Đến nội dung

OiDzOiOi nội dung

Có 105 mục bởi OiDzOiOi (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#595966 $\sum \frac{b+1}{a+b+1} \geq 2$

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 29-10-2015 - 18:41 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1:

Ta chứng minh được $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{\frac{a+b+1}{b+1}}\geq \frac{9}{\sum \frac{a}{b+1}+1}\geq 2$




#595967 $\sum \frac{b+1}{a+b+1} \geq 2$

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 29-10-2015 - 18:43 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ặc.Sai rồi




#619020 TỔNG HỢP BDT & CÁCH CM

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 07-03-2016 - 23:19 trong Bất đẳng thức và cực trị

 

                               

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

 

BĐT gốc nhé (Cô-si - Svácxơ)   :   $\frac{a^{2}_{1}}{b_{1}}+\frac{a^{2}_{2}}{b_{2}}+...+\frac{a^{n}_{n}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$




#619017 TỔNG HỢP BDT & CÁCH CM

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 07-03-2016 - 23:13 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giá trị nhỏ nhất bt

$\frac{4x+1}{x^2+3}$

(violtmpic v16 http://baovietnhantho.violympic.vn/)

$\frac{4x+1}{x^{2}+3}=\frac{-(x^{2}+3)+x^{2}+4x+4}{x^{2}+3}=-1+\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3}\geq -1$




#622649 Đề thi hsg toán 8 Nam Định

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 25-03-2016 - 22:18 trong Tài liệu - Đề thi

3.    $=(2y-x)^{2}+3(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{4}$




#623517 Đề thi hsg toán 8 Nam Định

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 29-03-2016 - 21:50 trong Tài liệu - Đề thi

3.       $\sum \frac{1}{2x+y+z}=\sum \frac{1}{4}.\frac{4}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})= \frac{1}{2}\sum \frac{1}{x+y}=\frac{1}{8}.\sum \frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{8}.\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{x}=1$




#622631 Đề thi hsg toán 8 Nam Định

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 25-03-2016 - 22:03 trong Tài liệu - Đề thi

$\frac{1}{m+n-x}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{m+n-x}-\frac{1}{m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \frac{x-n}{x+n-m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=n & & \\m( m+n-x)=xn& & \end{bmatrix}$

Với x=n thì mọi m đều thỏa mãn

Với m(m+n-x)=xn tương đương (m+n)(m-x)=0




#623530 Đề thi hsg toán 8 Nam Định

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 29-03-2016 - 22:12 trong Tài liệu - Đề thi

$A=n.4^{n}+3^{n}=n.(7-3)^{n}+3^{n}=n.B(7)+n.(-3)^{n}+3^{n}$. Vì A $\vdots$ 7 nên $n.(-3)^{n}+3^{n}\vdots 7$

Với n chẵn $A=3^{n}(n+1) \vdots 7$$ \Rightarrow(n+1)\vdots7$ hay $n+1=7(2k+1)$ (vì n+1 lẻ ) $\Rightarrow n=14k+6$ ( k nguyên) 

Với n lẻ $A=3^{n}(1-n)$ tương tự $\Rightarrow 1-n=7.2k=14k $$\Leftrightarrow n=1-14k  $




#622593 $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1...

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 25-03-2016 - 21:16 trong Đại số

$\Leftrightarrow (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+1)^{2}=m+1\Leftrightarrow \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+1 \right |=\sqrt{m+1}$    (Với m >-1 or m=-1)

từ đây giải denta 2 cái tuyệt đối




#621567 CMR $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 20-03-2016 - 22:58 trong Bất đẳng thức và cực trị

 

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a+ b+c= $\frac{1}{2}$

Tìm Max: P= $\sum \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}$

 

x=a+b;y=b+c;z=c+a

 

$p=\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z} \right )\leq \frac{3}{2}$




#622607 $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1...

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 25-03-2016 - 21:32 trong Đại số

cái bình phương lên nớ = m+ 1 mô

đúng mà coi lại đi bạn  Mận   ơi




#622618 $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1...

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 25-03-2016 - 21:47 trong Đại số

sai chi




#621553 CMR $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 20-03-2016 - 22:19 trong Bất đẳng thức và cực trị

 

Câu 4: Cho a, b, c > 0 và ab+bc+ca=abc

CMR: $\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{3}{18}$

 

$ab+ac+bc=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

 

$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\sum \frac{1}{9}\frac{9}{(a+c)+(b+c)+(b+c)}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c})=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{a+b}=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{4}.\frac{4}{a+b}\leq \sum \frac{1}{12}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{12}.2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{6}$




#622625 $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1...

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 25-03-2016 - 21:52 trong Đại số

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+1=\sqrt{m+1}\Rightarrow 1+x^{2}+x=(x^{2}+x)\sqrt{m+1}\Leftrightarrow x^{2}(1-\sqrt{m+1})+x(1-\sqrt{m+1})+1=0$




#621527 CMR $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 20-03-2016 - 21:41 trong Bất đẳng thức và cực trị

Anh có cách giải khác không? em mới lớp 9, chưa học BĐT holder :(

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+ac+bc}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}=\frac{\sum ac(a^{2}+c^{2})}{(a+b)(a+c)(b+c)}\geq \frac{\sum 2a^{2}c^{2}}{8abc}=\frac{1}{4}(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a})$

 

$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$....$\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c$   :( ( hoi dai` thi` phai )




#597554 CMR với mọi $n > 1$ thì $n^{n}-n^{2}+n...

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 09-11-2015 - 19:29 trong Đại số

CMR với mọi $n > 1$ thì $n^{n}-n^{2}+n-1 \vdots (n-1)^{2} (n\in N)$

Với n=2 thì : $n^{n}-n^{2}+n-1=1\vdots (n-1)^{2}$ hiển nhiên đúng

Với n>2:

$n^{n}-n^{2}+n-1=(n^{n-2}-1)n^{2}+(n-1)=(n-1)(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1)n^{2}+(n-1)=(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^{2})+(n-1)=(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^{2}+1)$

Ta thấy: $1=1+k_{1}(n-1)$ (k1=0)

              $n^{2}=1+k_{2}(n-1)$ (k2=n+1)

              ..............................................................................................

              $n^{n-1}=1+k_{n-1}(n-1)$ (kn-1=nn-2+...+n+1)

Cộng vế theo vế ta có:

$n^{n-1}+...+n^{2}+1=(n-1)+(k_{1}+...+k_{n-1})(n-1)=(n-1)(1+k_{1}+...+k_{n-1})$ 

Nên nn-1+...+n2+1chia hết n-1

Dó đó =>dpcm




#596505 $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab...

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 01-11-2015 - 22:09 trong Bất đẳng thức và cực trị

2. áp dụng $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ rồi quy về bài toán cm $\sum \frac{x}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

 

 

quy về thê này phải có điều kiện $x\geq y\geq z> 0$




#595543 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $T=2^n+3^n+4^n$ là số chí...

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 26-10-2015 - 22:52 trong Số học

Theo mình thì
n lẻ => n=2k+1 =>3^n=3^(2k+1)=3.9^k=3.(8+1)^k=3.BS(8) +3=>3^n chia 8 dư 3 mà 2^n+4^n chia hết cho 8(vì n>=3)=>2^n+3^n+4^n chia 8 dư 3 nên k phải là số cp

sao biết n lẻ vậy bạn




#599293 chứng minh là số nguyên tố

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 20-11-2015 - 21:25 trong Số học

Bài 1: Giả sử ax2+bx+c có nghiệm hữu tỷ

Khi đó: $\Delta =b^{2}-4ac$ là số chính phương 

Đặt $b^{2}-4ac=k^{2}$, với $k\in N\Rightarrow b>k$

Ta có : $4a.\bar{abc}=400a^{2}+40ab+4ac=(20a+b)^{2}-(b^{2}-4ac)=(20a+b)^{2}-(b^{2}+k^{2}-b^{2})=(20a+b+k)(20a+b-k)$

Do đó: $(20a+b+k)(20a+b-k)\vdots \bar{abc}\Rightarrow 20a+b+k\vdots \bar{abc}$ or $20a+b-k\vdots \bar{abc}$ (1)

Mà $\bar{abc}=100a+10b+c>20a+2b>20a+b+k>20a+b-k$ (Vì b>k)

Do đó (1) vô lý =>b2-4ac không chính phương => ax2+bx+c không có nghiệm hữu tỷ




#599298 chứng minh là số nguyên tố

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 20-11-2015 - 21:36 trong Số học

Vậy m-1$\neq$1 thì sao

m-1 luôn bằng 1 vì 2m-1 nguyên tố thì 2m-1=2.Mà bài nay không phải thế đâu, đề sai rồi, 2m-1.

Giải luôn.

Giả sử m hợp số $\Leftrightarrow m=pq$ , $p,q\in N$ và p,q>1

Ta có: $2^{m}-1=(2^{p})^{q}-1=(2^{p}-1)((2^{p})^{q-1}+(2^{p})^{q-2}+...+1)$

Vì p>1=>2p-1>1

Và (2p)q-1+(2p)q-2+...+1>1

Suy ra 2m-1 là hợp số, mâu thuẫn giả thiết => m không là hợp số

Khi m=1=> 2m-1=1 không nguyên tố => m khác 1

Do đó m nguyên tố




#599304 chứng minh là số nguyên tố

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 20-11-2015 - 21:48 trong Số học

Chứng minh định lý Fermat nhỏ: $a^{p-1}-1\vdots p$ Với (a;p)=1 và p nguyên tố

Xét dãy gồm (p-1)bội số đầu tiên của a:

              a, 2a , 3a,... ,  (p-1)a

Ta có:            a=B(p)+r1

                      2a=B(p)+r2

                      3a=B(p)+r3

               .........

                     (p-1)a=B(p)+rp-1

Trong đó r1,r2,r3,..,rp-1 theo thứ tự nào đó là (p-1) số tự nhiên đầu tiên 

                   r1.r2.r3....rp-1=(p-1)!

Suy ra:   ap-1.(p-1)!=B(p)+(p-1)!

Hay (ap-1-1).(p-1)! chia hết p 

Vì p nguyên tố , (p-1)! và p nguyên tố cùng nhau 

Vaayh ap-1-1 chia hết p




#595526 $(a^2+b^2+c^2+...g^2)(x^2+y^2+..k^2)\geqslant (ax+by+cz+...gk)^2$

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 26-10-2015 - 22:05 trong Bất đẳng thức và cực trị

Trong sách Nâng cao và phát triển toán 9 có hướng dẫn chứng minh, bạn nên tham khảo sách

BĐT Cauchy mở rộng giải cách khác sánh nè:

 

Với n=2 thì mệnh đề luôn đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k khi đó

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geqslant n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{k}}$

Ta chứng minh được mệnh đề cũng đúng với n=2k. Thật vậy:

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})+(a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_{2k})\geq k\sqrt[k]{a_{1}a_{2}...a_{k}}+k\sqrt[k]{a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k}}\geqslant 2\sqrt{k^{2}\sqrt[k]{a_{1}a_{2}...a_{2k}}}=2k\sqrt[2k]{a_{1}a_{2}...a_{2k}}$

Khi đó :

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}+(k-1)\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}\geqslant 2k\sqrt[2k]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}.\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}^{k-1}}=2k\sqrt[2k]{\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}^{2k}}=2k\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$

$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}\geqslant (k+1)\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$ 

Do  đó mệnh đề đúng với n=k+1 =>đpcm




#610853 $6x^2+5y^2=74 $

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 24-01-2016 - 22:10 trong Số học

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau

1.        6x2+5y2=74 

2        .x2+xy+y2 =x+8y

3        .1+x+x2+x3=y3

4       .1+x+x2+x3+x4=y2

5.       (x-2)4-x4=y3

6.         $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\frac{1}{2}(x+y+z)$ 

7.     x2+y2 +z2=x2y2




#597886 2q+q2​=r

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 11-11-2015 - 21:34 trong Số học

Hướng giải 

$2^{q}+q^{2}\equiv 2$ ( mod 3 ) $\Rightarrow r-2=3k$

Mặt khác: theo định lý nhỏ Fermat: $2^{q}-2 \vdots q \Rightarrow r-2\vdots q$

Do đó $3k\vdots q$ đến đây làm sao để chứng minh (k;q)=1 vậy chỉ mình với




#595956 Tính lượng dầu ban đầu trong thùng thứ nhất và thứ hai.

Đã gửi bởi OiDzOiOi on 29-10-2015 - 17:49 trong Đại số

Gọi số lít dầu ở 3 thùng lần lượt là x;y;z. Từ bài ra ta đưa về hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x=10+y & \\ z+26=y& \\ x+y+z=50& \end{matrix}\right.$

Giải phương trình trên là ra