Bài 7a. $\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\Leftrightarrow 2a^3\ge 2a^2-a^2b+2ab^2-b^3\Leftrightarrow b(a-b)^2\ge 0$ (luôn đúng)

Đánh giá $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$. Suy ra $\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge \frac{a^3}{a^2+\frac{a^2+b^2}{2}+b^2}=\frac{2}{3}\frac{a^3}{a^2+b^2}$.

Sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu: $\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}$.

Từ đó ta suy ra:

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge \frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}+b-\frac{c}{2} +c-\frac{a}{2} \right)=\frac{a+b+c}{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Bài 3.

Sử dụng BĐT Cô-Si $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+xy\ge \dfrac{2}{xy}+xy=\dfrac{2}{xy}+32xy-31xy\ge 2\sqrt{64}-31xy=16-31xy\ge 16-31.\dfrac{(x+y)^2}{4}=\frac{33}{4}$.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$.

Ở đây ta chú ý phân tích $xy$ thành $32xy-31xy$ để khi dùng BĐT Cô-si, dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$.

Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ, các ván đấu không có tỉ số hòa. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng? 

Bài này mình tính ra đáp án là $\dfrac{7}{8}$ ($=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}$) nhưng đáp số lại là $\dfrac{3}{4}$

Rõ ràng là có $4$ khả năng để trận đấu kết thúc, đó là 

   $1,$ Người chơi thứ nhất thắng ván tiếp theo.

   $2,$ Người chơi thứ hai thắng ván tiếp theo, rồi người chơi thứ nhất lại thắng ở ván sau đó.

   $3,$ Người chơi thứ hai thắng 2 ván liên tiếp, rồi người chơi thứ nhất lại thắng ở ván sau đó.

   $4,$ Người chơi thứ hai thắng 3 ván liên tiếp sau đó.

Và trong đó chỉ có $3$ khả năng là $1,2$ và $3$ thì người thứ nhất thắng chung cuộc, vậy xác suất là $\frac{3}{4}$

Nhưng cho mình hỏi là xác suất của mỗi trường hợp 1,2,3 có giống nhau không? Xác suất để TH1 xảy ra là $\frac{1}{2}$, nhưng xác suất TH2 xảy ra lại là $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ chứ nhỉ?  

Giải phương trình $(6+\sqrt{5})^x-(6-\sqrt{5})^x=2\sqrt{5}$

Mình đoán được 1 nghiệm $x=1$ nhưng làm sao để chứng minh nó là nghiệm duy nhất?

Xét 2 trường hợp:

- TH $x \le 0$: $(6+\sqrt{5})^x-(6-\sqrt{5})^x-2\sqrt{5}<0$

- TH $x>0$: Xét $f(x)=(6+\sqrt{5})^x-(6-\sqrt{5})^x-2\sqrt{5}$. Hàm số này đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$

Bạn cho mình hỏi là TH $x>0$ để chứng minh hàm đồng biến có phải xét đạo hàm không, với lại khi đạo hàm được $f'(x)=(6+\sqrt{5})^x\ln (6+\sqrt{5})-(6-\sqrt{5})^x\ln (6-\sqrt{5})$, chứng minh $f'(x)>0$ thế nào vậy bạn?

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-2\sqrt{x}$, $y=x$ và $x=5$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$ bằng bao nhiêu?

Ta có: $x=-2\sqrt{x} \iff x=0$

 

Thể tích khối tròn xoay cần tính là: $S= \pi \int^5_0 |x^2-4x| dx=13 \pi$

Đáp án của đề nó ra $\dfrac{157\pi}{3}$

$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+3x+2-2\sqrt{6x^2+3x}}{x^2-2x+2-\cos(x-1)}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $(P)$ là mặt phẳng lần lượt cắt 4 cạnh $SA,SB,SC,SD$ tại các điểm $A',B',C',D'$.

Đặt $a=\frac{SA}{SA'},b=\frac{SB}{SB'},c=\frac{SC}{SC'},d=\frac{SD}{SD'}$. Chứng minh $a+c=b+d$.

Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}\Leftrightarrow a.\overrightarrow{SA'}+c\overrightarrow{SC'}=b\overrightarrow{SB'}+d\overrightarrow{SD'}$

Do  $A',B',C',D'$. đồng phẳng nên ta có đpcm

Bạn cho mình hỏi vì sao $A',B',C',D'$ đồng phẳng lại suy ra điều phải chứng minh. Mình cám ơn

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $\dfrac{1}{p-a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}$.

Cho tứ giác $ABCD$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $|\vec{MA}+7\vec{MB}-3\vec{MC}|=5|\vec{MD}|$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SB$, $N$ là trung điểm của cạnh $SD$ sao cho $SN=2ND$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $ACMN$.

Dùng tâm tỉ cự.

Bạn hướng dẫn cụ thể được không  

Cho $x,y$ là các số thực dương thoả $x<1<y<e$ và $x-x\ln x=y-y\ln y$. Chứng minh $x+y>2$.

Giải BPT $3-x+\sqrt{6-8x}\ge 10x^2+\sqrt{2x+1}$

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $2xy\ge x^2+2y$. Tìm GTNN của $P=x+2y$.

Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{1-x}+\sqrt{3x-1}$.

Tính $\int\limits_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^4}dx$

Xét tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB=BC=CD=DA=1$ và $AC,BD$ thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $ABCD$ bằng?

Cho $f(0)=6$, $\int\limits_0^1 f(2x-2)f'(x) d x=6$. Tính $\int\limits_0^1 f(x) dx$.

A. -3

B. -9

C. 6.

D. 3.

Giải phương trình: $3-6x\sqrt{x^2-4x+1}=9x^2-8x$