$\int_{1}^{2}\frac{1-x^{2}}{x+x^{3}}$

Ta có:

$I=\int \frac{1-x^2}{x+x^3}dx=\int \frac{\frac{1}{x^2}-1}{x+\frac{1}{x}}dx=-\int \frac{d(x+\frac{1}{x})}{x+\frac{1}{x}}=-ln|x+\frac{1}{x}|+C$

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }},y = 0,x = 3$

xung quanh trục hoành .

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\frac{x+1}{\sqrt{3+x^2}}=0\Leftrightarrow x=-1$

Thể tích quay là:$V=|\pi\int_{-1}^{3}(\frac{x+1}{\sqrt{3+x^2}}-0)^2dx|=\pi\int_{-1}^{3}\frac{(1+x)^2}{3+x^2}dx=4\pi-\frac{\pi^2}{\sqrt{3}}+\pi ln3$

Giải bất phương trinh sau:

$2\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x+4}}+x^{2}-4\leq \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}$

ĐK: $x>-4$

$2\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}+x^2-4 \leq \frac{2}{\sqrt{x^2+1}}\Leftrightarrow 2(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}-1)+(x^2-3)+(1-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}})\leq 0\Leftrightarrow \frac{2(x^2-3)}{\sqrt{x+4}(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x+4})}+(x^2-3)+\frac{x^2-3}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}+2)}\leq 0\Leftrightarrow [x^2-3][\frac{2}{\sqrt{x+4}(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x+4})}+1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}+2)}]\leq 0\Leftrightarrow x^2\leq 3\Leftrightarrow |x|\leq \sqrt{3}$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} +\sqrt{x^{2}+3}=3& & \\ \sqrt{x+\sqrt{x^{2}-x+1}}=1+\sqrt{2}-x^{2011} & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x\geq 0$

PT(1): $\sqrt{x}+\sqrt{x^2+3}=3\Leftrightarrow [\sqrt{x}-1]+[\sqrt{x^2+3}-2]=0\Leftrightarrow (x-1)[\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}]=0\Leftrightarrow x=1$

Thay vào pt(2) thấy thỏa mãn. nên hpt có nghiệm $x=1$

$I=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^5+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx$

$\int_{\frac{\Pi }{3}}^{\frac{2\Pi }{3}}\frac{x+(x+sinx).sinx}{(1+sinx).sin^{2}x}$

$\int\frac{x+(x+sinx).sinx}{(1+sinx).sin^{2}x}dx=\int [\frac{x}{sin^2x}+\frac{1}{1+sinx}]dx=-\int xd(cotx)+\int \frac{1}{cos^2\frac{x}{2}(tan\frac{x}{2}+1)^2}dx=-xcotx+\int cotxdx-\frac{2}{tan\frac{x}{2}+1}=-xcotx+ln|sinx|-\frac{2}{tan\frac{x}{2}+1}+C$

Tính tích phân sau:

I = $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}$

Đặt: $t=x+\sqrt{1+x^2}\to (t-x)^2=1+x^2\to x=\frac{1}{2}[t-\frac{1}{t}]\to dx=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t^2})dt$

$\int\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{t^2+1}{2t^2(1+t)}dt$

Đến đó là cơ bản rồi.

Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\sum\frac{1}{x}=1$.

CMR: $\sum\frac{x^2}{x+yz}\geq\frac{x+y+z}{4}$

Bài 2: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xyz=3$.

CMR: $x^\frac{1}{x}y^\frac{1}{y}z^\frac{1}{z}\leq3^\frac{xy+yz+zx}{9}$

 

$\int_{1}^{3}\frac{3+lnx}{(x+1)^{2}}$

$\int\frac{3+lnx}{(x+1)^{2}}dx=\int [\frac{3}{(1+x)^2}+\frac{lnx}{(1+x)^2}]dx=-\frac{3}{1+x}-\int lnx d(\frac{1}{1+x})=-\frac{3}{1+x}-\frac{lnx}{1+x}+\int\frac{1}{x(1+x)}dx=-\frac{3}{1+x}-\frac{lnx}{1+x}+ln\frac{x}{1+x}+C$

 

ac làm sao mà tính được nghiệm zậy??

mà hình như $f'''(x)$ cũng có nghiệm duy nhất phải!! nếu thế thì theo lập luận trên là có 4 nghiệm???

$x(3log_{2}x-2)> 9log_{2}x-2$

ĐK: $x>0$

PT$\Leftrightarrow 3(x-2).log_{2}x>2(x-1)$

dễ thấy $x=2$ không thỏa mãn. Vậy $x\neq 2$

$\to f(x)=\left\{\begin{matrix}3.log_{2}x-\frac{2(x-1)}{x-2}>0,x>2\\3.log_{2}x-\frac{2(x-1)}{x-2}<0,0<x<2\end{matrix}\right.$

Ta thấy $f'(x)>0$ với mọi $x>0, x\neq2$

Vẽ bảng biến thiên ra là được...!!

$log_{\frac{1}{3}}log_{5}(\sqrt{x^{2}+1}+x)>log_{3}log_{\frac{1}{5}}(\sqrt{x^{2}+1}-x)$

Đề như vậy ah:$\log_{\frac{1}{3}}[\log_{5}(\sqrt{x^{2}+1}+x)]>\log_{3}[\log_{\frac{1}{5}}(\sqrt{x^{2}+1}-x)]\Leftrightarrow -\log_{3}[\log_{5}(\sqrt{1+x^2}+x)]>\log_{5}[\log_{3}(\sqrt{1+x^2}+x)]$

Đặt: $t=\sqrt{1+x^2}+x>0$

$\Leftrightarrow \log_{3}[\log_{5}t]+\log_{5}[\log_{3}t]<0$

$\Leftrightarrow [\frac{1}{\ln3}+\frac{1}{\ln5}]\ln \ln t-[\frac{\ln\ln5}{\ln3}+\frac{\ln\ln3}{\ln5}]<0$

$\Leftrightarrow t<e^{e^{\frac{\ln5\ln\ln5+\ln3\ln\ln3}{\ln3+\ln5}}}$

Thử các 3 giá trị  để $4^x$ có nghiệm đẹp thì thấy $4^{1/2}; 4^1;4^0$ khá đẹp (xong thử lại bằng máy tin :3 hoặc dùng wolf.

Mà ý e ko phải tìm nghiệm cái nớ mà tìm nghiệm $f''(t)=0$ tê??

Bài toán: Cho $x;y;z \in [1;3]$. Chứng minh rằng

 

$$6 \leq \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \leq \frac{26}{3}$$

CK:"hơi dài"

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x\geq y\geq z$

Xét hàm: $f(x)=(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})x+\frac{y+z}{x}+\frac{y^2+z^2}{yz}$ với $y\leq x\leq3$

Ta có: $f'(x)>\frac{(y+z)(x^2-yz)}{x^2yz}>0\to f(x)\leq f(3)$

Tiếp tục xét: $P(z)=f(3)=(\frac{1}{3}+\frac{1}{y})z+\frac{3+y}{z}+\frac{9+y^2}{3y}$, với $1\leq z\leq y$

Ta có: $P'(z)=\frac{(y+3)(z^2-3y)}{3yz^2}<0\to P(z)\leq P(1)=\frac{4(y-1)(y-3)}{3y}+\frac{26}{3}\leq \frac{26}{3}$

Vế còn lại dùng AM-GM là được...

Trong mp Oxy cho Elip (E) với 2 tiêu điểm $F_{1}(-1;0);F_{2}(1;0)$ thoả mãn điều kiện sau đây:Nếu M là một điểm thuộc (E) sao cho $\angle F_{1}MF_{2}=120^{o}$ thì diện tích tam giác $MF_{1}F_{2}$ bằng $2013\sqrt{3}$(đvdt).Lập phương trình  chính tắc của (E).

Giải:

Gọi tọa độ $M(x;y)$

Ta có: $2c=F_{1}F_{2}=2\to c=1$

$MF_{1}=a+\frac{cx}{a}=a+\frac{x}{a}$, $MF_{2}=a+\frac{cx}{a}=a-\frac{x}{a}$

$\to S_{F_{1}MF_{2}}=\frac{1}{2}.d(M,Ox).F_{1}F_{2}=|x|=2013\sqrt{3}$

Áp dụng định lí hàm số cos, ta có: $F_{1}F_{2}^2=MF_{1}^2+MF_{2}^2-2MF_{1}.MF_{2}.cos120\to x\neq 2013\sqrt{3}$(Vô Lí)

$\to$ không tồn tại $(E)$ thỏa mãn bài toán.

1) $\int_{0}^{\pi/3} \frac{cosx}{cosx.\sqrt{3+sin^2x}}dx$

 

2)$\int \frac{sin^6x+ cos^6 x}{sin^4x+cos^4x-1/2}dx$

 

ai giải hộ e với T.T

Cách khác:

ta có $cos^6x+sin^6x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}.\frac{1-tan^22x}{1+tan^22x}$

$$ sin^4x+cos^4x-1/2=cos^2 2x$$ 

Nên: $\int \frac{sin^6x+ cos^6 x}{sin^4x+cos^4x-1/2}dx=\int \frac{\frac{5}{8}+\frac{3}{8}.\frac{1-tan^22x}{1+tan^22x}}{cos^22x}dx=\int (\frac{5}{8}+\frac{3}{8}.\frac{1-tan^22x}{1+tan^22x})d(tan2x)$

Xong....

Đề bài:
Cho:
$f(1+\tfrac{\sqrt{3}}{x})= \frac{(1+\sqrt{2012})x^{2}+2\sqrt{3}x+3}{x^{2}}$ với $x \neq 0$
Tính giá trị của $f(\sqrt{2013-\sqrt{2012}})$
 

Xem thử $f(1+\tfrac{\sqrt{3}}{x})= \frac{(1+\sqrt{2012})x^{2}+2\sqrt{3}x+3}{x^{2}}=\frac{\sqrt{2012}x^2+(x+\sqrt{3})^2}{x^2}=\sqrt{2012}+(1+\frac{\sqrt{3}}{x})^2\to f(t)=\sqrt{2012}+x^2$

Bài 4
$\int_{1}^{e}\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx$

Bài 5 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[5]{(1+x^5)^6}}$

@trangxoai1995: Em nhớ đánh số các bài toán nhé!
(E.Galois)

Ko biết ac nào làm chưa?? e lm thử

Bài 4
$\int_{1}^{e}\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx$
$\int \frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx=\int \frac{lnx}{(lnx+1)^2(1+\frac{x}{lnx+1})}dx=\int \frac{1}{(1+\frac{x}{lnx+1})^3}d(\frac{x}{lnx+1})$
xong...

Câu 5 tông quát:
$\int\frac{1}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}=\frac{x}{\sqrt[n]{1+x^n}}+C$
.....


Bài 9:
$\int_{\frac{\pi }{4}}^\frac{\pi }{2}\frac{\sqrt{sin3x+sinx}}{sin5x-5sin3x+10sinx}dx$

$\sin3x+\sinx=2 \sin2x cosx=4sinx .cos^2x\to \sqrt{sin3x+sinx}=2\sqrt{sinx}cosx$
$sin5x-5sin3x+10sinx=16sin^5x$
nen: $\int\frac{\sqrt{sin3x+sinx}}{sin5x-5sin3x+10sinx}dx=\int \frac{\sqrt{sinx}}{16sin^5x}d(sinx)=....$
xong...

Bài 12:
$t=\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}\to x=\frac{2+t^2}{1-t^2}\to dx=\frac{6t}{(t^2-1)^2}dt$
nen : $\int x\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}dx=\int \frac{2+t^2}{1-t^2}.t.\frac{6t}{(1-t^2)^2}dt=\int \frac{6t^2(2+t^2)}{(1-t^2)^3}dt$
ta phan tich: $\frac{6t^2(2+t^2)}{(t^2-1)^3}=\frac{6t^2}{(t^2-1)^2}+\frac{18}{(t^2-1)^2}+\frac{18}{(t^2-1)^3}=\frac{3}{2}[\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t-1}]^2+\frac{9}{2}[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}]^2+\frac{18}{(t^3-1)^3}$
$\frac{8}{(t^2-1)^3}=[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}]^3=(\frac{1}{t-1})^3+(\frac{1}{t+1})^3+\frac{6t}{(t^2-1)^2}$
Ok....

cau 13 ban ghi sai de khong nhi?? minh nghi de dung la: $I=\int \sqrt{\frac{x}{x^3+1}}dx$

Bài 13: $\int \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}dx$



Câu 11: $\int \frac{sinxcos2x}{cos5x}dx=\int \frac{sin2xcos2x}{cos4x+cos6x}dx=-\frac{1}{8}\int \frac{cos2x}{(cos2x+1)(cos2x-\frac{1+\sqrt{5}}{4})(cos2x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})}d(cos2x)$
Bạn phân tích ra là được:
$\frac{x}{(x+a)(x+b)(x+c)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}$

Bài 6: Tính tích phân I = $\int_{1}^{e}\frac{lnx-1}{x^2-ln^2x}dx$
Bạn có thể làm như thế này: $\int\frac{lnx-1}{x^2-ln^2x}dx=\int \frac{1}{1-(\frac{ln}{x})^2}.\frac{lnx-1}{x^2}dx=\int\frac{1}{1-(\frac{ln}{x})^2}d(\frac{lnx}{x}) =....$

Xong....

Tặng mọi người 1 câu
Câu 14:
$I=\int tanx.\tan2x.\tan4xdx$

Cho em hỏi: em thấy một số tài liệu luyện thi đại học có sử dụng công thức Bayes để tính xác suất, nhưng em không thấy công thức này nhắc trong SGK, vậy khi đi thi có được sử dụng không ạ??

 

a)$\int_{0}^{1}\frac{2^{\frac{x}{2}}dx}{(2^{x}-9)\sqrt{3-2^{1-x}}}$

 

b)$\int_{1}^{2}\frac{ln(x^{2}+1)dx}{x^{3}}$

 

a/ 

$\int\frac{2^{\frac{x}{2}}dx}{(2^{x}-9)\sqrt{3-2^{1-x}}}=\int \frac{2^x}{(2^x-9)\sqrt{3.2^x-2}}dx$

Đặt $t=\sqrt{3.2^x-2}\to 2^x=\frac{t^2+2}{3}\to 2^xdx=\frac{t}{3ln2}dt$

$\to \int \frac{2^x}{(2^x-9)\sqrt{3.2^x-2}}dx=\int \frac{1}{(\frac{t^2+2}{3}-9)t}.\frac{t}{3ln2}dt=\frac{1}{ln2}\int \frac{1}{t^2-25}dt=\frac{1}{10ln2}\ln|\frac{t-5}{t+5}|+C$

b/

$\int\frac{ln(x^{2}+1)dx}{x^{3}}=\int \frac{ln(x^2+1)}{2}d(-\frac{1}{x^2})=-\frac{ln(x^2+1)}{2x^2}+\int \frac{1}{2x^2(x^2+1)}d(x^2)=-\frac{ln(x^2+1)}{2x^2}+\frac{1}{2}\ln|\frac{x^2}{x^2+1}|+C$

Cái này làm như thế nào ?

$\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+sin2x}dx=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{2cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx=\frac{1}{2}tan(x-\frac{\pi}{4})|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1$

bạn tính cụ thể thành tích phân được không?

Tôi tìm nguyên hàm đó là cụ thể rồi...chỉ cần lắp cận vào là OK mà!!

Cho các số thực dương thoả mãn $abc=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\sum \frac{1}{2a+b+6}$

$\int_{1}^{e}\frac{1-x}{(1+xlnx)^{2}}dx$

$\int\frac{1-x}{(1+xlnx)^{2}}dx=\frac{x-1}{x^2}.\frac{1}{(\frac{1}{x}+lnx)^2}dx=\int \frac{1}{(\frac{1}{x}+lnx)^2}d(\frac{1}{x}+lnx)=....$

$\int_{0}^{1}(\frac{x+1}{x^{2}+1})dx$

$\int(\frac{x+1}{x^{2}+1})dx=\int [\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{1+x^2}]dx=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+arctanx+C$