đa giác n cạnh => có n đỉnh... 
mỗi đỉnh of đa giác có thể nối với (n-3) đỉnh khác để tạo ra (n-3) đường chéo....(trừ đỉnh ta đang xét và 2 đỉnh gần nhất....(vì nối tạo ra cạnh)) 
ta có n đỉnh => sẽ có n.(n-3) đường chéo.. 
nhưng 1 đường chéo sẽ đc nối bởi 2 đỉnh => số đg chéo sẽ đc nhân đôi = n.(n+3) 
=> số đường chéo thực = n.(n-3)\2

Vì số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0

Do đó các cặp số dư khi chia lần lượt a² và b² cho 3 là

(0;0) (0;1) (1;0) (1;1)

Vì a²+b²chia hết 3 nên ta nhận cặp (0;0) => a,b đều chia hết 3

Bài 1. giả sử 2ⁿ-1 là scp => 2ⁿ-1=(2k+1)²   biến đổi được 2ⁿ=4k²+4k+2 vô lý  (vì n>1 nên 2ⁿ chia hết 4) =>2ⁿ-1 ko cp

Bài 2: b=a+1; c=a+2; d=a+3 

 bacd= (a+1)a(a+2)(a+3)=1000(a+1)+100a+10(a+2)+a+3=1111a+1023 cp =>tận cùng =0,1,4,9,6,5 =>a thuộc 1,6,3,2(a<7) 

 mà cp=> chia 3 dư 1,0 => a thuộc  1,6,3 thay vào được 3 cần tìm

Bài 4: $\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{7}{25}\Rightarrow 7a^{2}-25a+7b^{2}-25b=0$

                    $\Delta =625-196b^{2}+700\geq 0\Rightarrow 4\geq b\geq 0$ vì b nguyên 

     nên b thuộc 0,1,2,3,4 thvào pt giải a nguyên :a=0,b=0            a=4,b=3          a=3,b=4

Bài 1: Giả sử ax²+bx+c có nghiệm hữu tỷ

Khi đó: $\Delta =b^{2}-4ac$ là số chính phương 

Đặt $b^{2}-4ac=k^{2}$, với $k\in N\Rightarrow b>k$

Ta có : $4a.\bar{abc}=400a^{2}+40ab+4ac=(20a+b)^{2}-(b^{2}-4ac)=(20a+b)^{2}-(b^{2}+k^{2}-b^{2})=(20a+b+k)(20a+b-k)$

Do đó: $(20a+b+k)(20a+b-k)\vdots \bar{abc}\Rightarrow 20a+b+k\vdots \bar{abc}$ or $20a+b-k\vdots \bar{abc}$ (1)

Mà $\bar{abc}=100a+10b+c>20a+2b>20a+b+k>20a+b-k$ (Vì b>k)

Do đó (1) vô lý =>b²-4ac không chính phương => ax²+bx+c không có nghiệm hữu tỷ

Chứng minh định lý Fermat nhỏ: $a^{p-1}-1\vdots p$ Với (a;p)=1 và p nguyên tố

Xét dãy gồm (p-1)bội số đầu tiên của a:

              a, 2a , 3a,... ,  (p-1)a

Ta có:            a=B(p)+r₁

                      2a=B(p)+r₂

                      3a=B(p)+r₃

               .........

                     (p-1)a=B(p)+r_p-1

Trong đó r₁,r₂,r₃,..,r_p-1 theo thứ tự nào đó là (p-1) số tự nhiên đầu tiên 

                   r₁.r₂.r₃....r_p-1=(p-1)!

Suy ra:   a^p-1.(p-1)!=B(p)+(p-1)!

Hay (a^p-1-1).(p-1)! chia hết p 

Vì p nguyên tố , (p-1)! và p nguyên tố cùng nhau 

Vaayh a^p-1-1 chia hết p

Vậy m-1$\neq$1 thì sao

m-1 luôn bằng 1 vì 2^m-1 nguyên tố thì 2^m-1=2.Mà bài nay không phải thế đâu, đề sai rồi, 2^m-1.

Giải luôn.

Giả sử m hợp số $\Leftrightarrow m=pq$ , $p,q\in N$ và p,q>1

Ta có: $2^{m}-1=(2^{p})^{q}-1=(2^{p}-1)((2^{p})^{q-1}+(2^{p})^{q-2}+...+1)$

Vì p>1=>2^p-1>1

Và (2^p)^q-1+(2^p)^q-2+...+1>1

Suy ra 2^m-1 là hợp số, mâu thuẫn giả thiết => m không là hợp số

Khi m=1=> 2^m-1=1 không nguyên tố => m khác 1

Do đó m nguyên tố

66% sắt có trong 25 tấn quặng =25.(66/100)=16,5 (tấn)

quặng loại 1 chứa 75% sắt = x.(75/100)=0,75x (tấn)

quặng loại 2 chứa 50% sắt=y.(50/100)=0,5y (tấn )

Giải hệ gồm x+y=25

                    0,75x+0,5y=16,5 

Giá trị nhỏ nhất bt

$\frac{4x+1}{x^2+3}$

(violtmpic v16 http://baovietnhantho.violympic.vn/)

$\frac{4x+1}{x^{2}+3}=\frac{-(x^{2}+3)+x^{2}+4x+4}{x^{2}+3}=-1+\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3}\geq -1$

 

                               

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

 

BĐT gốc nhé (Cô-si - Svácxơ)   :   $\frac{a^{2}_{1}}{b_{1}}+\frac{a^{2}_{2}}{b_{2}}+...+\frac{a^{n}_{n}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$

Theo mình thì
n lẻ => n=2k+1 =>3^n=3^(2k+1)=3.9^k=3.(8+1)^k=3.BS(8) +3=>3^n chia 8 dư 3 mà 2^n+4^n chia hết cho 8(vì n>=3)=>2^n+3^n+4^n chia 8 dư 3 nên k phải là số cp

sao biết n lẻ vậy bạn

$\frac{1}{m+n-x}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{m+n-x}-\frac{1}{m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \frac{x-n}{x+n-m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=n & & \\m( m+n-x)=xn& & \end{bmatrix}$

Với x=n thì mọi m đều thỏa mãn

Với m(m+n-x)=xn tương đương (m+n)(m-x)=0

3.       $\sum \frac{1}{2x+y+z}=\sum \frac{1}{4}.\frac{4}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})= \frac{1}{2}\sum \frac{1}{x+y}=\frac{1}{8}.\sum \frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{8}.\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{x}=1$

3.    $=(2y-x)^{2}+3(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{4}$

$A=n.4^{n}+3^{n}=n.(7-3)^{n}+3^{n}=n.B(7)+n.(-3)^{n}+3^{n}$. Vì A $\vdots$ 7 nên $n.(-3)^{n}+3^{n}\vdots 7$

Với n chẵn $A=3^{n}(n+1) \vdots 7$$ \Rightarrow(n+1)\vdots7$ hay $n+1=7(2k+1)$ (vì n+1 lẻ ) $\Rightarrow n=14k+6$ ( k nguyên) 

Với n lẻ $A=3^{n}(1-n)$ tương tự $\Rightarrow 1-n=7.2k=14k $$\Leftrightarrow n=1-14k  $

Bài 1:

Ta chứng minh được $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{\frac{a+b+1}{b+1}}\geq \frac{9}{\sum \frac{a}{b+1}+1}\geq 2$

Ặc.Sai rồi

Giả sử a,b,c là các số thực, $a\neq b$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0$, $x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0$, $x^{2}+cx+b=0$  có nghiệm chung. Tính $a+b+c$

Giải như sau:

Gọi$x_{0}$ là nghiệm chung của x^2+ax+1=0 và x^2+bx+c=0

     $x_{2}$ là nghiệm chung của x^2+x+a=0 và x^2+cx+b=0

Ta có $x_{0}^2+ax_{0}+1=x_{0}^2+bx_{0}+c=>x_{0}=\frac{c-1}{a-b}$

=>Nghiệm còn lại:$x_{1}=\frac{a-b}{c-1}$

Tương tự có nghiệm của pt:x^2+x+a=0 là $x_{2}=\frac{a-b}{c-1}$

=>x^2+ax+1=0 và x^2+x+a=0 có nghiệm chung

Thay vào ta có: (a-1)($x_{1}-1$)=0

=>Đến đây thì dễ rồi: kết quả a+b+c=-3  

lúc nãy ghi đề sai làm k ra

P/s: bạn làm y chang đáp án

xét n>2   $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ ( mod 3 ) suy ra n lẻ. 

$n= 2k+1\Rightarrow 3^{n}=3^{2k+1}=9^{k}.3=(8+1)^{k}.3\equiv 3$ ( mod 8 )

Mà $n\geq 3\Rightarrow (2^{n}+4^{n})\vdots 8$ do đó $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv 3$ ( mod 8 ) mọi n>2

suy ra n<2 

1.      Tìm min ::                P = sin⁶ a +cos⁶ a

 2.       Tìm max:        P=$3sin a +\sqrt{3}cosa$

3.         Chứng minh $\left | ab+cd \right |\leq \sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}$ với a,b,c,d là các số thực

ban

$P=(sin^2 \alpha +cos^2 \alpha)^3-3.sin^2\alpha.cos^2\alpha(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)$
$\geq 1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ (do theo $AM-GM: sin^2\alpha.cos^2\alpha \leq \frac{1}{4}(sin^2\alpha+cos^2\alpha)^2=\frac{1}{4})

bạn làm giúp bài tiếp dùm mình vs bạn

$(x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}-2x+1\geq 0$

$2(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2y^{2}-4y+2\geq 0$

Suy ra$x^{2}+2y^{2}-2(x+2y)+3\geq 0\Rightarrow x^{2}+2y^{2}\geq 2(x+2y)-3=2.3-3=3$

Min=3 khi x=y=1

$a^{3}+b^{3}+ab=(a+b)((a+b)^{2}-3ab)+ab=1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Min=1/2khi a=b=1/2

$x^{4}+ax^{2}+bx+c=(x+k)(x-3)^{3}$ khai trien ra dong nhat he so tinh dc a,b,c theo k lai co 9a+3b+c+81=0 thay vao giai k

$xy=12\Rightarrow y=\frac{12}{x}$

$xz=15\Rightarrow z=\frac{15}{x}$

Do đó: $yz=20\Leftrightarrow \frac{12}{x}.\frac{15}{x}=20\Leftrightarrow x^{2}=9\Leftrightarrow \left | x \right |=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x \right | =3&\\ \left|y\right|& =4 \\ \left | z \right | =5 & \end{matrix}\right.$

Con Đình

Giả sư $2\leq c\leq b\leq a$

$abc< ab+ac+bc\Rightarrow 1< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c= 2$

Do đó

$1< \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{2}< \frac{1}{b}+\frac{1}{a}\leq \frac{2}{b}\Rightarrow b< 4\Rightarrow b= 2,3$

Nếu b=3 $\frac{1}{2}< \frac{1}{3}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{6}< \frac{1}{a}\Rightarrow a< 6\Rightarrow a=2,3,5$

Nếu b=2 thì a nhận mọi số nguyên tố