Bài 26 (Azerbaijan JMO). Cho $n\in\mathbb{N}$. Chứng minh rằng:

\[n\sqrt[n+1]{n+2}+\sqrt[n+1]{n+2}-1<n+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n+1}\]

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+...+\frac{n+2}{n+1}>(n+1)\sqrt[n+1]{n+2}$

đúng theo AM-GM nhưng đấu bằng không xảy ra

b) từ câu a) ta dễ thầy tam giác PDQ đồng dạng tam giác CFB và bằng biến đổi góc ta chứng minh được tam giác EDQ và CFD đồng dạng ghép các tỉ số với chú ý BD.DC=DE.DF 

bài này vẫn đúng khi đổi điều kiện thành ab+bc+ac+abc=4 và khi đổi điều kiện thành a+b+c+1=4abc thì bất đẳng thức ngược lại tức là

ab+bc+ac $\geq$ a+b+c

em có lời giải bằng talet cho câu b) và mở rông

trong mở rộng khi cho AD là phân giác thì A,I,Y thẳng và khi AD là trung tuyến thì A,T,P,U,Y thẳng nên ta cũng suy ra bài USAMO 2008

ta có AH.AO=BA.BA=AM.AN suy ra 

AH.AO=AM(AH+HN) suy ra AM.HN=AH.OM

AH.AO=AN(AH-HM) suy ra AN.HM=AH.ON suy ra AM/HN=AN.HM

Từ điểm A ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tiếp AB, AC đến đường tròn (O). Vẽ đường kính BD. Từ C vẽ CK vuông góc với BD.

AD cắt CK tại I.

 

Chứng minh: I là trung điểm của CK

kéo dài DC cắt AB tại K do BCK vuông tại C từ đó dễ dàng suy ra A là trung điểm BK từ đó suy ra BK song song CK từ dó đo A là trung điểm BK suy ra I là trung điểm CK

Cho tứ giác ABCD, 2 đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABO và CDO. I, J là trung điểm AD, BC. Chứng minh HK vuông góc với IJ

một bài toán tiêu biểu của tích vô hướng giải bằng bổ đề sau $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$

6) trong 17 số thì toàn tại ít nhất 5 số có cùng số dư suy ra đây là 5 số cần tìm 

5) trong các số có dang 11...11 thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 1993 giả sử a=11...1(m số 1 ) và b=11...1( n số 1 )với m>n suy ra a-b chia hết cho 1993 mà $a-b=111...11.10^{n}$ với m-n số 1 mà $(1993,10^n)=1$ suy ra  111...11 chia hết cho 1993 có m-n số 1

2)$n^2+1 |n^3-8n^2+2n=n(n^2+1)-8(n^2+1)+n+8$ suy ra $n^2+1|n+8$ suy ra $n+8 \geq n^2+1$ tương dương $-2\leq n \leq 3$ mà n>0 vậy thử vài trường hợp thì suy ra n=2

Tìm số tự nhiên $\overline{abcd}$ sao cho số đó chia hết cho tích của $\overline{ab}$ và $\overline{cd}$

Giải

Theo bài ra, ta có: $\overline{abcd} \, \vdots \, \overline{ab}.\overline{cd} \Leftrightarrow \overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}.\overline{cd}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\\overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{cd}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\\left[\begin{array}{l} \overline{ab} \, \vdots \, \overline{cd}\\100 \, \vdots \, \overline{cd} \end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}\overline{ab} \, \vdots \, \overline{cd}\\\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\100 \, \vdots \, \overline{cd}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \overline{ab} = \overline{cd} \,\,\,\,\, (1)\\\left\{\begin{array}{l}\overline{cd} = 10; 20; 25; 50\\\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\end{array}\right. \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

* Với $\overline{ab} = \overline{cd}$ theo đề ra, ta có:
$\overline{abab} \, \vdots \, (\overline{ab})^2 \Rightarrow 101 \, \vdots \, \overline{ab}$

Không tồn tại giá trị nào thỏa mãn đề bài.

* Với:
$\overline{cd} = 10 \Rightarrow \overline {ab} = 10$
Cặp số nói trên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$\overline{cd} = 20 \Rightarrow \overline{ab} = 10; 20$

$\overline{cd} = 25 \Rightarrow \overline{ab} = 25$

$\overline{cd} = 50 \Rightarrow \overline{ab} = 10; 25; 50$
Tất cả các giá trị nói trên đều không thỏa mãn đề bài.

KẾT LUẬN: Không tồn tại số $\overline{abcd}$ để nó chia hết cho tích $\overline{ab}.\overline{cd}$

^^! Po: Không dám chắc vì mình không giỏi phần số học cho lắm!!!

 

theo mình ko thể kết luận nếu ab.100 chia hết cho cd thì ab chia hết cho cd hoặc hoặc 100 chia hết cho cd được vì ab và 100 ko nguyên tố cùng nhau

gọi điểm đó là G thì G thuộc cung nhỏ BC sao cho GB=SC

giải

góc BAS=BJS=TAC=TAG suy ra G ko đổi

bạn làm rõ ra được ko, mình chưa hiểu lắm  

bổ đề đầu MOAQ là tứ giác nội tiếp chứng minh bằng góc QMA =90-$\frac{BCA}{2}$=góc QOA chứng minh bằng các đường phân giác

1a)dùng vài bài toán cơ bản sau chứng minh đc MOAQ và NOPB là tứ giác nội tiếp rồi dùng tam giác dồng dạng suy ra $\frac{MP}{OP}=\frac{AP}{QP}$ , và dủng bổ đê sau AQPB nội tiếp suy ra $\frac{PQ}{AB}=\frac{AP}{BC}$ vậy để thỏa đề thì phải chứng minh BC.QP=AP.OB cái này đúng theo 2 tam giác đồng dạng là BOC và PQA  cái này động dạng góc góc chứng minh dễ dàng

b) câu này thì theo bổ đề câu a) suy ra E là tâm (AQB) vậy EQB=EBQ=QBC suy ra EQ song song BC suy ra dpcm

em đọc mấy bài giải trên rồi nhưng không biết cách em có giống mấy cách trên không nếu giống mong mọi người thứ lỗi 

PE giao AQ=I và QF giao AP=J chứng minh được I,J thuộc (O) dùng pascal cho A,A,I,J,E,F suy ra EF, PQ, tiếp tuyến tại A đồng qui và AM giao NF tại T' áp dụng pascal cho A.F.N,J,I,M suy ra P,T',O thẳng hàng suy ra T' trùng T suy ra T, N, F thẳng chứng minh tương tự S,M,E thẳng áp dụng pascal cho A,A,,M,N,F,E suy ra ST, EF tiếp tuyến tại A suy ra ST,PQ,EF, tiếp tuyến tại A đồng qui (em không biết cách viết thứ tự các điểm để dùng pascal nên mong mọi người thứ lỗi)

kéo dài CB cắt tiếp tuyến của A tại N suy ra góc CEA= góc ACB suy ra tam giác ACE đồng dạng tam giác NAC mà chứng minh được S là trung diểm NA mà O là trung điểm AC suy ra tam giác OCE đông dạng tam giác SAC suy ra góc CEO bằng góc ACS suy ra SC vuông với OE

a) dùng phương tích suy ra CNS đồng dạng CFA

b)gọi S là giao của TV và FC , kéo dài HF cắt (F) tại N  suy ra theo phương tích suy ra FNCH nội tiếp suy ra HCF=HNF=FHN  suy ra HS vuông góc FC suy ra dpcm 

bài này qui đồng rồi dùng canchy cho $\frac{x^3y}{2}+\frac{xy^3}{2} \geq x^2y^2$ và $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{xy^3}{2}+\frac{x^3y}{2}\geq 2xy$

http://diendantoanho...iểm-thẳng-hàng/

S=pr mà các tam giác này cung chu vi và diện tích suy ra r ko đổi

câu 2 sử dụng phương pháp L,I,C ta có f(1,1,1) đúng và xét f(a,1,0)=$2x^3+2-3x^2 \geq 0$ cái này đúng với x>0 đúng theo đề

bài 1) là IMO 1960 

giải

bổ đề số chia hết cho 11 suy ra tổng các chữ số hàng chẵn trừ các số hàng lẻ chia hết cho 11 suy ra b-a-c chia hết cho 11 suy ra b-a-c=0 hoặc 

b-c-a=11 

TH1 b-c-a=0 suy ra b=c+a thể vào đề biến đổi suy ra cần tìm nghiệm nguyên cho pt sau $10a+c=2a^2+2ac+2c^2$ đến đây nhiều cách giải nhưng cuối cùng suy ra c=0 hoặc c=2 rồi thế ngược cuối cùng thì ra $\overline{abc}=550$

TH2 b-c-a=11 làm tương tự suy ra $\overline{abc}=803$

Giải ra cho em được không?

bài 1) là IMO 1960 

giải

bổ đề số chia hết cho 11 suy ra tổng các chữ số hàng chẵn trừ các số hàng lẻ chia hết cho 11 suy ra b-a-c chia hết cho 11 suy ra b-a-c=0 hoặc 

b-c-a=11 

TH1 b-c-a=0 suy ra b=c+a thể vào đề biến đổi suy ra cần tìm nghiệm nguyên cho pt sau $10a+c=2a^2+2ac+2c^2$ đến đây nhiều cách giải nhưng cuối cùng suy ra c=0 hoặc c=2 rồi thế ngược cuối cùng thì ra $\overline{abc}=550$

TH2 b-c-a=11 làm tương tự suy ra $\overline{abc}=803$

mình giải ở trên rồi mà

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow 4\sum ab+4\sum a+3\geq 8abc+4 \sum ab+2\sum a+1 \Leftrightarrow 2 \sum a +2 \geq 8abc\Leftrightarrow \sum a \geq 3$

cái bất dẳng thức cuối dúng theo AM-GM

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

do abc=1 nên ta có thể thay $a=\frac{yz}{x^2},b=\frac{xz}{y^2},c=\frac{xy}{z^2}$

vậy ta phải chứng minh

$\sum \frac{x^2}{2yz+x^2}\geq 1$

cái này đúng theo C-S