Xét tính hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau:

Bài 1:

$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sqrt{x^3}}{1+x^2}\: dx$

Bài 2: 

$\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}}\: dx$

Chứng minh hệ {$e^{a_1x},e^{a_2x},...,e^{a_nx}$} với $a_1,a_2,...,a_n$ đôi một khác nhau là độc lập tuyến tính.

 

Bài này mình đọc hướng dẫn thì xét ràng buộc tuyến tính:

$$k_1.e^{a_1.x}+k_2.e^{a_2.x}+...+k_n.e^{a_nx}=0$$

 

Lấy đạo hàm đến cấp $n-1$ cả hai vế ta được hệ:

 

$\left\{\begin{array}{l}k_1.e^{a_1.x}+k_2.e^{a_2.x}+...+k_n.e^{a_nx}=0 \\ k_1.a_1.e^{a_1.x}+k_2.a_2.e^{a_2.x}+...+k_n.a_n.e^{a_nx}=0 \\...\\k_1.a_1^{n-1}.e^{a_1.x}+k_2.a_2^{n-1}.e^{a_2.x}+...+k_n.a_n^{n-1}.e^{a_n.x}=0 \end{array} \right.$

 

Đến đây thì sách hướng dẫn rằng chọn biến số $x$ thích hợp để lần lượt suy ra các hệ số $k_i=0$ nhưng mình vẫn chưa biết chọn biến như thế nào cả

Hướng dẫn:

Đến đó thì dùng $Vandermonde$, sau đó suy ra $k_i=0$ thôi!

Mình đoán vậy chứ cũng không biết hướng làm khi dùng định thức Vandermonde

 Hình như ý nha hỏi là "Do hệ phương trình có vô số nghiệm "

Ta có:$\sum_{1}^{\infty }sin(\Pi (2+\sqrt{3})^{n})=\sum_{1}^{\infty}sin(\pi[(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}]-\pi.(2-\sqrt{3})^{n})$(1)

 Mặt khác:$(2+\sqrt{3})^{n}=\sum_{0}^{n}C_{n}^{k}2^{n-k}3^{\frac{k}{2}}$

                $(2-\sqrt{3})^{n}=\sum_{0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}2^{n-k}3^{\frac{k}{2}}$

Nên $(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}=\left\{\begin{matrix} 0&,k=2l+1 \\ m\in N&,k=2l \end{matrix}\right.$

       $\Rightarrow (1)=\sum_{1}^{\infty}sin(m\pi-\pi(2-\sqrt{3})^{n})=\sum_{1}^{\infty}(-1)^{m+1}sin(\frac{\pi}{(2+\sqrt{3})^{n}})$

Đây là chuỗi số đan dấu,hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz                                                                   

Tao biết mày sai ở đâu rồi, cái m đó thứ nhất nó không cố định, thứ 2 là với giá n khác nhau thì n khác nhau, nên chuỗi này ko đan dấu mà có dấu tùng phèo

Xét sự hội tụ: $\sum_{n=1}^{\infty }sin\left ( \pi \left ( 2+\sqrt{3} \right )^{n} \right )$

Cái này có hội tụ đâu vì $\lim_{n\to \infty} \sin\left ( \pi \left ( 2+\sqrt{3} \right )^n \right )\neq 0$

ah,t nhầm.Thực ra m luôn là số chẵn đúng không nên chuỗi=$-\sum_{1}^{\infty}sin(\frac{\pi}{(2+\sqrt{3})^{n}})$ hội tụ

Tao thấy wolframalpha ra kết quả là phân kỳ.

lim không tồn tại chứ không phải là khác 0,lim khác 0 thì mới phân kỳ

Giới hạn này khác không mà chú, chú thử giải nó đi xem có n nào thỏa mãn ko?

Điều kiện cần đề chuỗi hội tụ là lim dãy bằng 0, chú tìm nó có bằng không?

Điều kiện cần mà ko thỏa mãn thì kết luận ngay nó phân kỳ rồi

 

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}.n!}{n^{n}}$

 

Giải:

Đặt $u_n=\frac{2^n\: n!}{n^n}$

Theo tiêu chuẩn D'Alembert, ta có:

$\lim_{n\to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n}=\frac{2}{e}<1$

$\to$ Chuỗi đã cho hội tụ.

Theo tiêu chuẩn Cauchy, ta có:

$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{u_n}=2\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{2}{e}<1$

$\to$ Chuỗi đã cho hội tụ.

(Lưu ý: Vì $\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}$, bạn tự chứng minh.

Gợi ý: Dùng định nghĩa của tích phân hay tổng tích phân Riemann)

Bài mới:

Nếu chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n\: n!}{n^n}$ thì chuỗi phân kỳ. Gợi ý: Có thể dùng công thức gần đúng Stirling.

$1.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{ln^2xdx}{x+x^2}$

 

$2.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{1+sinx}{lnx-3x^2}dx$

 

$3.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{sinx}{x\sqrt{x-1}}dx$

 

$4.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{lnx-ln(x+1))}{\sqrt{x}}dx$

 

Giải:

2. Tích phân đã cho có 2 điểm bất thường là $x=0,\: \infty$

$+\: 0<\alpha<1,\: x\to 0:\: \lim_{x\to 0} x^\alpha\: \frac{1+\sin x}{\ln x-3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x^\alpha}{\ln x-3x^2}=0$

$+\: 1<\beta<2,\: x\to \infty:\: \lim_{x\to \infty} x^\beta\frac{1+\sin x}{\ln x-3x^2}=0$

$\to$ tích phân HT

3. 

4. Tích phân có 2 điểm bất thường là $x=0,\: \infty$

$+\: \frac{1}{2}<\alpha<1:\: \lim_{x\to 0} x^\alpha \frac{\ln x-\ln (1+x)}{\sqrt{x}}=0$

$+\: 1<\beta<\frac{3}{2}:\: \lim_{x\to \infty}x^\beta\frac{\ln x-\ln(1+x)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to \infty} x^{\beta-\frac{1}{2}}\ln\left ( \frac{x}{1+x} \right )=0$

$\to$ tích phân HT

$1.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{ln^2xdx}{x+x^2}$
$2.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{1+sinx}{lnx-3x^2}dx$

$3.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{sinx}{x\sqrt{x-1}}dx$

$4.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{lnx-ln(x+1))}{\sqrt{x}}dx$

Giải:

$1.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{\ln^2x}{x+x^2}dx$

Tích phân có 2 điểm bất thường $x=0, \: \infty$

$+\: \text{khi}\: x\to 0:\: \frac{\ln^2x}{x+x^2}\sim\frac{\ln^2x}{x},\: \to \text{pk}$

Xét 1 điểm mà thấy phân kỳ rồi là cả tích phân nó phân kỳ luôn rôi!!

Câu 3 có vấn đề không??

Cho thêm vài câu này, mong thread cho:

$5.\: \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x}dx$

 

$6.\: \int_1^\infty \ln^\alpha x\: \frac{\sin x}{x}dx,\: \alpha>0$

 

$7. \: \int_0^\infty \frac{\cos\alpha x}{1+x^n}dx$

Giải:

5. $I_5=\int_0^\infty \frac{\sin^2x}{x}dx=\int_0^\infty \frac{1}{2x}dx-\int_0^\infty \frac{\cos2x}{2x}dx\to \text{pk}$

6. Lấy $f(x)=\sin x,\: g(x)=\frac{\ln^\alpha x}{x}$

Vì $\int_0^\infty f(x) \: \to \text{bị chặn},\: g(x)\to \text{liên tục và tiến về 0}\to tpht$

7. $+\: \alpha=0\to \int_0^\infty\frac{1}{1+x^n}dx,\: \text{ht}\Rightarrow n>1$

$+\alpha\neq 0,\: n>0\to \int_0^{\infty}\frac{\cos\alpha x}{1+x^n} dx\:\to \text{ht, vì theo tiêu chuẩn Dirichlet}$

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây:
$U = \frac{-1^{n}}{nlnn}$

Theo tiêu chuẩn Leibniz thì chuỗi đã cho hội tụ.

Chuỗi này hội tụ có điều kiện(tức là hội tụ không tuyệt đối)

Xét sự hội tụ của chuỗi sau $$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n-\alpha}}{e^n\: n!},\: \alpha>\frac{1}{2}$$

Nếu áp dụng công thức Stirling thì kết luận ngay chuỗi hội tụ nhưng e không được học công thức này nên có cách nào để chứng minh chuỗi hội tụ không ạ?

Ta có sự hội tụ của chuỗi trên tương đương với sự hội tụ của $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\ln 2^k}$ mà chuỗi này phân kì nên chuỗi đề bài cho phân kì.

Hình như anh đang dùng "Cauchy consider test" (Em không biết dịch)

$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} 2^nf(2^n)$

Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1 }^{+\infty}\frac{\sqrt{n}}{(n+1)ln(n+2)}$

Chuỗi này phân kỳ, dùng tiêu chuẩn so sánh là thấy

$$\frac{\sqrt{n}}{(n+1)\ln(n+2)}\sim \frac{1}{\sqrt{n}\ln n}>\frac{1}{n\ln n}$$

Hướng dẫn: 
 

Bài 1. $1-cos\frac{2}{x}=\sin^2\frac{1}{x}$

Nên $$\int_{1}^{\infty} \left ( 1-\cos\frac{2}{x} \right )dx=\int_{1}^{\infty}\sin^2\frac{1}{x}dx$$

Khi $x\to \infty$ thì $\sin^2\frac{1}{x}\sim \frac{1}{x^2}$

Mà $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$ hội tụ nên $\int_{1}^{\infty} \left ( 1-\cos\frac{2}{x} \right )dx$ hội tụ.

Bài 2. Hội tụ(Bạn tự làm vì nó là bài cơ bản )

$\int_{0}^{2}\frac{x^{2a^2-1}}{\sqrt[3]{x(x-2)}}$

Dễ thấy tích phân trên có 2 điểm bất thường $x=0,\: x=2$

Khi $x\to 2$ thì $\frac{x^{2a^2-1}}{\sqrt[3]{x(x-2)}}\sim \frac{1}{\sqrt[3]{x-2}}$

Khi $x\to 0$ thì $\frac{x^{2a^2-1}}{\sqrt[3]{x(x-2)}}\sim\frac{1}{x^{\frac{4}{3}-2a^2}}$

Để tích phân hội tụ thì $\frac{4}{3}-2a^2<1\Rightarrow \left | a \right |>\frac{1}{\sqrt{6}}$

Hình như hắn chưa học tích phân Lebesgue, nếu vậy thì sao nhỉ? Mình nghĩ cũng ko ra.

Các bác cứ giải ra xem Nói thế em chịu

Xác định $\alpha$ để dãy $f_n(x)=n^\alpha x e^{-nx}$

a. Hội tụ trên $[0,\: 1]$

b. Hội tụ đều trên $[0,\: 1]$

c. Có thể chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân.

P.s: Nói chung các câu a và b mình làm được rồi, chỉ có câu c là không hiểu đề bài và không biết làm như thế nào

Một gia đình 3 con. Xs sinh bằng được con gái trong lần sinh thứ 3 bằng 0.128 . Xs sinh được một con trai trong 3 lần sinh bằng 0.369 . Tìm sx sinh con trai trong 1 lần sinh . Giả thiết xs sinh con trai và con gái trong mỗi lần sinh là độc lập với nhau

Lời giải.

Gọi $x,\, y$ lần lượt là xác suất sinh con trai và con gái. Khi đó ta có hệ sau:

$$\left\{\begin{matrix} x^2y=0.128\\3y^2x=0.369\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0.51\\y=0.49\end{matrix} \right.$$

Vậy xác suất sinh được con trai trong lần sinh thứ nhất là $51\text{%}$

Ai có tài liệu Học Máy (Machine learning) hoặc Trí Tuệ Nhân Tạo (AI) bằng Tiếng Việt không, dốt tiếng anh nên đọc không hiểu  

Mạng cá mập up lên lâu v~ 

https://drive.google...iew?usp=sharing

Mà đại ca học Toán tin hay CNTT vậy :v

Haizz, mình học Toán Tin  

Thế bạn học cái này rồi à, để mình xin ít kinh nghiệm

Em down tài liệu về tích trữ trong máy thôi chứ cái này tầm năm 2 mới học 

Toán tin ngoài đó học nhiều nhề . Trường em bọn toán tin chỉ học chung mấy môn giải thuật + lập trình :3 

Bọn mình hè rảnh rỗi nên kiếm việc làm cho bớt rảnh thôi chứ ko được học ở trường

Có anh chị hay thầy cô giáo có file hay link tải quyển sách này không ạ: http://books.google....AAAAIAAJ&redir_

Em cảm ơn ạ

Tôi đề nghị bạn xem lại và viết lại đề bài một cách hoàn chỉnh, đúng đắn.

 

Trong tiêu đề bạn viết yêu cầu của đề bài là "Xét sự hội tụ của chuỗi sô". Tuy nhiên trong bài viết thì bạn lại viết một dãy số hữu hạn có số hạng tổng quát là $u_n=\frac{n!}{2^n+1}$.

Giải:

+ Tiêu chuẩn Raabe:

$\lim_{n\to \infty} n\left ( \frac{u_n}{u_{n+1}}-1 \right )=\lim_{n\to \infty} n\left ( \frac{2^{n+1}+1}{(n+1)\left ( 2^n+1 \right )}-1 \right )=-\infty$

$\to$ Chuỗi đã cho phân kỳ.

+ Tiêu chuẩn Cauchy:

$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{2^n+1}}=+\infty$

$\to$ CHuỗi đã cho phân kỳ.

+ Tiêu chuẩn D'Alembert:

$\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{(1+n)\left ( 1+2^n \right )}{1+2^{n+1}}=+\infty$

$\to$ Chuỗi đã cho phân kỳ.