Gọi $ABC$ là tam giác bất kì nội tiếp $(O,R)
$D$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ và $E$ là trung điểm $BC$
Đặt $OE=x\Rightarrow CE=\sqrt{R^2-x^2}$
Dễ thấy
$$S_{ABC}\leq S_{DBC}=CE\cdot DE=\sqrt{R^2-x^2}\cdot (R+x)=\sqrt{(R+x)^3(R-x)}$$
$$=\frac1{\sqrt3}\sqrt{(R+x)(R+x)(R+x)(3R-3x)}\leq\frac1{\sqrt3}\sqrt{\left(\frac{R+x+R+x+R+x+3R-3x}4\right)^4}$$
$$=\frac1{\sqrt3}\sqrt{\left(\frac{3R}2\right)^4}=\frac{3\sqrt3 R^2}4$$
Vậy
$$Max\;S_{ABC}=\frac{3\sqrt3 R^2}4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A\equiv D\\R+x=3R-3x\end{matrix} \right.\Leftrightarrow AB=BC=AC$$
 

*** Cannot compile formula:
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1.}\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]\clip(-0.28,-2.36) rectangle (5.74,3.78);\draw [line width=2.pt] (2.72,0.58) circle (2.6461292485439936cm);\draw [line width=2.pt] (1.28,2.8)-- (0.8148927000958486,-1.2564547845922895);\draw [line width=2.pt] (0.8148927000958486,-1.2564547845922895)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);\draw [line width=2.pt] (1.28,2.8)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (0.8148927000958486,-1.2564547845922895);\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (2.7271563196591115,-1.2489725675394145);\draw (2.24,0.04) node[anchor=north west] {$x$};\begin{scriptsize}\draw [fill=ududff] (1.28,2.8) circle (2.5pt);\draw[color=ududff] (1.42,3.17) node {$A$};\draw [fill=ududff] (2.72,0.58) circle (2.5pt);\draw[color=ududff] (2.44,0.65) node {$O$};\draw [fill=xdxdff] (0.8148927000958486,-1.2564547845922895) circle (2.5pt);\draw[color=xdxdff] (0.38,-1.13) node {$B$};\draw [fill=xdxdff] (4.639419939222375,-1.2414903504865396) circle (2.5pt);\draw[color=xdxdff] (4.88,-1.29) node {$C$};\draw [fill=uuuuuu] (2.70964642655458,3.2261089931287614) circle (2.0pt);\draw[color=uuuuuu] (2.84,3.55) node {$D$};\draw [fill=uuuuuu] (2.7271563196591115,-1.2489725675394145) circle (2.0pt);\draw[color=uuuuuu] (2.86,-0.91) node {$E$};\end{scriptsize}\end{tikzpicture}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Bạn có cách phân tích nào ngắn hơn không?

5k+4 chia hết cho q thì sao ?

$k(5k+4)=q^2\Rightarrow q^2\vdots k$ tại sao cái tính chất cơ bản nhất của số học mà bạn lại không nắm được là sao ? 

Xin lỗi mk hiểu nhầm!

Bạn đặt k chung là đc mà

Thì có thể $5k+4$ chia hết cho q được mà??

Ta có:

$p^2=5q^2+4$ chia 5 dư 4 suy ra $p=5k+2(k\in \mathbb{N}^*)$

Ta có:

$(5k+2)^2=5q^2+4\Leftrightarrow 5k^2+4k=q^2\Rightarrow q^2\vdots k$

Mặt khác q là số nguyên tố và $q>k$ nên $k=1$. Thay vào ta được $p=7,q=3$

Bạn ơi, giải thích chỗ này giùm mk cái.

Min hay Max vậy bạn

Xin lỗi là max bạn ạ!

Cho $(O,R1)$ và $(O,R2)$ cắt nhau tại $A,B$. ($O,O'$ nằm về hai phía với $AB$), cát tuyến qua $A$ cắt $(O),(O')$ tại $C$ và $D$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt tiếp tuyến tại $D$ của $(O')$ tại $M$.

Tìm max của $S=\frac{MC}{R1}+\frac{MD}{R2}$

Cho x,y t/m $x^2+y^2=4$ 

Tìm max của $P=\frac{xy}{x+y+2}$

Anh conankun ơi, sao lúc áp dụng vào bài

Cho $a+b+c=\frac{3}{2}$. CMR

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}$$\geq \frac{3}{4}$

lại ko đúng ?. Bởi bước cuối em ra $\sum a-\sum \frac{2(2ab+1)}{9}$$\geq \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{3}{4}$???

Này Lao Hac, phía trước có áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số $a,b^2,b^2$đúng khi a=b=c=1.Còn khi $a=b=c=1/2$ thì $a\neq b^2$ ko xảy ra dấu "=" nhé em!

cái thứ nhất cô si ở mẫu cái thứ hai cô si ở tử $\sqrt[3]{a^2b^2}\leqslant \frac{ab+ab+1}{3};a+b^2+b^2\geqslant 3\sqrt[3]{ab^4};ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}$

đó dùn gamasy cái này 

Cảm ơn bạn. Mk hiểu rìu

Cho $a,b,c>0 , a+b+c=3$

Tìm min của $P=\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}$

$\sum{\frac{a^2}{a+2b^2}}=\sum{a}-\sum{\frac{2ab^2}{a+b^2+b^2}}\geqslant \sum{a}-\sum{\frac{2\sqrt[3]{a^2b^2}}{3}}\geqslant 3 -\sum{\frac{2(2ab+1)}{9}} \geqslant 3 -2=1$

Bạn giải hộ mk chi tiết và cách THCS đk ko?

Giúp t với ạ ^^ CẢM ƠN NHÌU

Giống bài 30 tại đây - [TOPIC] ôn thi phương trình chuyên - Conankun 

Gọi 100 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ là n, n+1,...,n+99.
Gọi x là số số nguyên tố trong 100 số trên.
+, xét n=0 => x=...
+, xét n=1 => x=...
+, xét n=2 => x=...
+, xét n>2
•n chia hết cho 3 ta đi tìm được max(x)
•n chia cho 3 dư 1 ta đi tìm được max(x)
•n chia cho 3 dư 2 ta đi tìm được max(x)
So sánh các x và max của x vừa tìm được.
Nếu mik không nhầm thì n bằng 2 thì x đạt gtln.

Bạn có cách giải nào ngắn hơn ko???

Đây, mình giải quyết cho.

Bạn tự vẽ hình nha.

Vẽ (O₁ ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. Gọi giao của (O1) vs AB là K.

Ta có: T/g HEAK nt (O1) =>  $\widehat{HKA}=\widehat{AEG} (1)$

Mà $\Delta AEG\sim \Delta ACB(g.g) \Rightarrow \widehat{AEG}=\widehat{ABC} (2)$

Từ (1) (2) suy ra: 

$\widehat{HKA} = \widehat{HKG} \Rightarrow \Delta KHB$ cân tại H

Mà HG vuông góc với KB => GB = GK => K cố định.

hay tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HAE$ luôn nằm trên một đường cố định(là đường trung trực của AK)

Mình xin góp thêm bài:

Cho (O,R) và (O',R') cắt nhau tại A và B. Từ C trên tia đối của tia AB vẽ tt CD, CE đến (O) điểm E nằm trong (O') AD,AE cắt (O') tại M,N. DE cắt MN tại I.

CMR: a, NI.BE=BI.AE

          b, C/m I là trung điểm của MN

          c, Khi C thay đổi thì DE luôn đi qua một điểm cố định.

Mình xin góp thêm một bài:

Cho $xy+yz+zx=1$ . Tìm min của $P=x^4+y^4+z^4$

$\boxed{\boxed{\color{red}\bigstar \color{green}{\text{Hà Tĩnh}} \color{red}\bigstar}}$

Admin điều hành diễn đàn là các Quản trị đó bạn

 

 

Mk không gửi được tin nhắn với họ được.

Bạn thử nhắn tin với admin xem sao   

Admin là ai vậy bạn?

Admin điều hành diễn đàn là các Quản trị đó bạn

Làm sao để liên lạc được vs họ vậy.

Cho mình hỏi thời gian treo nick là bao nhiêu dk ko?
Nếu như bị 60 điểm nhắc nhở thì bao nhiêu lâu. Mình cảm ơn rất nhiều.

này bạn hình như là ông @dungbuituan.....gì gì đó phải không

Sao bạn biết?????

Nếu bạn có trên 50 điểm nhắc nhở thì bị Ban nick vĩnh viễn luôn rồi chứ chưa cần phải tới 60đ nhắc nhở đâu 

Thế bạn ơi cho mk hỏi có cách nào khôi phục lại nick ko?

Chém tiếp câu bất 

Ta có: $M=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca})+\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ca}\geq \frac{16}{1+ab+bc+ca}+\frac{9}{\frac{3}{2}(ab+bc+ca)}$

Mà $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

=> $M\geq 12+18=30$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Tui xin chém câu V

Lấy A trong 2017 điểm trên vẽ (A,1) Nếu trong 2017 điểm trên có ít nhất 1009 điểm thuộc (A,1) thì bài toán được chứng minh.

Còn không thì lấy B trong 2017 điểm trên vẽ (B,1). Nếu có ít nhất 1009 điểm thuộc (B,1) thì bài toán cũng được chứng minh. 

Không thì sẽ tồn tại ít nhất 1 điểm nằm ngoài đường tròn (A,1) và (B,1) (vô lý vì khoảng cách giữa chúng <1)

Vậy luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1009 điểm đã cho.