$\sqrt{x^{2}-3x+2}+\sqrt{x^{2}-4x+3}\geq2 \sqrt{x^{2}-5x+4}$

Giai he phuong trinh: $\left\{\begin{matrix} 2y(x^2-y^2)=3x\\x(x^2+y^2)=10y \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2y(x^2-y^2)=3x\\x(x^2+y^2)=10y \end{matrix}\right.$
Thấy $(0,0)$là 1 nghiệm của hệ phương trình .
Với $(x,y)\not=(0,0)$
Lấy $(1) chia (2)$
$\frac{2y(x^2-y^2)}{x(x^2+y^2)}=\frac{3x}{10y}$
$<=> \ 3x^4+20y^4-17x^2y^2=0$
....

Giải pt
$\sqrt{1+x}+\sqrt{3-3x}=\sqrt{4x^{2}+1}$

Tìm max biết $x,y \geq1$ ; $x+y+3=xy$
$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$

$x,y \geq 0$
$x+y=4$
Tìm Max $x^{2}+y^{2}$