Họ tên: Trương Hoàng Long
Nick trong diễn đàn: Long Cold Ice
Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]
Dự thi cấp: THCS & THPT 

kẻ DK vuông góc AB

$DK \cap NH = \begin{Bmatrix} I \end{Bmatrix}$

Ta sẽ c/m I cố định

$\widehat{BNH}=\widehat{APD}=\widehat{HMD}$ ( tứ giác nội tiếp đã c/m ở câu trên )

mà $\widehat{ABM}=\widehat{ADP}$ (cmt )

=> $\widehat{NHM}=\widehat{MHD}=45^{\circ} (cmt)$ =>  $\widehat{AHN}=45^{\circ}$ ( $\widehat{MHA}=90^{\circ}$ )

tứ giác IDPA có $\widehat{AHN}=\widehat{ADK}=45^{\circ}$  ( tự c/m )

=> IDPA nội tiếp => $\widehat{IAD}=\widehat{IHD}=90^{\circ}$

=> tam giác AID vuông cân => IK=KD= $\frac{AB}{2}$  không đổi

=> ĐPCM

 

Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện Triệu Sơn
Năm học 2014-2015
Môn thi: Toán 9

Câu 1:
Cho $P= \left ( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} +\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right ):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$
1. Rút gọn P
2. Chứng minh $0<P\leq 2$
Câu 2:
1 Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\frac{x+8}{5}$
2. Giả sử x.y,z là các số thực khác 0 thoả mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$ và $x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )+y\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{z}\right )+z\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}\right )=-2$
Tính $P= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
3. CMR với các số dương a,c,c bất kỳ, ta có: $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\leq \frac{a+b+c}{2}$
Câu 3:
1 tìm các số nguyên x,y thoả mãn $x^{2}+2y^{2}+2xy+3y-4=0$
2.  Cho $A=k^{4}+2k^{3}-16k^{2}-2k+15$ với K thuộc Z. Tìm đk của k để A chia hết cho 16
Câu 4
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ EH vuông góc AB ( E thuộc AB), HF vuông góc AC( F thuộc AC).
a) Chứng minh AE.AB=AF.AC
b) Qua A kẻ AI vuông góc EF ( I thuộc BC). Chứng minh I là trung điểm của BC.
c) CMR: Nếu $S_{ABC}=2S_{AEHF}$ thì ABC là tam giác vuông cân.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có  $\angle B=20^{0}$. Kẻ phân giác BI ( I thuộc AC), vẽ $\angle ACH=30^{0}$ ( H thuộc AB). Tính $\angle CHI$
Câu 5:
Cho 3 số thực không âm x,y,z thoả mãn x+y+z=1
Tính GTNN của biểu thức $P= x^{3}+y^{3}+\frac{1}{2}z^{3}$ 

 

 2.3 : Ta có :$\frac{4ab}{a+b}\leq \frac{(a+b)^{2}}{a+b}= a+b$

chứng minh tương tự :

$\frac{ab}{a+b}+\frac{ac}{a+c}+\frac{bc}{b+c}\leq \frac{2(a+b+c)}{4}= \frac{a+b+c}{2}$

(dấu = xảy ra khi a=b=c)

mình xin khui bài hình

hình mong các bạn tự vẽ

Tự c/m MNAP là hinh vuông có $AM\cap NP=\begin{Bmatrix} I \end{Bmatrix}$ suy ra I là trung điểm 2 đường chéo

Ta có : $\bigtriangleup HNP$ vuông tại H có HI là trung tuyến => HI=NI=IP ( = AI=IM)

Tam giác MHA có HI = AI = IM

=> tam giác MHA vuông tại H

Tứ giác AMHP có $\widehat{MHA}=\widehat{APM}=90^{\circ}$

=> AMHP nội tiếp => $\widehat{APH}=\widehat{HMD}$ (1)

Xét tam giác BMA và DPA có :

$\widehat{MAB}=\widehat{DAP}=45^{\circ}$

$\frac{AP}{AM}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (tự c/m )

=> tam giác đồng dạng => $\widehat{ABM}=\widehat{ADH}$ (*)

từ (1)  = > tam giác DMH đồng dạng tam giác DPA => $\widehat{DHM}=45^{\circ}=\widehat{BAM}$  (**)

(*)(**) = > $\widehat{BMA}=\widehat{DMH}$ = > B,M,H thẳng hàng 

câu b) 

c/m tam giác BMN đồng dạng tam giác BAH (gn)

=>S(ABH)= $\frac{AB^{2}.MN.BN}{$BN^{2}+MN^{2}$}$

đặt MN=x, BN=y

C/m BĐT  $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}$

=> S(ABH) $\leq \frac{AB^{2}}{2}$

MAx S(ABH) = $\frac{AB^{2}}{2}$

dấu = xảy ra khi x=y <=> M trùng D

câu 5 :

tìm điểm rơi

xác định dấu = xảy ra khi x=y= $\sqrt[3]{a}$ ,z= $\sqrt[3]{2b}$

$x^{3}+a+a\geq 3\sqrt[3]{a^{2}}x$

$y^{3}+a+a\geq 3\sqrt[3]{a^{2}}y$

$\frac{1}{2}z^{3}+b+b\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}b^{2}}z$

ta có hệ pt :

$\left\{\begin{matrix}2\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{2b}= 1 & \\ a^{2}= \frac{1}{2}b^{2} & \end{matrix}\right.$

giải hệ thế vào Bđt

        d)5x - 3y=2xy -11

 

=>  $x(2y-5)+3y-11=0$

=> $2x(2y-5)+3(2y-5)=7$

=> $(2x+3)(2y-5)=7$

Tìm nghiệm x,y nguyên

mình nghĩ chỉ cần dùng những thứ đơn giản thôi

Ta có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 24

=> $n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6n^3+11n^2+6n\vdots 24$

=> $n^4+6n^3+11n^2+6n+24(n-1)\vdots 24$

=> ĐPCM

Tính: 

A=$\frac{4}{3.7}+\frac{4}{7.11}+\frac{4}{11.15}+...+\frac{4}{95.99}$

B=$\frac{{7^2}}{2.9}+\frac{7^{2}}{9.16}+\frac{7^{2}}{16.23}+...+\frac{7^{2}}{45.52}$

bạn ghi sai đề mình đã sửa

 A$= \left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{95}-\frac{1}{99} \right )= \frac{1}{3}-\frac{1}{99}= \frac{32}{99}$

B$= 7\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+...+\frac{1}{45}-\frac{1}{52} \right )= 7\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{52} \right )= \frac{175}{52}$

Ta nhận thấy dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20

=> z=3x=3y

Ta có:    $z+3x+3y\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

=>  $100+2(100-z)\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

mà $-2z\leq 120$

=> 300-120$\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

<=> xyz$\leq 24000$

MaxA=24000   ( dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20 )

Bài này chỉ cần chứng minh

$x^{5}-x\vdots 30$

$x^{5}-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1)=x(x-1)(x+1)(x^2-4+5)=x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)+5x(x-1)(x+1)$

tích 5 số nguyên liên thì chia hết cho 30 , tích 3 số liên tiếp chia hết cho 6

=> ĐPCM

thay lần lượt các giá trị a1,a2... vào x (chỉ là tượng trưng )

Xét TH :

Với x=0 (loại)

X=1 (TM)

$x\geq 2$

=> $x^{1975}-x=x(x^{1974}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^{1973}-x^2=x^2(x^{1971}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^2+x+1\vdots (x^2+x+1)$

=> $x^{1975}+x^{1973}+1\vdots x^2+x+1$

mà $x^{1975}+x^{1973}+1\neq x^2+x+1$

=> Loại

Vậy chỉ có một nghiệm là x=1

Cách khác :

a.b.c  $\vdots 5$

mà a,b,c là số nguyên tố

$\begin{bmatrix} a=5\\ b=5 \\ c=5 \end{bmatrix}$

giả sử a=5 

5bc=5(b+c)+25

=> bc-b-c=5

=>(b-1)(c-1)=6

tìm nghiệm nguyên tố

(a;b;c) = (5;2;7) và các hoán vị

2.  $8x^{2}-y(3x+5)-25=0$

=> $9x^{2}-25-y(3x+5)-x^{2}=0$

=>  $(3x+5)(3x-y-5)-x^{2}=0$

=>  $(3x+5)(27x-9y-45)-9x^{2}+25=25$

=>  $(3x+5)(27x-y-45-3x+5)=25$

=>  $(3x+5)(24x-9y-40)=25=25.1=5.5=-25.-1=-5.-5$

Tìm x,y nguyên

1.  $y^{2}-12+x(2y-7)=0$

=> $4y^{2}-48+4x(2y-7)=0$

=> $4y^{2}-49+4x\left ( 2y-7 \right )=-1$

=> $(2y-7)\begin{bmatrix}(2y+7)+4x \end{bmatrix}=-1$

tới đây chỉ cần giải x,y nguyên là xong

cảm ơn bạn

Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=1$

Chứng minh :

    $\sum \frac{ab}{c+1}\leq \frac{1}{4}$

GT=> $a^{2000}(a-1)+b^{2000}(b-1)=0$ => $b^{2000}(b-1)=-a^{2000}(a-1)$

Lại có:  $a^{2000}(a-1)(a+1)+b^{2000}(b+1)(b-1)=0$

=> $a^{2000}(a-1)(a+1-1)=0$

=> a=0;1

a=0 (loại) (a,b >0 )

a=1 => b=1 ( loại b=0 )

=> S=2

Ta có : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+ac+bc}$

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{(ab+ac+bc)}+\frac{1}{(ab+ac+bc)} \geq\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}= \frac{9}{(a+b+c)^2}=9$ (*)

$\frac{21}{3(ab+ac+bc)}\geq \frac{21}{(a+b+c)^2}=21$ (**)

Cộng (*)+(**) => $P\geq 21+9=30$

dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bạn ơi dấu * ở đây nghĩa là dấu gì vậy?

chắc dấu nhân !!!!

Đặt $(x-a)(x-10)+1=(x-b)(x-c)$

<=> $x^2-x(a+10)+10a+1=x^2-x(b+c)+bc$

Đồng nhất hệ số

=>$\left\{\begin{matrix} a+10=b+c\\ 10a+1=bc \end{matrix}\right.$

=> $10b+10c-bc=99$

=> $(b-10)(c-10)=1$

=>(b;c)=(9;9);(11;11)

=> a=8;12

Cho a,b,c>0 sao cho $6a+\sqrt{3b}+\sqrt[3]{2c}=3$

Tìm Min S= $\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}$

Cho $x,y>0$ sao cho $x+y=1$

Tìm max B= $x^2y^3$

Cho 2 số hữu tỉ a, b thỏa mãn $a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}+2a+2b+1=0$

Chứng minh rằng (1-ab) là bình phương của một số hữu tỉ

gt <=> $ab\left ( a+b \right )^{2}+2(a+b)+1=0$

đặt a+b=x

=> $ab.x^{2}+2x+1=0$

$\Delta' = 1-ab\geq 0$

vì a,b là hai só hữu tỉ => a+b , a.b là các số hữu tỉ

=> $\sqrt{\Delta }$ là số hữu tỉ => ĐPCM

chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì :

  $n^4+6n^3+11n^2+30n-24$ chi hết cho 24

Ta có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 24 ( tự c/m)

=> $n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6n^3+11n^2+6n \vdots 24$

=> $n^4+6n^3+11n^2+6n+24(n-1)\vdots 24$

=> ĐPCM