Đến nội dung

An Infinitesimal nội dung

Có 155 mục bởi An Infinitesimal (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#701568 Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 12-02-2018 - 21:20 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{n}>0 & & \\ u_{n}^{2}\leq u_{n}-u_{n+1},\forall n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$

$a)$ Chứng minh: $u_{n}<\frac{1}{n}, \forall n\geq 1$

$b)$ Tính $limu_{n}$

Ý a) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Ý chính $u_{n+1}\le u_n-u_n^2< \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n+1}.$




#701621 Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 13-02-2018 - 20:23 trong Dãy số - Giới hạn

Hình như chỗ này bị ngược dấu thì phải?

 

Viết thế thì ai biết chỗ nào?




#701662 Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 14-02-2018 - 16:56 trong Dãy số - Giới hạn

Dạ chỗ này: $u_n-u_n^2< \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$

 

Tại sao em nghĩ thế? Ta sẽ xem xét điều đó với $n\ge 2, 0<u_n<\frac{1}{n}\le \frac{1}{2}.$

 

Hàm $ g(x)= x-x^2 $ là hàm đồng biến trên $ \left. \left(0,\frac{1}{2}\right.\right].$

 

(Thay vì dùng tính đồng biến, em có thể lập hiệu và phân tích thành nhân tử.)




#701735 $\left\{\begin{matrix} u_{1}=201...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 09:50 trong Dãy số - Giới hạn

Xét $u_{n-1}=n^2(u_{n-1}-u_{n})\Leftrightarrow u_{n}=(\frac{n^2-1}{n^2})u_{n-1}$

Vậy ${u_{n}}$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{n^2-1}{n^2}$

CTTQ của dãy số là $u_{n}=(\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1}2011$

$\Rightarrow lim_{u_{n}}=lim(\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1}.lim(2011)=0$

P/s: Cách CM 1 dãy số có giới hạn theo định nghĩa nhìn loạn lắm, nếu bạn thi HSG thì hỏi người khác, còn thi THPT QG thì không cần quan tâm chi cho mệt , mình thì biết tính chứ CM thì mù :P

 

Làm sai vì không chú ý đến "cấp số nhân"!




#701736 $\left\{\begin{matrix} u_{1}=a;...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 10:00 trong Dãy số - Giới hạn

Cho các số thực a, b (a>b) và hai dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ và $\begin{Bmatrix} v_{n} \end{Bmatrix}$ xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a; v_{1}=b\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}; v_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}} \end{matrix}\right.$ với mọi $n\in N^{*}$

Chứng minh rằng hai dãy trên co giới hạn hữu hạn và $\limu_{n}=\lim v_{n}$

 

Một số nhận xét  dẫn đến lời giải cho bài toán:

 

1) Dùng qui nạp và bất đẳng thức Cauchy, ta nhận được $u_n\ge v_n \forall n\in \mathbb{N},$

 

 

2) Từ 1), ta thu được $ \left\{u_n\right\} $ là dãy giảm bị chặn dưới bởi $v_1=b$ và $\left\{v_n\right\}$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $u_1=a.$

 

3) Từ 2), ta thu được cả hai dãy hội tụ. Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$, ta suy ra hai dãy hội tụ về cùng giới hạn.

 

 

 




#701738 Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 10:01 trong Dãy số - Giới hạn

Ý em là $u_{n}^{2}< \frac{1}{n^{2}}$ $<=> -u_{n}^{2}>-\frac{1}{n^{2}}$ nên em nghĩ bđt trên chưa chắc đúng.

 

Em ĐOÁN sai ý!

Chứng minh trên không phải tiếp cận thông qua tổng BĐT!




#701740 $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 10:42 trong Dãy số - Giới hạn

 Chứng minh dãy $(un)$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{5}{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+\frac{20n+21}{n+1}},\forall n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Một lời giải nhằm quảng bá cho bổ đề giới hạn.

 

Bài toán có thể giải quyết thông qua các nhận xét sau:

1) Dễ thấy $u_n\ge 0 \forall n\in \mathbb{N},$

 

2) Hệ thức truy hồi được viết lại:

 

\[u_{n+1}^2-4= u_{n}^{3}-12u_{n}+16+\frac{1}{n+1}, \forall n\in \mathbb{N}.\]

 

Do đó,

$$\left( u_{n+1}-2\right)\left( u_{n+1}+2\right)= \left( u_{n}+4\right)\left( u_{n}-2\right)^2+\frac{1}{n+1}, \forall n\in \mathbb{N}.$$

 

3) Từ 1) và 2), ta có $u_n\ge 2 , \forall n\in \mathbb{N}.$ Hơn nữa, ta cũng có đánh giá $u_n\le \frac{5}{2}, \forall n\in \mathbb{N}.$

 

4) Suy ra $u_{n+1}-2= \frac{\left( u_{n}+4\right)\left( u_{n}-2\right)}{ u_{n+1}+2}\left( u_{n}-2\right)+\frac{1}{(n+1)\left( u_{n+1}+2\right)}, n\in \mathbb{N}.$

Hơn nữa, 

$$0< \frac{\left( u_{n}+4\right)\left( u_{n}-2\right)}{ u_{n+1}+2}\le \frac{(2+4)\left( \frac{5}{2}-2\right)}{2+2}=\frac{3}{4}, .$$

 

Do đó, 

$$\left|u_{n+1}-2\right|\le \frac{3}{4}\left|u_{n}-2\right|+\frac{1}{4n+4}, n\ge 1.$$

 

Áp dụng bổ đề giới hạn ta nhận được $\lim u_n=2.$

 

https://diendantoanh...ãy-số-giới-hạn/

 


 

Cho số thực $q\in (0, 1).$ Xét hai dãy không âm $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ và $\lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$ Chứng minh rằng $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0.$

 

 

 




#701741 $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 10:43 trong Dãy số - Giới hạn

 

Trước hết ta sẽ chứng minh  $u_{n}>2$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

 

Với n=1, ta có: $u_{1}=\frac{5}{2}>2$ nên mệnh đề đúng với n=1

 

Giả sử $u_{n}>2$ Ta cần chứng minh $u_{n+1}>2$. Thật vậy, vì $u_{n}>2$ nên $u_{n}^{3}-12u_{n}+20> 0$

 

$=> u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+\frac{20n+21}{n+1}}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}+20+\frac{1}{n+1}}> \sqrt{20}> 2$

 

 

 

 

 

Em cần xem xét lại chứng minh này!




#701743 $\left\{\begin{matrix} u_{1}=201...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 12:12 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2011\\ u_{n-1}=n^{2}(u_{n-1}-u_{n}) \end{matrix}\right.$ với mọi $n\epsilon N^{*}, n\geq 2$

Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

 

Ta có

\[u_{n}= \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}u_{n-1}= \dfrac{\displaystyle \prod_{k=2}^n (k-1) \prod_{\ell =2}^n (\ell+1)}{\displaystyle\prod_{k=2}^n k^2} u_1=\dfrac{\displaystyle 2(n+1) }{4n^2} u_1.\]

Suy ra $\lim u_n=0. $




#701799 Tìm Lim an

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 18-02-2018 - 20:14 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $(a_{n}):\left\{\begin{matrix} & a_{1}=\frac{4}{3}\\ & (n+2)^{2}a_{n}=n^{2}a_{n+1}-(n+1)a_{n}a_{n+1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim a_n. $ 

 

Dễ thấy nên biến đổi để qui về dãy truy hồi "tuyến tính" $\left\{v_n \right\}$, trong đó $v_n=\frac{1}{a_n}, n\in \mathbb{N}.$

Sau đó, đặt  $w_n= v_{n}-\frac{1}{4}, n\in \mathbb{N}.$

Ta thu được dãy truy hồi sau  $$(n+2)w_{n+1}=n^2w_n, n\in \mathbb{N}.$$

Từ đó xác định được SHTQ của dãy và tìm giới hạn.




#701819 \[abcd> a+ b+ c+ d\]

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 19-02-2018 - 09:43 trong Bất đẳng thức và cực trị

Với $x, y\ge 2$, ta có $(x-2)(y-2) \ge 0 $ nên $xy\ge 2(x+y)-4.$

Do đó $abcd \ge 4ab \ge 8(a+b)-16.$

Tương tự, $abcd \ge 8(c+d)-16.$

Do đó, $$ abcd \ge 4(a+b+c+d)-16 \ge 2(a+b+c+d)>(a+b+c+d).$$




#701823 \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 19-02-2018 - 10:18 trong Bất đẳng thức - Cực trị

\[0\leq a\leq b\leq c\]

\[a+ b+ c= abc+ 2\]

CM: \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{16}\]

 

Lời giải 1:

 

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử $a^4b^3 > \frac{27}{16}.$ Do đó $\left(ab\right)^{7/2}\ge a^4b^3 \ge \frac{27}{16}.$

Do đó, $ab>1.$ Suy ra $b>1.$

Từ c\ge b, ta có $-(b-1)(a+ab-2)\ge 0.$

Suy ra $a+ab\le 2.$

Ta có $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$

Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$ Điều này mâu thuẩn với giả thiết phản chứng.




#701824 \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 19-02-2018 - 10:33 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Lời giải 2: (Chứng minh trực tiếp)

 

 

Từ $c\ge b$, ta có $(b-1)(a+ab-2) \frac{1}{ab-1}\le 0.$

Suy ra một trong ba số $(b-1)$, $a+ab-2,\frac{1}{ab-1}$ là số không dương.

 

* Nếu $b\le 1$ thì $a^4b^3 \le b^7 \le 1\le \frac{27}{16}. $

 

* Nếu $ab< 1$ thì $a^4b^3 \le \left(ab\right)^{7/2}< 1\le \frac{27}{16}. $

 

* Nếu $a+ab\le 2$ thì   $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$

Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$

 

... 




#701850 $latex \displaystyle \left( \frac{{{U...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 19-02-2018 - 17:38 trong Dãy số - Giới hạn

 

Cho dãy số xác định bởi
   $u_{1}=2014$ và
   $u_{n+1}=\frac{3n+2}{4n+2}(u_{n}+1)\,,\forall n\ge 1.$
 
Tính $ \displaystyle \lim \frac{\sum_{k=1}^n u_k}{n}.$

 

Ngoài việc dùng các định lý Weirstrass kết hợp bổ đề Cesaro, ta có thể tiếp cận theo hướng bổ đề giới hạn cùng bổ đề Cesaro.

 

Ta có $$u_{n+1}-3=  \frac{3n+2}{4n+2}\left( u_n-3\right)+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$

Do đó, $$\left| u_{n+1}-3\right|\le \frac{3n+2}{4n+2}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1} \le \frac{5}{6}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng bổ đề giới hạn, ta có $\lim \left| u_{n}-3\right|=0.$ Do đó, $\lim u_n=3$.

Vì thế theo bổ đề Cesaro, $\displaystyle\lim \frac{\sum_{k=1}^n u_k}{n}=3.$

 

 

 

https://diendantoanh...ãy-số-giới-hạn/

 

 

 

Cho số thực $q\in (0, 1).$ Xét hai dãy không âm $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ và $\lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$ Chứng minh rằng $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0.$

 

 

Xin lỗi "Newton" vì gọi em vào :D!  Bài toán nằm trong chiến dịch quảng bá "bổ đề giới hạn".

 

 

....

 

 

 

@Duy Thái: Em trình bày lời giải theo hướng tiếp cận thứ nhất xem có vấn đề gì phát sinh không? Cảm ơn em!




#701951 $latex \displaystyle \left( \frac{{{U...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 21:01 trong Dãy số - Giới hạn

Đúng như anh An infinitesimal em giải bài này theo định lý weirstrass cùng với bổ đề Cesaro nhưng mà để ý một chút ta có thể giải bài trên theo nguyên lí ánh xạ co kết hợp với bổ đề Cesaro .

Ta xét hàm: $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}x+\frac{3n+2}{4n+2}$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{3n+2}{4n+2}=q<1,  \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Áp dụng định lý Lagrange cho $x,y \in \mathbb{R}, x>y$, $f(x)$ liên tục nên tồn tại $z\in \mathbb{R}$ sao cho:

$f(x)-f(y)=f'(z)(x-y)$

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq q\left | x-y \right |$ nên hàm số $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}$ là hàm số co do đó dãy số $(u_{n})$ hội tụ.

 

Đoạn này rối beng nè! Anh sẽ xem xét kỹ hơn sau!

(Dường như em quên đi sự thay đổi của n?)




#701952 tìm giới hạn của $\lim_{x \to \infty }(\sq...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 21:09 trong Dãy số - Giới hạn

$\lim_{x \to \infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$

Đề bài: $x\to \infty$ hay $x\to -\infty$?




#701959 $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 21:36 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0\\ 5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0\\ \end{matrix}\right.$

P/s: Bài này mình có thấy một lời giải là pt (1) + pt(2).3 nhưng mình vẫn không hiểu được làm sao để biết nhân 3 vào 2 vế pt (2). Nếu các bạn cũng giải theo cách như vậy thì giải thích giúp mình với ạ!!

 

Thêm một hướng tiếp cận khác: Hệ này là hệ phương trình đẳng cấp.




#701962 Phương trình $z^2017=i\bar {z}$ có bao nhiêu nghiệm?

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 21:47 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Trên tập số phức phương trình $z^{2017}=i\bar {z}$ có bao nhiêu nghiệm?

$z=0$ là một nghiệm của PT.

 

Trên $\mathbb{C}\setminus \{0\}$,$ |z|^{2017}=|z|$ nên $|z|=1.$ Khi đó, PT tương đương (đã kiểm tra cẩn thận): $z^{2018}=i.$

PT này có $ 2018 $ nghiệm.

 

Vậy PT ban đầu có $2019$ nghiệm (phân biệt).




#701965 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 22:44 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

 

xet pt $(2) \iff 2x^2=2+2xy^3 \iff x^2-y^2=2xy^3 (3)$
Nhận vế của pt$(1)$ voi $(3)\iff (x^2-y^2)(x^2+y^2)=4xy^3$
................................................................................................

 

Tiếp cận này cho cần giải PT bậc 4 theo $t=\frac{x}{y}$ "đẹp".

Ngược lại, hướng tiếp cận bên dưới  dẫn đến giải PT bậc 4 khó hơn!

 

 

Đặt $a=x^2, b=y^2$, Hệ không hoàn toàn theo $a, b:$

\begin{cases} \begin{matrix} a+b=2,\\ a-xy b=1. \end{matrix}\end{cases}

Khi đó, $a=\frac{2 xy + 1}{xy + 1}, b=\frac{1}{xy+1}.$

Từ đó, ta dẫn về phương trình theo $xy$:

$(xy)^2=ab= \frac{2 xy + 1}{xy + 1}.\frac{1}{xy+1}.$

Đặt $t=xy,$ ta có

$$ t^4 + 2t^3 + t^2 - 2t - 1=0.$$




#701969 đề thi hsg huyện thái bình 2107

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 22:53 trong Tài liệu - Đề thi

ai giúp mình câu hệ , cảm ơn!!!

 

Câu hệ:

 

Giải bằng đại số thông thường rất phức tạp. Lời giải xem tại:

(Đề khác một tí!)

 

Bài 87: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{3}-3xy^{2}-x+1=y^{2}-2xy-x^{2} \\ &y^{3}-3yx^{2}+y-1=y^{2}+2xy-x^{2} \end{matrix}\right.$

https://diendantoanh...ình-vmf/page-12

 

Lời giải bằng số phức:

 

Các thành phần $x^3-3xy^2,- y^3+3x^2y$ liên quan phần thực và phần ảo của số phức $z^3$, với $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

Và các thành phần $x^2-y^2,2xy$ liên quan phần thực và phần ảo của số phức $z^2$, với $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

Đặt $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

$PT(1)- i \times PT(2)$, ta có

$z^3-z+1+i=z^2+iz^2.$

$\iff (z^2-1)(z-1-i)=0.$

...

Giải giữa chừng mới thấy kinh hoàng khi bài này dành cho lớp 9!!!!




#701974 $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 23:17 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Thêm một hướng tiếp cận khác: Hệ này là hệ phương trình đẳng cấp.

 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0\\ 5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0\\ \end{matrix}\right.$

P/s: Bài này mình có thấy một lời giải là pt (1) + pt(2).3 nhưng mình vẫn không hiểu được làm sao để biết nhân 3 vào 2 vế pt (2). Nếu các bạn cũng giải theo cách như vậy thì giải thích giúp mình với ạ!!

Đổi biến $x=\frac{u+v}{2}, y=\frac{u-v}{2}.$

Hệ phương trình tương đương

$\left\{\begin{matrix} u^3 - v^3 + 35=0\\ 3u^2 + 9u + 2v^2 - 4v=0.\end{matrix}\right.$

 

Liên kết với $(u+3)^3, (v-2)^3$, ta sử dụng: $PT1+3\times PT(2)$: $(u+3)^3-(v-2)^3=0.$

 

Phần còn lại không phức tạp mấy!




#702030 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 21-02-2018 - 20:06 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Cảm ơn huynh đài ^^!
Huynh có thể chỉ cho đệ rằng nếu gặp một số hệ khác đưa về pt t=x/y xấu thì có kinh nghiệm gì & phương pháp gì  để giải không ạ ^^
Ví Dụ đệ gặp bài hệ này  $\left\{\begin{matrix}
4x^2+y^2=5 &  & \\
 15y^4+y^4+12x^2y^2-40xy=0&  &
\end{matrix}\right.$  đệ cũng đưa về đ.c đồng bậc 4 nhưng  k bt làm thế nào nữa @[email protected]
 

 

Có phải em gõ nhầm ở PT thứ 2 không?




#702097 Help me

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 23-02-2018 - 01:15 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số (un) xác định bởi SHTQ un=$\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$

CMR: u1+u2+u3+...+un<$\frac{n}{n+1}$

Sử dụng $u_{k} \le \frac{1}{\sqrt{k(k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$




#702099 tìm giới hạn của $\lim_{x \to \infty }(\sq...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 23-02-2018 - 01:40 trong Dãy số - Giới hạn

Chèn $-x, x$  vào  để tính toán nhưng tính toán rất khiếp (cồng kềnh thôi) chứ không phức tạp!

 

 

$\lim_{x \to \infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$

 

Xét $f(x) =\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}, g(x)= \sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2}.$

Một số nhận xét:

i) $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \lim_{x\to -\infty} \frac{g(x)}{x}=-1.$

ii) Với điều kiện thích hợp, ta có các đẳng thức sau

$$ f(x)-x = \frac{2x^2+1}{[f(x)]^2+xf(x)+x^2}= \dfrac{2+\frac{1}{x^2}}{\left[ \frac{f(x)}{x}\right]^2+\frac{f(x)}{x}+1},$$

$$ g(x)- (-x) = \frac{3x^3+2}{[g(x)]^3-x[f(x)]^2+x^2f(x)-x^3}= \dfrac{3+\frac{1}{x^3}}{\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^3-\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^2+\frac{g(x)}{x}-1},$$

 

iii) Từ (i) và (ii), ta có 

$\lim_{x\to- \infty} [f(x)-x]=\frac{2}{3},$ và $\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=-\frac{3}{4}.$

 

Suy ra $\lim_{x\to -\infty} [f(x)+g(x)]= \lim_{x\to -\infty} [f(x)-x]+\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{12}.$




#702121 Xét sự hội tụ $\sum_{n=1}^{\infty }\l...

Đã gửi bởi An Infinitesimal on 23-02-2018 - 15:13 trong Giải tích

Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

$a)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( e-\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right )^p$

$b)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )^p\ln \frac{n-1}{n+1}$

$c)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln(\ln n) \right )^{\ln n}}$

$d)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln n \right )^{\ln\left ( \ln n \right )}}$

$e)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p\ln ^qn}$

$f)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2}+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}$ ($n$ dấu căn)

 

a), b), e) "giá trị" $p$ như thế nào?

 

f) Gõ đề đúng không hongson?

Và (c, d) cũng thế! Chú ý giá trị bắt đầu  $1$ nhen!!