Đúng rùi,sorry cả nhà Phải là $CM \perp AN$

Nếu CM vuông góc AN ta có ngay tam giác MAC cân ->AM bằng AC -> AB bằng 2AC
dùng công thức phân giác,trung tuyến ta có ngay góc A

Uh,trong LG phải dùng đến công cụ vecter,và ko phải quá dễ để "có ngay góc A"

Cho tam giác $ABC $có trung tuyến $CM \perp$ phân giác $AN$ và $\dfrac{CM}{AN}=\dfrac3{2}\sqrt{5-2\sqrt5}$.Tìm góc$ A$.

Một cách khác đầy thú vị cho Bài 2

Ta có:

$\begin{array}{l}S = \dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}\\ \Leftrightarrow - S = \dfrac{{ab}}{{c - 2}} + \dfrac{{ac}}{{b - 2}} + \dfrac{{bc}}{{a - 2}} \ge \dfrac{{{{(\sqrt {ab} + \sqrt {ac} + \sqrt {bc})}^2}}}{{a + b + c - 6}}\\ \Leftrightarrow - S \ge \dfrac{{ - {{(a + b + c)}^2}}}{4} \Rightarrow - S \ge - 1 \Leftrightarrow S \le 1\end{array}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=2/3

Lời giải này sai rồi. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng $\sum \dfrac{x_i^2}{a_i}\ge\dfrac{(\sum x_i)^2}{\sum a_i}$ chỉ đúng khi $a_i>0$.
Lưu ý các bạn trẻ, không nên quá lạm dụng những bất đẳng thức mạnh để giải quyết những bài toán đơn giản.

Bài làm
Ta có: \[abc = 1 \Leftrightarrow \ln a + \ln b + \ln c = 0\]
Đặt :$\ln a = x;\ln b = y;\ln c = z \Rightarrow x + y + z = 0$
Khi đó: \[VT = \dfrac{{{e^x}}}{{{{({e^x})}^2} + 3}} + \dfrac{{{e^y}}}{{{{({e^y})}^2} + 3}} + \dfrac{{{e^z}}}{{{{({e^z})}^2} + 3}}\]

Xét : $f(x) = \dfrac{{{e^x}}}{{{{({e^x})}^2} + 3}}$( hàm lõm)

Theo BĐT tiếp tuyến ta có: $f(x) \le f'({x_0}).(x - {x_0}) + f({x_0})$
Với ${x_0} = 0$ ta có :\[f(x) \le f'(0).(x - 0) + f(0) = \dfrac{1}{8}x + \dfrac{1}{4}\]
Làm tương tự rồi cộng các BĐT cùng chiều ta được:

$f(x) + f(y) + f(z) \le \dfrac{1}{8}(x + y + z) + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi $x = y = z = 0 \Leftrightarrow a = b = c = 1$

Bài này Đạt post cách không dùng đạo hàm của em lên nhé. .
Ngoài cách ở trêna,anh có 2 cách khác nhưng vẫn dùng tới đạo hàm.
Cách 1:
Khảo sát hàm :\[f(x) = \dfrac{x}{{{x^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln x\]
Hàm này đạt cực đại tại $x = 1$.
Ta suy ra được : \[f(x) \le f(1) = \dfrac{1}{4}\]
Tương tự với 2 biểu thức còn lại rồi cộng ba bđt cùng chiều ta được:\[\dfrac{x}{{{x^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln x + \dfrac{y}{{{y^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln y + \dfrac{z}{{{z^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln z \le \dfrac{3}{4}\]
Suy ra đpcm do \[\ln x + \ln y + \ln z = 0\].
Cách 2:
Theo BĐT AM-GM ta có: \[\sum {\dfrac{a}{{{a^2} + 3}}} \le \sum {\dfrac{a}{{2a + 2}}} \]
Ta sẽ Chứng minh:
\[\sum {\dfrac{a}{{2a + 2}}} \le \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \sum {\dfrac{a}{{a + 1}}} \le \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sum {\dfrac{1}{{a + 1}}} \ge \dfrac{3}{2}\]
Đến đây anh dùng đạo hàm, không biết Đạt làm ntn?

Cả ba cách này đều sai!
Cách 1. Chưa tính $f''$ đã vội kết luận hàm lõm. Kì thực, $f$ không lõm.
Cách 2. Nhầm lẫn nghiêm trọng cực đại với giá trị lớn nhất!
Cách 3. Bất đẳng thức cuối sai thì làm sao chứng minh được!

Tôi nghĩ, thay vì tìm nhiều cách chứng minh, trước hết các bạn hãy tìm một lời giải đúng và kiểm tra kĩ càng nó cũng như tập trình bày chi tiết lời giải đó. Điều đó có ích hơn là cố tìm thật nhiều cách chứng minh nhưng không có cách nào chính xác. Nên nhớ, tư tưởng qua loa đại khái rất có hại khi học toán.

Bài toán 66 (tôi đề xuất lần đầu trên ML, từ rất lâu rồi) có thể giải như sau:
Theo AM-GM: $$a^2+3\ge2\sqrt{2(a^2+1)}$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac3{\sqrt2}$$
Thực chất, ta cần chứng minh bất đẳng thức sau với mọi $a,b,c>0$
$$\sqrt{\dfrac a{a+b}}+\sqrt{\dfrac b{b+c}}+\sqrt{\dfrac c{c+a}}\le \dfrac3{\sqrt2}$$
Theo Cauchy-Schwarz
$$\sum \sqrt{\dfrac a{a+b}} =\sum \sqrt{\dfrac {a(a+c)}{(a+b)(a+c)}}\le\sqrt{2(\sum a)\left(\sum\dfrac{a}{(a+b)(a+c)}\right)}$$
Cuối cùng ta chứng minh
$$\sum\dfrac{a}{(a+b)(a+c)} \le \dfrac 9{4(a+b+c)}$$
tương đuơng $8(a+b+c)(ab+bc+ca)\le9(a+b)(b+c)(c+a)$, là bất đẳng thức quen thuộc.

@ Chuyentoan: Thì mình cũng nói vậy mà. Tất nhiên mình (và nhiều bạn khác) vẫn mong sự tài trợ một phần nào cho những sinh viên, hs khó khăn, và thật tốt nếu nó đến từ một tổ chức nào đó. Thầy Dũng vất vả cho diễn đàn nhiều quá rồi.

Bây giờ thế này, ai có khả năng đi được thì đi, bạn nào muốn đóng góp cho trại hè điều gì thì càng nên đi. Còn giúp đỡ ai là việc của thầy Dũng. Chúng ta đồng lòng chung sức, mỗi người chịu khó một ít, trại hè nhất định sẽ thành công tốt đẹp.

Mình ủng hộ Khánh, hai diễn đàn cùng chung sức thực hiện thì trại hè sẽ diễn ra suôn sẻ và đông vui hơn.

Về kinh phí đi lại thì mình nghĩ sinh viên phần nhiều là khó khăn. Hè mình về Hà Tĩnh nên sẽ gần hơn nhưng ko có nghĩa là có thể dễ dàng thu xếp đủ được, và rất mong muốn một nguồn tài trợ nào đó. Trên diễn đàn có thầy Dũng là có thể hỗ trợ phần nào cho ít người. Nhưng một mình thầy thì ko thể kham hết được. Chà, hay là anh em tổ chức làm gì đó bổ sung kinh phí đi?

Anh Lim nói đúng, muốn trại hè thành công thì cần nhất là có một đội ngũ BTC nhiệt tình và có sự chuẩn bị chu đáo (cái này thì BQT diễn đàn có thể đảm nhận được, nhất là những người ở Huế hoặc phụ cận). Điều thứ hai là kinh phí. Muốn làm gì trước hết phải có tiền (kinh phí tổ chức, nước nôi, ăn uống, đi lại... ). Mong rằng BQT sẽ sớm tìm được các cá nhân, tổ chức tài trợ cho hoạt động của trại hè để cuộc gặp mặt của diễn đàn chúng ta có thể thành công son sẻ.

Khuê hè được về à ?

Theo mình trại hè Toán học lần thứ tư nên tổ chức ở Hà Nội. Có mấy lí do:

Thứ nhất, thành viên của diễn đàn đông đảo nhất vẫn là ở Hà Nội, như vậy tham gia sẽ đông vui hơn. Ở Hà Nội cũng gần với viện Toán nên công tác tổ chức, tài trợ, cố vấn có lẽ sẽ thuận tiện hơn.

Thứ hai, năm 2010 này trùng với dịp đại lễ kỉ niệm Hà Nội tròn 1000 năm tuổi, Hà Nội nhất định sẽ có nhiều hoạt động lí thú và thiết thực, một dịp nghìn năm có một này thật khó để có thể tham dự lần thứ hai. Đồng thời cũng tạo điều kiện cho những bạn chưa đến Hà Nội lần nào có thể tham quan thủ đô nhân dịp này luôn.

Trại hè Toán học lần thứ nhất ở Hà Nội, lần thứ hai ở Sài Gòn, lần thứ ba ở Huế rồi, như vậy lần này nên quay về Hà Nội, như thế là hợp lí nhất Sang năm, lần năm, lần sáu... lại quay về Đà Nẵng, Vinh, Khánh Hòa...

Mặc dù có nhiều lí do để nên tổ chức ở Hà Nội nhưng vẫn có một vài khó khăn nhất định, như các bạn ở miền Nam sẽ khó tham gia. Nhưng không có giải pháp nào trọn vẹn đôi đuờng đuợc. Khi đó BTC nên tính tới khả năng tài trợ một phần cho các trại viên miền Nam.

Năm nay tổ chức ở Hà Nội mà mời được GS Ngô Bảo Châu tham gia được thì tuyệt quá nhỉ.

@nguyen xuan huy: Cậu Huy đi thi năm 2008 à? Cậu học khoa, khóa nào vậy?

Hay là trại hè lần 2010 tổ chức ở Pháp hay Đức nhỉ ^^ Trên diễn đàn có khá nhiều thành viên đang du học tại đó mà (như anh newest và anh chuyentoan chẳng hạn ^^)

Tổ chức ở Việt Nam mà khối thành viên còn kêu kinh phí thì tổ chức bên trời Tây chắc chỉ có... vài người có khả năng:D

Hy vọng vài... trăm năm nữa, trại hè Toán học Việt Nam là một hoạt động thường niên của cộng đồng toán học thế giới

Các bạn lo ko có kinh phí thì ngay từ bây giờ nên làm theo cái này

Năm nay ở Hà Nội, năm sau Đà Nẵng, năm tiếp ở Vinh, năm tiếp nữa Khánh Hòa... quá đẹp

Tuy là vậy thì đã tổ chức 1 lần rồi thì năm này nên ở nới khác chứ bởi nước Việt Nam thiếu gì địa danh

Nhưng năm nay Hà Nội vừa tròn 1000 năm tuổi, dịp này có mấy khi đuợc gặp lại. Những năm sau đi các nơi khác cũng chưa muộn mà.

có phải mọi thành viên đều được tham gia k0 ạ

Dĩ nhiên Miễn là có tiền

Latex mới hình như có lỗi: Phần chữ gõ ngay sau thẻ

[latex][/latex]

mà ko xuống dòng thì ko hiển thị được.
Ex:

Gõ [latex]a,b,c[/latex] trông rất đẹp!

Gõ $a,b,c $ trông rất đẹp!

"trông rất đẹp!" bay đâu mất roài

Các anh có thể nói rõ cho em về lớp kstn và ksclc của trường đại học xây dựng không anh
và nếu mà xét thì mấy năm gần đây điểm để xét là bn và chỉ tiêu là bn

Anh ko học kstn hay ksclc gì hết nhưng cũng hay để ý mấy cái này nên trả lời em luôn
Lớp kstn chỉ tuyển sv khoa XD DD&CN,điểm đầu vào thuộc loại cao nhất trường. Năm 2006 là 28,5. Còn năm ngoái thì hình như là 27,5. Lớp này phải học tiếng Pháp,sau 2 năm sẽ giảng dạy bằng tiếng Pháp toàn phần. Chương trình đào tạo 5 năm. Diễn đàn mình có anh Nguyễn Đỉnh học lớp này .

Còn lớp ksclc thì tuyển chung trong toàn trường,điểm đầu vào thấp hơn tí (TB Toán HS3+Lý HS2+Hóa HS1 >=55) Vô lớp này thì có nhược điểm là sau này chưa biết ra làm gì? Đúng ra là chưa phân khoa ngay,gần ra trường mới phân nên phải học cật lực để đc vô khoa "ngon"

Nói chung vô 2 lớp này thì đầu vào cao hơn mặt bằng chung của trường nhưng ko cố gắng thì cũng chết

Nếu muốn tìm hiểu thêm gì nữa thì có thể mua cuốn Tìm hiểu các trường ĐH qua các số liệu tuyển sinh. Mà Dũng năm ni định thi XD thật à? Vô XD là vất vả đó

Tôi nhận thấy anh đang ở giai đoạn mất trí,Tôi xin giới thiệu cho anh bệnh viện tâm thần KHám Chí Hòa, một nơi thích hợp cho anh điều trị trong gian đoạn này. Tôi thấy thật tội nghiệp KK, anh "có lỗi nhưng không có tội", chúng ta hãy cùng nhau thông cảm cho KK, mong anh yên tâm ở KHám Chí Hòa. Một phút mặc niệm dành cho KK, tùng tùng, xèng, vĩnh biệt anh KK. Chúng tôi sẽ nhơ đến anh như nhớ đên NCT, DVQ, VietDart, T. Linh, ....

Hic,nghe cứ như là ... đám ma ấy Các bác vui tính quá nhỉ Nhưng e là hơi quá đà 1 chút. Cùng là người làm tóan với nhau cả sao nỡ nặng lời vậy?
Kiểu này thì người trong cuộc nếu ko chuẩn bị tâm lý chắc phải nhồi máu cơ tim quá
Các bác "chỏang" nhau chí chóe mất công tốn sức,chỉ có người ngoài là sướng,vô cười từ đầu đến cuối.....
Như tui đây chẳng hạn

Lên mạng mở nick rồi đi làm mấy việc lặt vặt. Định out nhưng thấy bị nhắc đến mình nên phải vào
Mình chưa thử đặt bút giấy với mấy bài của Khuê nên cũng chưa dám có ý kiến gì Chỉ riêng với bài toán 3,bài này nằm trong bài viết của Tân ở BDT SL&KP. Hóa ra là chưa đc giải quyết sao?

PS: Sắp thi HP rồi nên ko dám chơi với BDT nữa!

@Khuê: "Bài viết của mình" là bài viết nào mà đụng đến mấy quả "bom từ trường" này vậy?

Bài này là của anh, đưa lên MnF hơn 1 năm trước rồi, lúc đó yêu cầu tìm cả max. Đầu đề là a+b+c = 1 chứ có phải a+b+c = 3 đâu. Trong mấy hôm nữa anh chỉ onl được 1 lát thôi. Lời giải bài 1 của Cẩn anh post sau nhé!

Oh,vậy có thể là anh em ta trùng ý tưởng với nhau thôi.Bài đó em đề xuất một cách độc lập(với giả thiết là a+b+c=3,bài của anh là a+b+c=1 và do biểu thức ko đồng bậc nên có khác đi đôi chút) cũng khá lâu rồi,nhưng vì mãi ko tìm đc lời giải nên quên lãng đi một thời gian,về sau mới post lên dđ (em ghi chép nó trong một cuốn tài liệu cùng với rất nhiều bài toán "bất trị" khác,tiếc là hiện tại nó đã ko còn). Em tính ra cũng chỉ mới tham gia diễn đàn đc nửa năm,và chưa một lần vào MnF(cũ) nên ko bít đến bài toán của anh(anh có thể dẫn link đc ko?)

Có thể kể ra đây một vài bài toán mà em đề xuất kiểu "nửa đóng nửa mở" như là:

Bài toán 1: Cho a,b,c là các số thực không âm. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức

$P=\dfrac{(a+b)^2}{a^2+2b^2+3c^2}+\dfrac{(b+c)^2}{b^2+2c^2+3a^2}+\dfrac{(c+a)^2}{c^2+2a^2+3b^2}$

GTLN của bài toán ko đc tường minh nên rất khó tìm,còn GTNN thì về sau mình đc biết đến 1 Lời giải của Võ Quốc Bá Cẩn,rất đẹp!

Thêm một bài gần dạng nữa,cũng khá thú vị

Bài toán 2: Cho a,b,c là các số thực không âm. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức

$P=\dfrac a{1+2b^2+3c^2}+\dfrac b{1+2c^2+3a^2}+\dfrac c{1+2a^2+3b^2}$

Mình rất thích những bài toán mà biểu thức rất tường minh(nhưng việc tìn 1 LG tường minh thật vất vả) như thế này. Kiểu khó của nó khác với những bài hằng số tốt nhất (hầu như là luôn luôn khó) và vì ko có hệ số đi kèm nên làm việc với nó "có thiện cảm" hơn

Bài 2 không phải là một bài toán khó, bạn Dương Đức Lâm đã post nó lên bdt.net lâu rồi, sau này còn post nó trên mathlinks nữa: http://www.mathlinks...ic.php?t=195375, mình cũng được biết đến bài toán này lúc ấy. Sau đó mình cũng tìm được một lời giải bằng dồn biến nhưng vì đề bài yêu cầu tìm cả max (mình ko làm được yêu cầu này) nên mình vẫn chưa post lên giải lên mathlinks, sau đây mình xin được up lời giải bằng dồn biến của mình lên cho trường hợp tìm min.
Nói qua về giá tri lớn nhất của biểu thức trên, mình tính nhẩm được $\max >1.353$ và đẳng thức xảy ra không có biến nào bằng 0 nên mình vẫn chưa tìm được một cách đánh giá nào cho nó.

Rất tuyệt,Cẩn Mặc dù mới gải quyết đc một nửa BT,và mình cũng chưa có thời gian để check lời giải ấy,nhưng làm đc chừng đó cũng rất đáng biểu dương rồi!

Nhân tiện đây bàn về những bài hoán vị mà đẳng thức lệch nhau hoàn toàn. Có nhiều bài như vậy không và nếu có thì với những pp toán học hiện nay liệu có thể giải quyết? Ai có thể cho em một số ví dụ kiểu như vậy ko? Em chỉ mới biết mỗi bài $k=5$ của cậu bé quàng khăn đỏ bên MnF thôi à

Những bài như thế rất nhiều Hoàng ạ

Ps: Có thể đây là post cuối cùng của mình trong vòng 1 tháng tới. Nhiều lí do ko cho phép mình online bây giờ. Ngày kia lại bắt đầu thi HK nữa rồi,học XD thi cử ác thật,làm 1 lèo chục môn một lúc,rơi rụng là chuyện thường.
Hẹn gặp lại tất cả anh em!

Nhắn riêng với Cẩn,mình đã rất cố gắng nhưng vẫn ko thể hoàn thành sớm đc. Khoảng 3 tuần nữa may ra mình mới có thể tiếp tục. Thời gian này quá nhạy cảm đối với mình. Nhưng mình đã nói là mình sẽ làm! Goodluck!

Tại sao các seminar như thế này ko đc tổ chức ở miền Bắc hả thầy ? Em nghĩ nên chuyển ra cả miền Bắc nữa như thế học sinh chúng em sẽ có đk hơn ạ

Em cũng nghĩ như bạn evarist! Những buổi semina thú vị thế này mà chỉ tổ chức trong Nam thì bọn em ngoài ni thiệt thòi lắm thầy ơi
Dù biết thế là rất khó khăn cho thầy và nhiều người khác (về đi lại chẳng hạn),nhưng em vẫn mong có dịp được nghe bài giảng của thầy...

Em thì trình độ BDT rất gà nhưng xem qua các anh thảo luận và lời giải các bài toán em muốn đóng góp một số ý kiến:
+Các anh sử dụng những phương pháp như chia để trị mà không thấy ngại và mệt mỏi ạ?Một bài toán mà chúng ta cứ cố sống cố chết để sử dụng những phương pháp trâu bò thì em thấy nó cứ thấy thế nào?Sinh ra nhiều phương pháp mạnh thì chỉ khiến học sinh phụ thuộc vào nó quá thôi(ví dụ bài thi quốc gia năm nay không qua khó nhưng vẫn có rất nhiều người được điểm dưới 0,5).
+Em nghĩ các anh nên tổng hợp tất cả các kiến thức về phương pháp chia để trị vào một file pdf để cho mọi người dễ tham khảo hơn.

+Để trả lời câu hỏi đó,trước hết em hãy tự trả lời câu hỏi này: Khi nào thì 1 pp mới CM DBT ra đời? Phải chăng là khi mà các pp cũ phải bó tay,ko thể khuất phục đc một bài toán nào đó? Vậy thì đó cũng là lẽ tự nhiên trong toán học thôi. Nếu yêu toán và muốn tìm tòi,thì hãy đọc,còn ngược lại thì cũng có ai bắt phải đọc,phải học đâu?
+pp Chia để trị (hay DAC-tên viết tắt tiếng Anh) đc tổng hợp và giới thiệu chi tiết trong cuốn Những viên kim cương trong BDT toán học sắp XB.

Hồi trước Tết em cũng có hỏi anh Lâm về vấn đề này thì anh cũng bảo sắp xuất bản,thế mà giờ vẫn chưa có.Hix,vậy khi nào cự thể mới xuất bản quyển ấy ạ?

Thực ra cuốn này chỉ có tính chất tổng hợp,ko có gì mới ngoài 6 PP: SOS,MV,ABC,EV,GLA và DAC.
Cụ thể khi nào XB đc thì chính tác giả cũng ko chắc chắn nữa

Dù sao thì nhiều người vẫn nhận xét đây ko phải là sự lựa chọn thông minh cho 1 kì thi IMO.

Phải nói là "tối kỵ" chứ

Cái chính là cách ko đụng hàng thôi anh tanlsth ạ ..

.
Cách của zaizai và cách của Darij Grinberg là một

Bài 2 đã có trong tuyển tập BDT nothing1.PDF của anh Võ Quốc Bá Cẩn (toanhocmuonmau) !!! Xem ra đã là một kết quả có từ trước!

Đúng là bài này đã quen thuộc rồi, có trong mấy cuốn sách BDT của PKH, Vasc và trên ML, toanthpt.net... Lẽ nào ban ra đề không biết điều này