Đến nội dung

Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#457426 $ \begin{cases} x^3-2 x^2 y-15 x = 6 y (2 x-5-4 y)\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-10-2013 - 13:11 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$(x^3 - 2x^2y) - (15x - 30y) + (24y^2 - 12xy) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2y)(x^2 - 12y - 15) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2y\\x^2 = 12y + 15\end{matrix}\right.$

 

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\dfrac{3x^2 + 16xy + 12y^2}{24y} = \sqrt{\dfrac{x^3}{3y} + \dfrac{x^2}{4}}$

                                                                        

Chia cả 2 vế của phương trình cho y rồi đặt $t = \dfrac{x}{y}$, ta có:
$\dfrac{t^2}{8} + \dfrac{2t}{3} + \dfrac{1}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{t^3}{3} + \dfrac{t^2}{4}}$

$\Leftrightarrow 3t^2 \pm 4|t|\sqrt{3(4t + 3)} + 4(4t + 3) = 0$

$\Rightarrow 3\dfrac{t^2}{4t + 3} \pm \dfrac{4\sqrt{3}|t|}{\sqrt{4t + 3}} + 4 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = \pm 2$

Vì $VT \geq 0 \Rightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = 2$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t = 6\\t = \dfrac{-2}{3}\end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 6y\\x = \dfrac{-2}{3}y\\\end{matrix}\right.$
Kết hợp với phương trình ban đầu để suy ra nghiệm.

 

 

                                                                                                   

 

 




#337871 $ cos^23x.cos2x-cos^2x=0 $

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-07-2012 - 22:12 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

d, $\dfrac{(2 - \sqrt{3})\cos{x} - 2\sin^2{(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4})}}{2\cos{x} - 1} = 1$

Giải

ĐK: $2\cos{x} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos{x} \neq \dfrac{1}{2} \Rightarrow x \neq \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

Phương trình tương đương:
$(2 - \sqrt{3}).\cos{x} - (1 - \cos{2(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4})}) = 2\cos{x} - 1$


$\Leftrightarrow -\sqrt{3}\cos{x} + \cos{(x - \dfrac{\pi}{2})} = 0$

$\Leftrightarrow - \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} = 0 \Leftrightarrow \tan{x} = \sqrt{3} = \tan{\dfrac{\pi}{3}}$

$\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \,\, (k \in Z)$



#337865 $ cos^23x.cos2x-cos^2x=0 $

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-07-2012 - 21:52 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
a, $\cos^2{3x}.\cos{2x} - \cos^2{x} = 0$

b, $\cos^4{x} + \sin^4{x} + \cos{(x - \dfrac{\pi}{4})}.\sin{(3x - \dfrac{\pi}{4})} - \dfrac{3}{2} = 0$

Giải

a, Phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{1 + \cos{6x}}{2}.\cos{2x} - \dfrac{1 + \cos{2x}}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \cos{2x} + \cos{6x}\cos{2x} - 1 - \cos{2x} = 0$

$\Leftrightarrow \cos{6x}\cos{2x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\cos{8x} + \cos{4x}) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos^2{4x} + \cos{4x} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{4x} = 1\\\cos{4x} = \dfrac{-3}{2} \, (VN)\end{array}\right.$

$\Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{2} \,\, (k \in Z)$


b, Phương trình tương đương:
$(\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - 2\sin^2{x}.\cos^2{x} + \cos{(x - \dfrac{\pi}{4})}.\sin{(3x - \dfrac{\pi}{4})} - \dfrac{3}{2} = 0$

$\Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{2}.(2\sin{x}.\cos{x})^2 + \dfrac{1}{2}[\sin{(3x - \dfrac{\pi}{4} + x - \dfrac{\pi}{4})} + \sin{(3x - \dfrac{\pi}{4} - x + \dfrac{\pi}{4})}] = \dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{2}.\sin^2{2x} + \dfrac{1}{2}[\sin{(4x - \dfrac{\pi}{2})} + \sin{2x}] = \dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2 - \sin^2{2x} + [\sin{(4x - \dfrac{\pi}{2})} + \sin{2x}] = 3$

$\Leftrightarrow 2 - \sin^2{2x} - \cos{4x} + \sin{2x} = 3 \Leftrightarrow 2 - \sin^2{2x} - (1 - 2\sin^2{2x}) + \sin{2x} = 3$

$\Leftrightarrow \sin^2{2x} + \sin{2x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{2x} = 1\\\sin{2x} = -2\end{array}\right.$


$\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \,\, (k \in Z)$



#328801 $(2sinx-1)(cos2x+5sinx-1)=3-4cos^2x$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-06-2012 - 20:41 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$$(2sinx-1)(cos2x+5sinx-1)=3-4cos^2x$$

Giải

Phương trình tương đương:
$(2sinx-1)(cos2x+5sinx-1)= -1 + 4( 1 - cos^2x)$

$\Leftrightarrow (2sinx-1)(cos2x+5sinx-1) = (2\sin{x} - 1)(2\sin{x} + 1)$


$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(1 - 2\sin^2{x} + 5\sin{x} - 1 - 2\sin{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(2\sin^2{x} - 3\sin{x} + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)^2(\sin{x} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = \dfrac{1}{2}\\\sin{x} = 1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+ 2k\pi\\x = \dfrac{5\pi}{6}+ 2k\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, k \in Z$



#443541 $(3+\cos 2x)\tan x=\sqrt{3}\cos 2x\ta...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-08-2013 - 10:10 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải
ĐK: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in Z)$
Phương trình ban đầu tương đương:
$(3 + \cos{2x})\tan{x} = \sqrt{3}\cos{2x}\tan^2{x} + \sin{2x} + \sqrt{3}\cos{2x}$
 
$\Leftrightarrow \left (3 + \dfrac{1 - \tan^2{x}}{1 + \tan^2{x}} \right)\tan{x} = \sqrt{3}\cos{2x}(1 + \tan^2{x}) + \dfrac{2\tan{x}}{1 + \tan^2{x}}$
 
$\Leftrightarrow \dfrac{4 + 2\tan^2{x}}{1 + \tan^2{x}}\tan{x} - \dfrac{2\tan{x}}{1 + \tan^2{x}} = \sqrt{3}(1 - \tan^2{x})$
 
$\Leftrightarrow 2\tan{x} = \sqrt{3}(1 - \tan^2{x}) \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\tan{x} = - \sqrt{3}\\\tan{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{-\pi}{3} + k\pi\\x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\end{matrix}\right. \, (k \in Z)$



#414196 $(b^{2}+c^{2})sin(C-B)= (c^{2}-b^{2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 21-04-2013 - 22:26 trong Các bài toán Lượng giác khác

Cho tam giác ABC thỏa $(b^{2}+c^{2})sin(C-B)= (c^{2}-b^{2})sin(B+C)$. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoăc cân.

Giải

Đẳng thức tương đương:
$b^2 \left[ \sin{(B + C)} + \sin{(B - C)} \right] = c^2\left[ \sin{(B + C)} - \sin{(B - C)}\right]$

 

$\Leftrightarrow 2b^2\sin{C}\cos{B} = 2c^2\cos{C}\sin{B} \, \bigstar$

Với $b = 2R.\sin{B}; \, c = 2R.\sin{C}$ (Định lý hàm số sin), ta được:

$\bigstar \Leftrightarrow 8R^2\sin^2{B}\cos{B}\sin{C} = 8R^2\sin^2{C}\cos{C}\sin{B}$

$\Leftrightarrow \sin{B}\cos{B} = \sin{C}\cos{C} \,\, (0^o < B, C < 180^o \Rightarrow \sin{B}, \sin{C} \neq 0))$

$\Leftrightarrow \sin{2B} = \sin{2C}$

 

Vì không thể viết dấu "hoặc" nên mình sẽ viết theo kiểu liệt kê.

 

- Nếu $2B = 2C \Leftrightarrow B = C$ thì tam giác ABC cân tại A.

 

- Nếu $2B = \pi - 2C \Leftrightarrow B + C = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow A = \dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \triangle$ ABC vuông tại A. 

 

Vậy, ta ó điều phải chứng minh




#338154 $(m+1)\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos 2x=0...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-07-2012 - 20:50 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Cho phương trình:
$(m+1)\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos 2x=0$
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm x $\in (0;\frac{\pi }{2})$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$(m+1)\sin ^2{x}-2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x} - \sin^2{x} = 0$

$\Leftrightarrow m\sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x} = 0 \,\, (2)$

Do $x \in (0; \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow \cos{x} > 0$
Chia cả hai vế phương trình (2) cho $\cos^2{x}$, ta có:
$m\tan^2{x} - 2\tan{x} + 1 = 0$


- Với $m = 0 \Rightarrow \tan{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \arctan{\dfrac{1}{2}} + k\pi$
Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Với $m \neq 0$, phương trình có đúng hai nghiệm $x \in (0; \dfrac{\pi}{2})$ khi và chỉ khi, (2) có hai nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương với:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta' = 1 - m > 0\\S = \dfrac{2}{m} > 0\\P = \dfrac{1}{m} > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow 0 < m < 1$

Vậy, với $m \in (0; 1)$ thì phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm $x \in (0;\frac{\pi }{2})$



#447845 $(sinx-sin7x)(sinx+cosx)+cos^2x=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-09-2013 - 20:40 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$\sin^2{x} + \cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} - \sin{7x}(\sin{x} + \cos{x}) = 0$

 

$\Leftrightarrow 1 + \sin{x}\cos{x} - \sin{7x}(\sin{x} + \cos{x}) = 0$
Đặt $t = \sin{x} + \cos{x} \, (|t| \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin{x}\cos{x} = \dfrac{t^2 - 1}{2}$

Khi đó, ta có:
$1 + \dfrac{t^2 - 1}{2} - t\sin{7x} = 0$

$\Leftrightarrow t^2 + 1 – 2t\sin{7x} = 0 \Leftrightarrow (t - \sin{7x})^2 + 1 - \sin^2{7x} = 0$

 

Nhận thấy: $VT \geq 0$. Vì vậy, phương trình tương đương:

$\left\{\begin{matrix}t = \sin{x} + \cos{x} = \sin{7x}\\\sin{7x} = \pm 1\end{matrix}\right.$

Phần còn lại bạn tự làm và kết luận nhé.

 




#443818 $(x^{2} - 4x)^{2}-3x^{2}+12x+m=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-08-2013 - 10:08 trong Các dạng toán khác

Bài 1
Giải
Đặt $t = x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \geq - 4$
Phương trình ban đầu trở thành: $t^2 - 3t + m = 0 \, (\star)$
Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình $(\star)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn - 4.
Tức là:
$\left\{\begin{matrix}\Delta = (-3)^2 - 4m > 0\\S = t_1 + t_2 = 3 > - 8 \, (TM) \\(t_1 + 4)(t_2 + 4) > 0\end{matrix}\right.$
 
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9 - 4m > 0\\t_1t_2 + 4(t_1 + t_2) + 16 > 0\end{matrix}\right.$
 
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m < \dfrac{9}{4}\\m + 28 > 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow -28 < m < \dfrac{9}{4} $



#318373 $(x^{3}+5x+5)^{3}+5x^{2}+24x+30=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 21-05-2012 - 23:31 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1.$(x^{2}+x+1)^{2}-7(x-1)^{2}=13(x^{3}-1)$
5.$2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}-27x^{2}+13x-2$

Giải

1.
Phương trình ban đầu tương đương:
$(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x - 1)(x^2 + x + 1) \,\,\, (2)$


Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}a = x^2 + x + 1 \geq \dfrac{3}{4} \\y = x - 1\end{array}\right.$

Phương trình (2) trở thành:
$a^2 - 7b^2 = 13ab$


$\Leftrightarrow 7\dfrac{b^2}{a^2} + 13\dfrac{b}{a} - 1 = 0$

$\Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{-13 \pm \sqrt{197}}{14}$

- Với $\dfrac{b}{a} = \dfrac{-13 + \sqrt{197}}{14}$

$\Leftrightarrow 14b = (- 13 + \sqrt{197})a$

$\Rightarrow 14(x - 1) = (-13 + \sqrt{197})(x^2 + x + 1)$


$\Leftrightarrow (\sqrt{197} - 13)x^2 + (\sqrt{197} - 27)x + 1 + \sqrt{197} = 0$

Phương trình này có biệt thức:
$\Delta = (\sqrt{197} - 27)^2 - 4(\sqrt{197} - 13)(1 + \sqrt{197})$


$= 190 - 6\sqrt{197}$

$\Rightarrow x = \dfrac{27 - \sqrt{197} \pm \sqrt{190 - 6\sqrt{197}}}{2\sqrt{197} - 26}$

- Với trường hợp còn lại. Bạn làm tương tự.
Kết quả là:
$x = \dfrac{-27 - \sqrt{197} \pm \sqrt{190 + 6\sqrt{197}}}{26 + 2\sqrt{197}}$


Kết quả dài quá. Tớ lại không có máy tính nên không biết có sai chỗ nào không nữa???

5. $2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}-27x^{2}+13x-2 \,\,\, (5)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt[3]{2x - 1} = (3x - 1)^3 + 4x - 1$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{2x - 1} = a\\3x - 1 = b\end{array}\right.$
$\Rightarrow b = \dfrac{a^3 + 4x - 1}{2} \Leftrightarrow 2b = a^3 + 4x - 1 \,\, (5')$

Với cách đặt như trên, phương trình (5) trở thành:
$2a = b^3 + 4x - 1 \,\,\, (5'')$

Từ (5') và (5''), ta có hệ:
$\left\{\begin{array}{l}2b = a^3 + 4x - 1\\2a = b^3 + 4x - 1\end{array}\right. \Rightarrow 2(a - b) = b^3 - a^3$


$\Leftrightarrow (a - b)(a^2 + ab + b^2 + 2) = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = b\\a^2 + b^2 + ab + 2 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow a = b \Rightarrow \sqrt[3]{2x - 1} = 3x - 1$

$\Leftrightarrow 2x - 1 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 \Leftrightarrow 27x^3 - 27x^2 + 7x = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\27x^2 - 27x + 7 = 0\end{array}\right. \Rightarrow x = 0$



#318699 $(x^{3}+5x+5)^{3}+5x^{2}+24x+30=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 23-05-2012 - 11:50 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

3. $(x^2 - 6x + 11)\sqrt{x^2 - x + 1} = 2(x^2 - 4x + 7)\sqrt{x - 2} \,\, (3)$

Giải

ĐK: $x \geq 2$
Phương trình (3) tương đương:
$(x^2 - x + 1 - 5x + 10)\sqrt{x^2 - x + 1} = 2(x^2 - x + 1 - 3x + 6)\sqrt{x - 2}$


Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x^2 - x + 1} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\b = \sqrt{x - 2} \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình ban đầu trở thành:
$(a^2 - 5b^2).a = 2(a^2 - 3b^2)b$


$\Leftrightarrow a^3 - 2a^2b - 5ab^2 + 6b^3 = 0$

$\Leftrightarrow 6.(\dfrac{b}{a})^3 - 5(\dfrac{b}{a})^2 - 2 \dfrac{b}{a} + 1 = 0 \,\,\,\, (a \neq 0)$


$\Leftrightarrow (\dfrac{b}{a} - 1)(2\dfrac{b}{a} + 1)(3\dfrac{b}{a} - 1) = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{b}{a} = 1\\\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$

Do $a > 0; b \geq 0 \Rightarrow \dfrac{b}{a} \geq 0$
Do đó, ta chỉ nhận 2 giá trị:
$\left[\begin{array}{l}\dfrac{b}{a} = 1\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$


- Với $\dfrac{b}{a} = 1 \Leftrightarrow a = b$

$\Rightarrow \sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{x - 2} \Leftrightarrow x^2 - 2x + 3 =0$
Phương trình trên vô nghiệm.

- Với $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow a = 3b$

$\Rightarrow \sqrt{x^2 - x + 1} = 3\sqrt{x - 2}$

$\Leftrightarrow x^2 - 10x + 19 = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 5 + \sqrt{6}\\x = 5 - \sqrt{6}\end{array}\right.$

Hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Do đó, phương trình ban đầu có tập nghiệm:
$$S = (5 - \sqrt{6}; 5 + \sqrt{6})$$



#318322 $({x\sqrt y + 2y\sqrt x = 3x\sqrt {2x - 1} })\wedg...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 21-05-2012 - 19:51 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Tìm x và y biết chúng thỏa
$x\sqrt{y}+2y\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x-1}$ và $y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}= 3y\sqrt{2y-1}$

Giải

ĐK: $x, y \geq \dfrac{1}{2}$
Giả sử: $x \geq y \,\,\, (1)$

$\Leftrightarrow 3x\sqrt{2x - 1} \geq 3y\sqrt{2y - 1}$

$\Rightarrow x\sqrt{y}+2y\sqrt{x} \geq y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow y\sqrt{x} - x\sqrt{y} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{y} - \sqrt{x}) \geq 0 \, (2)$

Do $x, y \geq \dfrac{1}{2} $ nên:
$(2) \Leftrightarrow \sqrt{y} \geq \sqrt{x} \Leftrightarrow y \geq x$

Kết hợp điều này với (1), ta có:
$$y \geq x \geq y$$
Điều này chỉ xảy ra khi x = y.
Chứng minh tương tự khi $y \geq x$, ta cũng nhận được giá trị x = y.

Do đó, hệ ban đầu trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}x = y\\3x\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x - 1}\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y \geq \dfrac{1}{2}\\\sqrt{x} = \sqrt{2x - 1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = y = 1$


Vậy, hệ ban đầu có nghiệm (x; y) = (1; 1)



#328916 (Tiếp) Trích đề thi thử đại học lần 2 trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-06-2012 - 07:46 trong Thi TS ĐH

Câu II:
1: Giải phương trình: $2\tan x + \tan {\rm{2}}x = {\tan ^2}x.\tan 2x$
2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\
x\sqrt x + y\sqrt y = 35
\end{array} \right.$

Giải

1. ĐK: $\left\{\begin{array}{l}\cos{x} \neq 0\\\cos{2x} \neq 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x \neq \pm \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x \neq \pm \dfrac{\pi}{4} + k\pi\end{array}\right.$

Phương trình tương đương:
$$2\tan{x} = \tan{2x}(\tan^2{x} - 1)$$

- Với $\tan{x} = \pm 1$
$\Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi; x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$


Kết hợp với điều kiện, ta loại các nghiệm này.

- Với $\tan{x} \neq \pm 1$

$\Rightarrow \tan{(2x)} = \dfrac{2\tan{x}}{\tan^2{x} - 1}$

$\Leftrightarrow \tan{2x} = - \tan{2x} \Leftrightarrow 2\tan{2x} = 0$

$\Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{2} \, (k \in Z)$

Kết hợp với điều kiện, suy ra:
$k = 2m \Rightarrow x = \dfrac{k.\pi}{2} = m\pi \, (m \in Z)$


2. ĐK: $x; y \geq 0$

Hệ phương trình ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y} ) = 30\\(\sqrt{x} + \sqrt{y})^3 - 3\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 35\end{array}\right.$


Đặt $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{xy} = P\\\sqrt{x} + \sqrt{y} = S\end{array}\right. \, (S^2 \geq 4P \geq 0)$

Hệ trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}SP = 30\\S^3 - 3PS = 35\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}SP = 30\\S^3 = 125\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}S = 5\\P = 6\end{array}\right. ™$


$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5\\\sqrt{xy} = 6\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} = 2\\\sqrt{y} = 3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} = 3\\\sqrt{y} = 2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 4\\y = 9\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 9\\y = 4\end{array}\right.\end{array}\right.$



#450964 [Bất phương trình chứa căn]$\frac{x-\sqrt{x}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-09-2013 - 17:35 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 3.

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{2}{3}$

Bất phương trình tương đương:

$(x^2 - x - 2) + \left (\sqrt{x + 2} - \sqrt{3x - 2} \right ) \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x + 1) + \dfrac{4 - 2x}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x - 2}} \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left [ x + 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x - 2}}\right ] \leq 0$

Ta thấy, với $x \geq \dfrac{2}{3}$ thì $x + 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x - 2}} \geq \dfrac{10 - 3\sqrt{6}}{6} > 0$

Vậy, bất phương trình ban đầu tương đương: $x \leq 2$
Kết hợp điều kiện, ta có: $\dfrac{2}{3} \leq x \leq 2$

 

 




#450962 [Bất phương trình chứa căn]$\frac{x-\sqrt{x}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-09-2013 - 17:24 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 1.

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Nhận thấy: $\sqrt{2(x^2 - x + 1)} = \sqrt{2\left ( x - \dfrac{1}{2}\right )^2 + \dfrac{3}{2}} > 1$

Vậy: $1 - \sqrt{2(x^2 - x + 1)} < 0$

Bất phương trình tương đương:

$x - \sqrt{x} \leq 1 - \sqrt{2(x^2 - x + 1)}$
Do x = 0 không phải là nghiệm nên chia hai vế cho $\sqrt{x}$, ta được:
$\sqrt{x} - 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2\left ( x + \dfrac{1}{x} - 1\right )} \leq 0$

 

Đặt: $\sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = t \Rightarrow t^2 + 2 = x + \dfrac{1}{x}$, ta được:
$t - 1 + \sqrt{2t^2 + 2} \leq 0$

Bạn tự giải tiếp nhé :)




#450968 [Bất phương trình chứa căn]$\frac{x-\sqrt{x}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-09-2013 - 17:57 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 2

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{5}{3}$

Bất phương trình tương đương:
$2x\left (\sqrt{3x - 5} + \sqrt{4x - 3}\right ) < 5\left (\sqrt{2x + 9} - 3 \right )\left (\sqrt{2x + 9} + 3 \right )$

$\Leftrightarrow 2x\left (\sqrt{3x - 5} + \sqrt{4x - 3}\right ) < 10x$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x - 5} + \sqrt{4x - 3} < 5$ (Do $x \geq \dfrac{5}{3}$)

$\Leftrightarrow (x - 3)\left ( \dfrac{3}{\sqrt{3x - 5} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x - 3} + 3}\right ) < 0$

$\Leftrightarrow x < 3$

Kết hợp với điều kiện, ta có: $\dfrac{5}{3} \leq x < 3$

 

 




#286480 [Hỏi]

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-12-2011 - 07:07 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Cho:
$\left\{\begin{matrix} mx+y=2m& \\x+my=m+1 & \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên m để hệ phương trình trên có có nghiệm duy nhất với x, y là số nguyên

Giải

* m = 0. Hệ phương trình có nghiệm x = 1; y = 0.
* $m \neq 0$, hệ phương trình ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{array}{l}mx + y = 2m\\mx + m^2y = m(m + 1)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(m^2 - 1)y = m(m + 1) - 2m\\x + my = m + 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(m - 1)(m + 1)y = m(m - 1)\\x = m + 1 - my\end{array}\right. \,\,\,\,\,\,\,\, (II)$

- Nếu m = 1, hệ (II) trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}0y = 0\\x = 2 - y\end{array}\right.$
Hệ có vô số cặp nghiệm nguyên (x; y) = (2 - t; t)

- Nếu $m \neq 1$, hệ (II) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}y = \dfrac{m }{m + 1}\\x = m + 1 - m.\dfrac{m }{m + 1} = \dfrac{2m + 1}{m + 1} = 1 + y\end{array}\right.$


Do đó $y \in Z \Rightarrow x \in Z$.
Ta thấy: $y \in Z \Leftrightarrow \dfrac{m}{m + 1} \in Z \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{m + 1} \in Z$

$\Rightarrow m + 1 \in U_{(1)} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} m + 1 = 1\\m + 1 = -1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0 (Loai)\\m = - 2 (tm)\end{array}\right.$

Nói tóm lại, hệ có nghiệm nguyên khi vào chỉ khi: m = 0; m = 1; m = -2



#349479 [MHS2013] Trận 1 - PT - HPT - BPT - HBPT Đại số

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-08-2012 - 00:03 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2013

Giải


Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ.


Do đó:
Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra:
$$y^2 = \dfrac{5 - x^3}{3x}$$


Thế vào (2), ta được:
$x^2 + \dfrac{5 - x^3}{3x} - 13x + 3 + 5y(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x^3 - 39x^2 + 9x + 5}{3x} + 5y(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2x - 1)(x^2 - 19x - 5)}{3x} - 5y(2x - 1) = 0$

$\Rightarrow (2x - 1)\left[\dfrac{x^2 - 19x - (x^3 + 3xy^2)}{3x} - 5y \right] = 0$

$\Leftrightarrow (2x - 1)\dfrac{- x + 19 + x^2 + 3y^2 + 15y}{3} = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x^2 - x + 3y^2 + 15y + 19 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\(x - \dfrac{1}{2})^2 + 3(y + \dfrac{5}{2})^2 = 0\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{-5}{2}\end{array}\right. (KTM)\end{array}\right.$

Với $x = \dfrac{1}{2}$, từ (1), suy ra: $y = \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$.

Thử lại, ta nhận cả 2 cặp nghiệm nói trên.

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm: $(x; y) = { (\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{13}}{2}); (\dfrac{1}{2}; \dfrac{- \sqrt{13}}{2})} $


Điểm bài: 10

S=48−(24−20)+3×10+4+0=78



#349512 [MHS2013] Trận 1 - PT - HPT - BPT - HBPT Đại số

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-08-2012 - 11:19 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2013

Gọi là mở rộng chắc là hơi quá đáng vì trên thực tế, hướng giải này khá quen thuộc.
Giải hệ: $\left\{\begin{array}{l}a(x) + b(x).t(y) = c(x)\\f(x) + m.t(y) + h(y).g(x) = 0\end{array}\right.$

Chìa khóa để giải bài toán này đó là tìm được một cặp nghiệm $(x; y) = (x_0; y_0)$ của hệ sao cho $g(x_0) = 0$ (Đây là hạn chế của "mở rộng" này).

Khi đó, từ phương trình thứ nhất của hệ: $t(y) = \dfrac{c(x) - a(x)}{b(x)}$

Thế vào phương trình thứ hai:
$f(x) + m.\dfrac{c(x) - a(x)}{b(x)} + h(y).g(x) = 0$


Do $x_0; y_0$ là một nghiệm của hệ thỏa mãn $g(x_0) = 0$

Do đó, ta có thể tách được:

$$f(x) + m.\dfrac{c(x) - a(x)}{b(x)} = (x - x_0).k(x)$$

Từ đó, giải các hệ thu được.
:)
VD: Giải hệ:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1 - x^{1000}}(y + 2) = 1 \,\, (1)\\x^3 + x^2y + x^2 + y = x - 1 \,\, (2)\\(x + 1)^2 + 5y + 3xy^2 + 4 = 0\,\, (3)\end{array}\right.$

Giải

ĐK: $1 - x^{1000} \geq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1$
Nhận thấy $(x; y) = (0; -1)$ là một nghiệm của hệ.
Ta sẽ lần lượt biến đổi (2) và (3):
Ta có:
$(2) \Leftrightarrow x^3 + x^2(y + 1) + y + 1 = x$

$\Leftrightarrow x^3 + (x^2 + 1)(y + 1) = x \Leftrightarrow y + 1 = \dfrac{x - x^3}{x^2 + 1}$


Lại có:
$(3) \Leftrightarrow x^2 + 2x + 3xy^2 + 5y + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x + 5(y + 1) + 3xy^2 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 2x + 5\dfrac{x - x^3}{x^2 + 1} + 3xy^2 = 0$

$\Leftrightarrow x(x + 2 + 5\dfrac{1 - x^2}{x^2 + 1} + 3y^2) = 0$

Do $-1 \leq x \leq 1$ nên $x + 2 + 5\dfrac{1 - x^2}{x^2 + 1} + 3y^2 > 0$


Với x = 0, suy ra $y = -1$.



#377987 [MHS2013] Trận 15 - Phương pháp tọa độ trong mp và giải tam giác

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-12-2012 - 09:18 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2013

Giải

Do M thuộc ©: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$

Do đó $x_M, y_M \leq 6$.

Ta có:
$MA + 2MB = \sqrt{(x_M - 7)^2 + (y_M - 9)^2} + 2\sqrt{x_M^2 + (y_M - 8)^2}$

$= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(2x_M)^2 + (16 - 2y_M)^2}$


Chỗ này phải viết ngược lại là $= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(16 - 2y_M)^2+(2x_M)^2}$

Áp dụng BĐT Mincopxki và Bunhia côpxki, ta có:

Bất đẳng thức Bunhiakovski thì có thể không chứng minh, chứ Mincopxki (BĐT tam giác) thì phải chứng minh bằng toạ độ (vecto) nhé!

$MA + 2MB \geq \sqrt{(23 - x_M - 2y_M)^2 + (2x_M - y_M + 9)^2}$

$\geq \dfrac{|2.(23 - x_M - 2y_M) + 1. (2x_M - y_M + 9)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$

$= \dfrac{55 - 5y_M}{\sqrt{5}} \geq \dfrac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}$
$\quad$ (chỗ này phải giải thích vì sao $y_M\le 6$, dù là đơn giản)

Vậy $Min_{MA + 2MB} = 5\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} (7 - x_M).2x_M = (9 - y_M)(16 - 2y_M)\\ (x_M - 1)^2 + (y_M - 1)^2 = 25\\ 23 - x_M - 2y_M = 2(2x_M - y_M + 9)\end{matrix}\right.$

(Thiếu điều kiện $y_M=6$)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_M = 1\\y_M = 6\end{matrix}\right.$

Khi đó: $M = (1; 6)$

____________________________
Thêm một bạn nữa "Đại Số hoá" Hình học giải tích! (BĐT hoá)
Điểm bài làm: $d=7$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-37}{2}\right\rfloor+3\times 7=28$



#351216 [MHS2013] Trận 2 - Phương trình lượng giác

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 31-08-2012 - 21:33 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2013

Giải

Phương trình tương đương:
$(1 + \sqrt{3})\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin{2x} + \cos{2x}) = 2\sqrt{2}[\cos{x}\cos{\dfrac{\pi}{3}} + \sin{x}\sin{\dfrac{\pi}{3}} - \sin^2{x}]$

$\Leftrightarrow \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(\sin{2x} + \cos{2x}) = 2\left(\dfrac{1}{2}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} - \sin^2{x}\right)$


$\Leftrightarrow (\sqrt{3} + 1)(\sin{2x} + \cos{2x}) = 2\cos{x} + 2\sqrt{3}\sin{x} - 4\sin^2{x}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{3} + 1)\cos^2{x} + 2(\sqrt{3} + 1)\sin{x}\cos{x} + (3 - \sqrt{3})\sin^2{x} = 2(\cos{x} + \sqrt{3}\sin{x})$

$\Leftrightarrow (\cos{x} + \sqrt{3}\sin{x}).\left[(\sqrt{3} + 1)\cos{x} + (\sqrt{3} - 1)\sin{x} - 2\right] = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos{x} = -\sqrt{3}\sin{x} \, (1)\\(\sqrt{3} + 1)\cos{x} + (\sqrt{3} - 1)\sin{x} = 2 \, (2)\end{array}\right.$


Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \tan{x} = \dfrac{-1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \dfrac{- \pi}{6} + k\pi \, (k \in Z)$


Ta lại có:

$(2) \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \,\, (3)$


Chú ý: $\sin{15} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos{30}}{2}} = \sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$

Do đó:
$(3) \Leftrightarrow \cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{x} + \sin{\dfrac{\pi}{12}}\sin{x} = \cos{\dfrac{\pi}{4}}$


$\Leftrightarrow \cos{(x - \dfrac{\pi}{12})} = \cos{\dfrac{\pi}{4}}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x - \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\x - \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{-\pi}{4} + 2k\pi\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\\x= \dfrac{-\pi}{6} + 2k\pi\end{array}\right.$

Vậy, phương trình có nghiệm: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{- \pi}{6} + k\pi$ với $k \in Z$


$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$

S = 52 - 1 + 3x10 + 5 + 0 = 86



#351258 [MHS2013] Trận 2 - Phương trình lượng giác

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 31-08-2012 - 23:15 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2013

Mở rộng: (Sự thay đổi hệ số của các biểu thức lượng giác)
Giải phương trình:
$(a + b)\sin{(2x + \dfrac{\pi}{4})} = \sqrt{2(a^2 + b^2)}\left[\cos{(x - \alpha)} - m\sin^2{x}\right]$


với $\left[\begin{array}{l}\sin{\alpha} = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\\cos{\alpha} = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{array}\right.$

và $m = \dfrac{b^3 + ba^2 + 3b^2a - a^3}{2b^2\sqrt{a^2 + b^2}}\,(b \neq 0)$

(Giải tương tự nếu biểu thức phía sau là $m\cos^2{x}; m\sin{x}\cos{x}$ - giá trị của m sẽ khác)

Giải

Phương trình trên tương đương:
$\dfrac{\sqrt{2}(a + b)}{2}\left(\sin{2x} + \cos{2x}\right) = \sqrt{2(a^2 + b^2)}(\cos{x}\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \sin{x}\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} - m\sin^2{x})$

$\Leftrightarrow (a + b)\cos^2{x} + 2(a + b)\sin{x}\cos{x} - (a + b)\sin^2{x} = 2b\cos{x} + 2a\sin{x} - 2m\sqrt{a^2 + b^2}\sin^2{x}$


$\Leftrightarrow (a + b)\cos^2{x} + 2(a + b)\sin{x}\cos{x} + (2\dfrac{b^3 + ba^2 + 3b^2a - a^3}{2b^2\sqrt{a^2 + b^2}}.\sqrt{a^2 + b^2} - a - b)\sin^2{x} = 2b(\cos{x} + \dfrac{a}{b}\sin{x})$

$\Leftrightarrow (a + b)\cos^2{x} + 2(a + b)\sin{x}\cos{x} + \dfrac{2ab^2 + a^2b - a^3}{b^2}\sin^2{x} = 2b(\cos{x} + \dfrac{a}{b}\sin{x})$

$\Leftrightarrow (\cos{x} + \dfrac{a}{b}\sin{x})\left[(a + b)\cos{x} + \dfrac{2b^2 + ab - a^2}{b}\sin{x} - 2b\right] = 0$


Cả 2 phương trình suy ra đều là phương trình cơ bản.

Bài toán MHS2 áp dụng với $a = \sqrt{3}; b = 1; m = 1$

Bài toán này đúng là "rộng hơn" bài toán MHS2, nhưng thật ra cũng chưa rộng lắm vì điều kiện ràng buộc quá nhiều chỗ hệ số, góc $\alpha$$, hệ số $m$ nên ta có thể hiểu đây là bài toán tổng quả hơn tí mà thôi.
$$\boxed{\boxed{Điểm mở rộng: 5}}$$



#433497 [Phương trình lượng giác]

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-07-2013 - 13:09 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải
ĐK: $\sin{2x} \neq - 1 \Leftrightarrow 2x \neq \dfrac{-\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{- \pi}{4} + k\pi (k \in Z)$
 
Phương trình ban đầu tương đương:
$\sin{2x} + 3\sqrt{2}\cos{x} - 2\cos^2{x} - 1 = \sin{2x} + 1$
 
$\Leftrightarrow 2\cos^2{x} - 3\sqrt{2}\cos{x} + 2 = 0$
 
$\Leftrightarrow (2\cos{x} - \sqrt{2})(\cos{x} - \sqrt{2}) = 0$
 
$\Rightarrow \cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, (\cos{x} \leq 1)$
 
$\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{4} + k2\pi$
 
Đối chiếu điều kiện, ta chọn $x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \, (k \in Z)$



#443590 [TOPIC] Phương trình lượng giác - Các đề thi thử 2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-08-2013 - 12:40 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

Bài 1.
Phương trình ban đầu tương đương: $2\sin{3x}\left (4\cos^2{x} - 3 \right ) = 1 \, (1)$
- Nhận thấy $\cos{x} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in Z)$ không phải là nghiệm của phương trình.
 
- Với $\cos{x} \neq 0$, phương trình (1) tương đương:
$2\sin{3x}\left ( 4\cos^3{x} - 3\cos{x}\right ) = \cos{x} \Leftrightarrow 2\sin{3x}\cos{3x} = \cos{x}$
 
$\Leftrightarrow \sin{6x} = \sin{\left ( \dfrac{\pi}{2} - x \right )}$
 
Bài 2.
- Nhận thấy : $\cos{\dfrac{x}{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \, (k \in Z)$ không phải nghiệm của phương trình.
 
- Với $\cos{\dfrac{x}{2}} \neq 0$, phương trình đã cho tương đương:
$2\sin{\dfrac{5x}{2}}\cos{\dfrac{x}{2}} = 5\cos^3{x}\sin{x}$
 
$\Leftrightarrow \sin{3x} + \sin{2x} = 5\cos^3{x}\sin{x}$
 
$\Leftrightarrow 5\cos^3{x}\sin{x}- \sin{x}(3 - 4\sin^2{x}) - 2\sin{x}\cos{x} = 0$

 

$\Leftrightarrow \sin{x} \left ( 5\cos^3{x} - 2\cos{x} - 4\cos^2{x} + 1\right ) = 0$
 
$\Leftrightarrow \sin{x}(\cos{x} - 1)(5\cos^2{x} + \cos{x} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sin{x} = 0\\\cos{x} = 1\\\cos{x} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{21}}{10}\end{matrix}\right.$
 
Chú ý đối chiếu ĐK $\cos{\dfrac{x}{2}} \neq 0$



#313655 [Treo thưởng] \[\frac{{3+\sqrt x}}{{{x^2}+x\sqrt x+x+3}}+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 01-05-2012 - 11:12 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài toán: Giải phương trình: \[\frac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + \frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} = \frac{{10}}{3}\]

Giải

ĐK: $x \geq 0$
Phương trình ban đầu tương đương:
$(\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + 1) + (\frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} + 1) = \dfrac{25}{3}$

$\Leftrightarrow (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6).[\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3}] = \dfrac{25}{3} \,\,\, (2)$

Do $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có:
$\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3} \geq \dfrac{25}{3x^2 + 3x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 18} = \dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)}$

Do đó:
$VT_{(2)} \geq (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)\dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)} = \dfrac{25}{3} = VF_{(2)} $

Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$x^2 + x\sqrt{x} + x + 3 = x^2 + x\sqrt{x} + 4 = x^2 + \sqrt{x} + 4 = x + \sqrt{x} + 4 = x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3$

$\Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất: x = 1