Giải hệ phương trình

$\ \left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ \frac{xy+xz+yz}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\dpi{200} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\ \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

là sao? bạn giải kỹ hơn giùm mình đi

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

anh giải dùm em luôn đi

 UCLN(m;n)=150 =>m=150k₁ ; n=150k₂    ( k₁;k₂   thuộc N*)        (1)

 BCNN(m;n)=1800=>m=1800/q₁;       n=1800/q₂ (q₁;q_{2 thuộc} N*)       (2)

 Từ (1) và (2) =>    150k₁=1800/q_{1 ;}   150k₂=1800/q₂

                              => k₁q₁=12

                                    k₂q₂=12 

Giải phương trình nghiệm nguyên tìm được k, q thay vô là xong

đặt $\ a=x^{3}$  b c tương tự

      khi đó $\ abc=1\Rightarrow (xyz)^{3}=1\Rightarrow xyz=1$

bài toán viết thành  $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1} $\dpi{200} \leqslant 1$

$\ x^{3}+y^{3}+1=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+xyz\geqslant (x+Y)(2xy-xy)+xyz=(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)$

do đó   $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\geqslant \sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\sum \frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}=1$

đoạn chữ đỏ sao suy ra đc thế bạn? Bé hơn hoặc bằng mà

viet nham

Cho tam giái ABC vuông tại C có BC=a: AC=b; AB=c

Tìm min của $\ P=\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc}$

bài này có cho a,b,c là 3 số dương không bạn

bạn rút gọn bình thường là ra mà chỗ nào có x+y thay bằng 1

kết quả A=-1/xy dùng cô si cho xy là ra

Giải phương trình  

$1+x^{4}=2(1+x)^{4}$

Ý tưởng: $\left\{\begin{matrix} c^{2}=a^{2}+b^{2} \\ \frac{ab}{2}=a+b+c \end{matrix}\right.$

Với $c$ là độ dài canh huyền còn $a;b$ là 2 cạch góc vuông.

vẫn chả giải ra

Cho $a;b;c \in N^{*}$ sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in Z$

Gọi d là ước chung của a và b.

Chứng minh $d\leqslant \sqrt{a+b}$

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ta luôn dựng được một tam giác sao cho diện tích tam giác đó bằng diện tích tứ giác ABCD

Trong sách Nâng cao và phát triển toán 9 có hướng dẫn chứng minh, bạn nên tham khảo sách

BĐT Cauchy mở rộng giải cách khác sánh nè:

Với n=2 thì mệnh đề luôn đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k khi đó

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geqslant n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{k}}$

Ta chứng minh được mệnh đề cũng đúng với n=2k. Thật vậy:

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})+(a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_{2k})\geq k\sqrt[k]{a_{1}a_{2}...a_{k}}+k\sqrt[k]{a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k}}\geqslant 2\sqrt{k^{2}\sqrt[k]{a_{1}a_{2}...a_{2k}}}=2k\sqrt[2k]{a_{1}a_{2}...a_{2k}}$

Khi đó :

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}+(k-1)\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}\geqslant 2k\sqrt[2k]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}.\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}^{k-1}}=2k\sqrt[2k]{\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}^{2k}}=2k\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$

$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}\geqslant (k+1)\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$ 

Do  đó mệnh đề đúng với n=k+1 =>đpcm

$\sum \frac{a^{2}}{\left | a+b \right |}\geq \sum \frac{b^{2}}{\left | a+b \right |}\geq \sum \frac{c^{2}}{\left | a+b \right |}$

Theo mình thì
n lẻ => n=2k+1 =>3^n=3^(2k+1)=3.9^k=3.(8+1)^k=3.BS(8) +3=>3^n chia 8 dư 3 mà 2^n+4^n chia hết cho 8(vì n>=3)=>2^n+3^n+4^n chia 8 dư 3 nên k phải là số cp

sao biết n lẻ vậy bạn

$-1\leq a\leq 3\Rightarrow (a+1)(a-3)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}-2a-3\leq 0$

Tương tự ta có $b^{2}-2b-3\leq 0$ $c^{2}-2c-3\leqslant 0$

Cộng vế theo vế ta được $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(a+b+c)-9\leq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 9+2.1=11$

Vậy max A=11 <=>$\left\{\begin{matrix} a=-1 & & \\ b=-1 & & \\ c=3& & \end{matrix}\right.$(giả sử $c\geq a\geq b$)

Bài 4a: Phân tích được =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết 120

$2^{n}+3^{n}+4^{n}=(3-1)^{n}+3^{n}+(3+1)^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ (mod 3)

Vì T chính phương nên T chia 3 dư 0 hoặc 1.

Nếu n =2k => T chia 3 dư 2 (loại) do đó n=2k+1( T chia 3 dư 1)

Với n $\geq$ 3thì$2^{n}+3^{n}+4^{n}=2^{2k+1}+3^{2k+1}+4^{2k+1}=4^{k}.2+9^{k}.3+16^{k}.4=4^{k}+(8+1)^{k}+16^{k}.4\equiv 3$ (mod 8)

T chính phương => T chia 8 dư (0;1;4) do đó n<3

Giải n=(0;1;2)

Vì số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0

Do đó các cặp số dư khi chia lần lượt a² và b² cho 3 là

(0;0) (0;1) (1;0) (1;1)

Vì a²+b²chia hết 3 nên ta nhận cặp (0;0) => a,b đều chia hết 3