1) Dãy này chặn trên bởi $\frac{15}{2}$(quy nạp) và là dãy tăng.

2)$u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n+1}$.Dãy này chặn dưới bởi $1$ và là dãy giảm,bắt đầu từ $u_2$

3)Dãy này bị chặn trên bởi $2$(quy nạp) và là dãy tăng.

chứng minh dãy tăng hay giảm bằng cách nào ạ ? mình mới học nên không nắm rõ

Xét tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số sau :

1)$\left\{\begin{matrix} U_1=1\\ U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+5 \end{matrix}\right.$

2)$\left\{\begin{matrix} U_1=1\\ U_{n+1}=\dfrac{U_n+2}{U_n+1} \end{matrix}\right.$

3)$\left\{\begin{matrix} U_1=2\\ U_{n+1}=\sqrt{U_n+2} \end{matrix}\right.$

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ có $A(-1;-3)$ đường trung trực của $AB : 3x + 2y – 4 = 0, G( 4;-2)$ là trọng tâm $\Delta ABC$

          Viết phương trình cạnh $BC$. Tìm $B, C$      

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ qua $M(4;1)$ cắt $Ox, Oy$ tại

           $A, B$ theo các trường hợp sau:

            a). Diện tích $\Delta OAB$ nhỏ nhất

            b). $OA + OB$ nhỏ nhất              

p/s: ghi lên đây cho mọi người dễ làm                  

Bài 223: $\begin{cases} & x^{4}-2x=y^{4}-y \\ & (x^{2}-y^{2})^{3}= 3 \end{cases}$

http://diendan.hocma...d.php?t=409046 

có thể tham khảo ở đây ạ , bài khó thật

P/s : Đây là đề kiểm tra đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội - thuộc dạng bài toán hay và khó 

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$

Bài 31: $3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

Bài 36: $\left\{\begin{matrix} &(4x^{2}-4xy+4y^{2}-51)(x-y)^{3}+3=0 \\ &(2x-7)(x-y)+1=0 \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 41: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=0 & \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=10 & \\ &x^{7}+y^{7}+z^{7}=350 & \end{matrix}\right.$

Bài 43: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+8y^{2}-6xy+x-3y-624=0 \\ &21x^{2}-24y^{2}-30xy-83x+49y+585=0 \end{matrix}\right.$

Bài 44: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+y^{2}=(x-y)(xy-1) \\ &x^{3}-x^{2}+y+1=xy(x-y-1) \end{matrix}\right.$

Bài 48: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x}-y)^{2}+(\sqrt{y+x})^{3}=2 \\ &(\sqrt{x-y})^{3}+(\sqrt{y}-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.$

Bài 55: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}=0$

Bài 68: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y+6}=1-y \\ &9\sqrt{1+x}+xy\sqrt{9+y^{2}}=0 \end{matrix}\right.$

Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$

Bài 72: $x^{2}-9=(8x^{3}-28x^{2}+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$

Bài 79: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}=1 \\ &\sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}=(\sqrt[2017]{x}-\sqrt[2017]{y})(x+y+xy+2018) \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 93: $(9x^{2}+6x-8)\sqrt{3x+2}+6x+23=27x^{2}+3\sqrt{10+3x}$

Bài 95: $\sqrt{x+5+\frac{12}{x-1}}=\frac{2(x+2)^{2}+11}{5x-3}$

bài 104: $2x-5+3\sqrt{2x+7}=2\sqrt{x+1}$

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$

Bài 112: $\frac{2}{x^{2}+5+2\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{2+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}+\frac{1}{2+2\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}=\frac{1}{2}$

Bài 113: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}-x^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}-y^{2}}=x+y+z \\ &xyz-x^{2}-y^{2}-\frac{1}{3}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})+2=0 \end{matrix}\right.$

88* có ai giải chưa vậy ??? minh chưa thấy

Bài 155: 

$\begin{cases} & x^{3}-y^{3}+3y^{2}+32x=9x^{2}+8y+36 \\ & 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}= x^{2}+8 \end{cases}$

$x^{3}-y^{3}+3y^{2}+32x=9x^{2}+8y+36 \\\Leftrightarrow (x-3)^3+5(x-3)=(y-1)^3+5(y-1)\Rightarrow x-3=y-1$ 

Bài 233: $\begin{cases} & (2x^{2}-3x+4)(2y^{2}-3y+4)= 18 \\ & x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14= 0 \end{cases}$

 

Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn x: $x^2 + x\left( {y - 7} \right) + y^2 - 6y + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {y - 7} \right)^2 - 4\left( {y^2 - 6y + 14} \right) = - 3y^2 + 10y - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3} $
Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn y: $y^2 + y\left( {x - 6} \right) + x^2 - 7x + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {x - 6} \right)^2 - 4\left( {x^2 - 7x + 14} \right) = - 3x^2 + 16x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{10}}{3} $

Đặt $f\left( a \right) = 2a^2 - 3a + 4 $
Xét $ f'\left( a \right) = 4a - 3 \Rightarrow $ với $a \ge \dfrac{3}{4} $ thì hàm f luôn đồng biến
Ta có PT $ \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f\left( y \right) = 18 $
Với ĐK của x và y thì $f\left( x \right).f\left( y \right) \ge f\left( 2 \right).f\left( 1 \right) = 18 $
Dễ thấy x=2, y=1 ko là nghiệm của PT (2)
Vậy HPT vô nghiệm 

p/s: bài này như NTA1097 làm rồi, mình chỉ cop lại của anh kia cho cụ thể

Những bài mà bạn NguyenPhuongQuynh đăng lên được coi là bài 156 nhé!

Bài 157: $\left | \sqrt{x^{2}+2x+5}+\sqrt{x^{2}-4x+40} \right |=x^{2}+5x+\frac{45}{4}$

 

57 sai đề thì phải phải là dấu $-$ giữa 2 căn thức mới phải

Bài 214: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3 \\ &y^{2}-2xy+2x=-4 \end{matrix}\right.$

$5.(1)-3.(2)$, ta được :

$5x^2-8y^2+6xy-16x+10y+3=0\\\Leftrightarrow (5x-4y-1)(x+2y-3)=0$

đến đây thế vào giải pt bậc 2 

Xin lỗi...mình nhầm

thế mình chém  

$$\left | \sqrt{x^{2}+2x+5}-\sqrt{x^{2}-4x+40} |=\left | \sqrt{(x+1)^2+(-2)^2}-\sqrt{(2-x)^2+6^2} \right |$$

Đặt $\vec u \left ( x+1;-2 \right );\vec v \left ( 2-x;6 \right )\\\Rightarrow \vec u +\vec v =(3;4)\Rightarrow \left | \vec u +\vec v \right |=5\\ VT=\left | \left | \vec u \right |-\left | \vec v \right | \right |\leq\left | \vec u +\vec v \right |=5; VP \geq 5$

đẳng thức khi $\boxed {x=-\frac{5}{2}}$

Thêm 1 phương trình vô tỉ

$\frac{x^2}{1-x^2}+x^2+1=2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}$

$\left ( \frac{x^2}{1-x^2}+2 \right )-2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}+x^2-1=0\\\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}-x-1 \right )\left ( \sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}-x+1 \right )=0$

đến đây bình phương từng ngoặc chắc ra 

 

Bài 206:  Giải phương trình:

 

$x+\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+1}}=1$

Bình phương đại rồi xét điều kiện :

$\Rightarrow \frac{9x^2}{x^2+1}=x^2-2x+1\\\Leftrightarrow 9x^2=x^4-2x^3+2x^2-2x+1\\\Leftrightarrow x^4-2x^3-7x^2-2x+1=0$

Tới đây ra phương trình đối xứng, chắc giải được :3

Bài 100:$\dfrac{x-3x^{2}}{2}+\sqrt{2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^4-x^3+7x^2-3x+3}=2-\frac{x-3x^2}{2}\\\Leftrightarrow \sqrt{(2x^2-x+1)(x^2+3)}=\frac{3x^2-x+4}{2}=\frac{(2x^2-x+1)+(x^2+3)}{2}$

áp dụng bđt, ta được dầu bằng xảy ra khi $2x^2-x+1=x^2+3 \Leftrightarrow \boxed{x=2;x=-1}$

Câu 180: Giải PT: $4-3x^{2}=x^{2}\sqrt{x^{2}-1}$

Đặt $\sqrt{x^2-1}= a\Rightarrow x^2=a^2+1\Rightarrow 4-3(a^2+1) =(a^2+1).a\\ \Leftrightarrow a^3+3a^2+a-1=0$

đền đây tìm được $a=\sqrt{2}-1$ là thỏa, sau đó tìm được $x=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}$

Cách của bạn khá hay và sáng tạo .Tuy nhiên đến phần đánh giá thì nếu không khéo thì cũng khá khó đấy nhưng dù sao cảm ơn cách giải của bạn.

cái liên hợp bình phương chơi luôn được mà bạn ~~ 

Bài 168: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9 \\ &\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$ 

Đặt $a=\sqrt{x-2};b=\sqrt{y-2};c=\sqrt{z-2} (a,b,c \geq 0) \\\Rightarrow \sqrt{2x+3}=\sqrt{2(a^2+2)+3}=\sqrt{2a^2+7}$

tương tự , ta có :$\sum \sqrt{2a^2+7}=9 ; \sum a =3$

Đặt $\vec u(\sqrt{2}a;\sqrt{7}), \vec v ...$ tương tự, ta được :

$\sum\left | \vec u\right | = \sum \sqrt{2a^2+7}\geq \left | \sum \vec u \right |\geq \sqrt{2(a+b+c)^2+(3\sqrt{7})^2}=9$

đẳng thức khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=3$

không biết đúng ko nữa ?

Bài 215: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}+xy=y^{2}-3y+2 & \\ &x^{2}-y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

$2x^2-y^2+xy+3y-2=0\Leftrightarrow (2x-y+2)(x+y-1)=0$

đến đây dễ rồi

Tiếp 
Giải phương trình : $13.\sqrt{x^2-x^4}+9.\sqrt{x^2+x^4}=16$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia , ta có :

$\sqrt{13}.\sqrt{13}\sqrt{x^2-x^4}+3\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{x^2+x^4}\leq \sqrt{(13+27)\left [ 13(x^2-x^4)+3(x^2+x^4) \right ]}\leq\sqrt{80(8x^2-5x^4)}\leq\sqrt{80.\frac{16}{5}}\leq 16$

tìm đc dấu bằng, bài này như có ai làm rồi :3

Bài 222: $\begin{cases} & x^{4}-y^{4}=\dfrac{3}{4y}-\dfrac{1}{2x} \\ & (x^{2}-y^{2})^{5}+5= 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4xy(x^4-y^4)=3x-2y\\ (x^2-y^2)^5+5=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $x+y=a;x-y=b$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab(a^2+b^2)(a^2-b^2)=a+5b\\ a^5b^5+5=0 \end{matrix}\right.\\\Rightarrow ab(a^4-b^4)=a-b.a^5b^5\\\Leftrightarrow a^5b-ab^5-a+a^5b^6=0\\\Leftrightarrow a(b^5+1)(a^4b-1)=0$

tới đây cái đã, khúc sau xét 3th , làm biếng ~~

Bài 98: $2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy$

 

98 giải hệ hay pt ???

Ví dụ khác

Bài 237:

$3x^{2}+6x-3=\sqrt{\frac{x+7}{3}}$

Đặt $\sqrt{\frac{x+7}{3}}=y+1\Leftrightarrow x+7=3y^2+6y+3\Leftrightarrow x+4=3y^2+6y$

Mặt khác, từ pt ban đầu ta có :

$3x^2+6x-3=y+1\Leftrightarrow 3x^2+6x=y+4$

vậy ta có hệ đối xứng ~~~

Xin góp vài bài =)) 

96.$(2x^2-4x+1)\sqrt{2x-1}=4x^2-7x+3$

 

$\Leftrightarrow (2(x-1)^2-1)\sqrt{2x-1}=4(x-1)^2+(x-1)$

Đặt $x-1=a;\sqrt{2x-1}=b$

$\Rightarrow (2a^2-1).b=4a^2+a;\\ (2b^2-1).a=(4x-3)(x-1)=4x^2-7x+3=4a^2+a\\ \Rightarrow 2b^2a-a-2a^2b+b=0\Leftrightarrow (b-a)(2ab+1)=0$

đến đây dễ rồi 

Giải:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}\leq \frac{x^{2}+x+1+x-x^{2}+1}{2}=x+1$

 

$\Rightarrow x+1\geq x^{2}-x+2\Leftrightarrow 0\geq (x-1)^{2}\Leftrightarrow x=1$

 

Thay vào: $x=1$ không thỏa mãn nên PTVN

x=0 là nghiệm đấy, đánh giá cái trên như sai

Chậc, mấy bài tồn kho hại não quá, bài mới:  (1 bài chúc tết, 1 bài thử sức)

 

 

Bài 205: Giải phương trình:

 

$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$

$\sqrt{x^2-2x+3}-2=\frac{x^2+1}{x+1}-2\\\Leftrightarrow \frac{x^2-2x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}+2}=\frac{x^2-2x-1}{x+1}$

đến đây dễ rồi

@@ Đã nói là bài chúc tết nên dễ, chỉ lừa chút thôi:

 

Thực ra bình phương lên là phương trình bậc 2, Ok chưa!

như này đề thi đại học , chú chơi lầy ~~ :v