Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm trên $AB$, $AC$ sao cho $AM = CN$. Xác định vị trí của $M$, $N$ để S_AMN lớn nhất.

Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$, các điểm $E, F$ thứ tự thuộc cạnh $AB, AC$ sao cho $AE=CF$. Xác định vị trí $E, F$ sao cho $S_{BECF}$ có diện tích nhỏ nhất

Với ô tìm kiếm của Google, ngoài việc nhập thông tin để tìm kiếm khắp Internet thì bạn còn có thể làm phép tính nhanh, thực hiện việc chuyển đổi đơn vị. Nay, Google tích hợp thêm một tính năng hữu ích nữa cho trình tìm kiếm của mình, đó là tính năng vẽ đồ thị. Chỉ đơn giản nhập vào một hàm số rồi nhấn Enter thì Google sẽ trả về đồ thị bên cạnh các liên kết dẫn đến những trang web khác. Hầu hết các hàm cơ bản, hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lượng giác,... đều được Google hỗ trợ. Bạn có thể nhập hàm số ngay trong ô tìm kiếm có sẵn của trình duyệt hoặc truy cập vào trang Google.com rồi nhập thông tin. Các hàm được ngăn cách bởi dấu phẩy và các hàm có thể lồng vào nhau. Thậm chí chúng ta còn có thể đặt miền giá trị để vẽ đồ thị bằng cấu trúc "from...to...". Trên đồ thị, người dùng có thể di chuyển con trỏ chuột để biết tọa độ, phóng to, thu nhỏ hay di chuyển đồ thị tương tự như khi dùng Google Maps. Đây là một công cụ khá hữu ích cho học sinh, sinh viên và những người yêu thích toán học vì họ không cần đến phần mềm chuyên dụng hay máy tính bỏ túi để thực hiện thao tác vẽ đồ thị.
VD muốn vẽ đồ thị hàm sô y = -x² + 2x
Ta gõ –x^2+2*x và phần tìm kiến của google

Tìm x biết:
$\frac{2}{(x-3)(x-5)} + \frac{5}{(x-5)(x-10)} + \frac{12}{(x-10)(x-22)} - \frac{1}{x-22} = -\frac{5}{4}$

Tìm x biết $x^4-8x^2=800x+9984$

$x^{4}-8x^{2}=800x+9984 <=> x^{4}-8x^{2}-800x-9984=0 <=> x^{4}+12x^{3}+136x^{2}+832x-12x^{3}-144x^{2}-1632x-9984=0$
$<=> x(x^{3}+12x^{2}+136x+832)-12(x^{3}+12x^{2}+136x+832)=0 <=> (x-12)(x^{3}+12x^{2}+136x+832)=0$
$<=>(x-12)(x^{3}+4x^{2}+104x+8x^{2}+32x+832)=0 <=> (x-12)\left [ x(x^{2}+4x+104)+8(x^{2}+4x+104) \right ]=0$
$<=>(x-12)(x+8)(x^{2}+4x+104)=0$
$<=> x-12=0$ hoặc $x+8=0$ (Vì $x^{2}+4x+104 = (x+2)^{2}+100 > 0$)
$<=>x=12$ hoặc $x=-8$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S={-8;12}$

Cho $\Delta ABC$ có $M$ nằm trong tam giác, qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác và tạo thành ba tam giác nhỏ có diện tích là $S_1; S_2; S_3$. Tìm vị trí điểm M để $S_1+S_2+S_3$ nhỏ nhất

Cho $\Delta ABC$, qua điểm $M$ bất kì trên $AC$ kẻ các đường thằng song song với hai cạnh còn lại của tam giác, chúng tạo với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí điểm $M$ để diện tích hình bình hành ấy lớn nhất

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6,AC=8$. M là điểm di chuyển trên cạnh huyền $BC$. Gọi $D$ và $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ xuống $AB, AC$ theo thứ tự.
a) Với AM là phân giác, tính $S_{ADME}$
b) Tìm vị trí điểm $M$ để $S_{ADME}$ lớn nhất

Cho đoạn thằng $AB$ cố định có điểm M nằm giữa hai điểm $A$ và $B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thằng $AB$ vẽ các hình vuông $AMED$ và $BMCF$. Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ ngoại tiếp hình vuông trên cắt nhau tại điểm thứ hai $N$ khác $M$.
a) Chứng minh rằng $A, N, C$ thẳng hàng và $E, N, B$ thằng hàng.
b) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động trên đoạn thằng $AB$
c) Tìm vị trí điểm $M$ trên $AB$ sao cho đoạn thằng $MN$ có độ dài lớn nhất.
d) Trung điểm $I$ của đoạn thằng $O_1O_2$ chạy trên đường nào khi $M$ di động trên $AB$?

Cho đường thằng $d // BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. $F$ là điểm bất kì trên $BC$. Tìm vị trí của $D$ và $E$ trên $AB, AC$ để $S_DEF$ lớn nhất

Tìm tất cả các giá trị của $x, y, z$ thoả mãn đẳng thức: $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y, z)$ sao cho $\frac{1}{2013} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + y + z}$ đạt giá trị bé nhất dương.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y ,z)$ sao cho: $\frac{1}{2013} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + y + z}$ đạt giá trị bé nhất dương.

Nếu thêm điều kiện thì ta không cần Delta làm gì cho khổ
Ta có $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=u^2$
Khi ấy nếu $x\geq y$ khi đó $(x+y+z-1)^2<(x+y+z)^2-2(x-y)\le (x+y+z)^2$ mà nó chính phương nên $(x+y+z)^2-2(x-y)=(x+y+z)^2$
Khi ấy $x=y$ do đó $(x,y,z)=(m,m,n)$
Nếu $x<y$ ta làm tương tự và TH này loại do dấu $=$ khi $x=y$ nhưng $x<y$ nên loại
Còn nếu làm kiểu delta như mình, khôn ngoan hơn ta sẽ lấy Delta theo biến $z$ khi đó còn lại $x,y$ ta chặn miền lớn hơn hoặc bằng $0$ của Delta khi đó cũng dễ dàng ra $x=y$

Em xin lỗi vì đã spam, nhưng anh có thể giải thích dùm em chỗ $(x+y+z-1)^2<(x+y+z)^2-2(x-y)$ và trường hợp $x<y$ được không ạ. Em vẫn chưa làm được trường hợp $x<y$.
Mong anh giúp em nốt chỗ này!

Một bài toán hay, nhưng nó thành xấu khi bạn post vô tổ chức như vậy, không có tí đk gì của $(x,y,z)$ cả ?
Giải như sau:
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2x+2y=t^2$$
$$x^2+2x(y+z-1)+(y+z)^2+2y=t^2$$
$$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$
$$-4y-2z-1=u^2$$
$$\Rightarrow -4y-2z+1\geq 0$$
Và từ đó suy ra $-2(2y+z)+1$
Khi ấy $x_1,x_2=-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương
Vậy mọi nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=\left(-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1},y,z\right)}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương

P/S việc thiếu đk của bạn dẫn đến sự không áp dụng được một cách rất hay như sau
Biến đổi $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=t^2$
Đến đây nếu có đk $x,y,z$ không âm, ta có thể dùng chặn kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp, nhưng bạn không cho điều kiện đó thì xét cực kì vất vả, có khi còn không ra vì như ở trên mình chỉ ra vô số nghiệm nên cách này sẽ không ra được vì nó là cách thử và sai (xét miền, giới hạn nghiệm) thì chỉ tìm được hữu hạn nghiệm

Bạn ơi, nếu có thêm điều kiện như bạn nói thì giải tiếp như thế nào? Và chỗ này em chưa học nên không hiểu $$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$

Tìm tất cả các bộ số $(x,y,z)$ để: $A=x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)$ là số chính phương.

Cho $a, b, c$ là các số nguyên. Tìm tất cả các bộ số ($a,b,c$) biết $a+b = c$ và $a.b.c=56$

Ta chỉ xét trong trường hợp $a,b,c$ nguyên dương,còn các TH còn lại thì chỉ cần lí luận thôi
Do vai tròn của a,b là như nhau nên ta có thể giả sử rằng $a\geq b> 0$
Từ đó ta có $2a\geq a+b=c\geq 2b$
56$\geq b^2c\geq 2b^3$
Vậy $b\in \left \{ 1,2,3 \right \}$
Lần lượt thay các giá trị của b vào hệ phương trình ?

Anh ơi, trường hợp âm thì mình lí luận thế nào? Nếu mình xét luôn thì có được không?

Tìm số tự nhiên $n$ ($100<n<200$) sao cho $\sqrt{19026+25n}$ là một số tự nhiên

Tìm số nguyên tố lớn nhất và nhỏ nhất có bốn chữ số.

Thế này nhé!
$\{u_n\}$ xác định như trên bao gồm các số nguyên lẻ phải không nào?
$u_1$ lẻ $\Rightarrow u_3$ lẻ $\Rightarrow u_5$ lẻ $...$
$u_2$ lẻ $\Rightarrow u_4$ lẻ $\Rightarrow u_6$ lẻ $...$
hơn nữa
$u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$ là số lẻ
Thế chẳng phải là $\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Anh ơi, thế mình làm thế nào để lập được cái dãy số đó??? Trong bài làm chỉ cần nói xét dãy số đó ak?

Xét dãy số nguyên
$\{u_n\}:\;\begin{cases}u_1=1 \\ u_2=5 \\ u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\quad n\ge 1\end{cases}$

Dễ thấy dãy này toàn số lẻ
Mà ta dễ dàng chứng minh được $u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$

Cái trên có phải để chứng minh cái này không anh?
$\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Hình như là tất cả mà bạn.Vì tử và mẫu đều là những đa thức

Bạn thử xem lại xem, đây là đề kiểm tra 45' của thằng em. mà mình cũng thấy giống bạn. nhưng mà chẳng lẽ đề sai. mà với lại mình đang băn khoăn ở chỗ phân thức đại số

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phải là phân thức đại số:
A. $\frac{\frac{1}{5}}{x+3}$
B.$\frac{1}{\frac{5}{x+3}}$
C. $\frac{2}{\sqrt{9}-x}$
D. $\frac{-3x}{2-\frac{1}{3}x}$

Ái chà. sao vắng thế nhỉ, thôi cho em đưa mẫu tài liệu này lên, không biết đã có ai up chưa nhỉ

Mình đã xem file bạn up, Trong cái flle đó thì nó cũng đề cập đến điều kiện xảy ra đẳng thức, dấu bằng đồng thời xảy ra. Chung quy lại thì giống như bạn $Joker9999$ nói thôi.