Chúc các bạn đi thi hsg thành phố gặt hái được nhiều thành công, mang cup vô địch về cho đội tuyển nhà nhé

GOOD LUCK!!!    

Kì thi chọn HSG toán thành phố lớp 9

Thời gian :150 phút

Bài 1:(5 điểm)

1. Giải PT :$\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}$

2. Cho $S=(1-\frac{2}{2.3})(1-\frac{2}{3.4})...(1-\frac{2}{2020.2021})$ là tích của 2019 thừa số. Tính S (lấy kết quả là phân số tối giản)

Bài 2:(5 điểm)

1. Biết a,b là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{2}-ab+b^{2}\vdots 9$. CMR cả a và b đều chia hết cho 3.

2. Tìm các số nguyên dương n sao cho $9^{n}+11$ là tích của k (k thuộc N, k >=2) số tự nhiên liên tiếp.

Bài 3:(3 điểm)

1. Cho x,y,z là các số thực dương nhỏ hơn 4. CMR  trong các số $\frac{1}{x}+\frac{1}{4-y};\frac{1}{y}+\frac{1}{4-z};\frac{1}{z}+\frac{1}{4-x}$ tồn tại ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 1.

2. Với a,b,c dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1.$. Tìm MAX $P=ab+bc+ca-abc$

Bài 4:(6 điểm)

        Cho tam giác ABC vuông tại A  (AB<AC). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi S là giao điểm của AI và DE.

          1. CMR tam giác IAB đồng dạng tam giác EAS.

          2. Gọi K là trung điểm của AB. O là trung điểm của BC. CMR K,O,S thẳng hàng

          3. Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại N. CMR AM=AN

Bài 5:(1 điểm)

       Xét bảng ô vuông cỡ 10x10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng 1 số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có GTTĐ ko vượt quá 1. CMR tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần. 

mình ngu lắm chỉ làm đc 6/10 câu thôi. các bạn vào chữa giùm mình với 

$\lceil\,\,1\,\,\rfloor$

Sử dụng phép thế Ravi , vì vậy đặt : $\left\{\begin{matrix} a & = & \frac{{x}_{\,1}+ {x}_{\,2}+ {x}_{\,3}- {x}_{\,4}}{2}\\ \\ b & = & \frac{{x}_{\,2}+ {x}_{\,3}+ {x}_{\,4}- {x}_{\,1}}{2}\\ \\ c & = & \frac{{x}_{\,3}+ {x}_{\,4}+ {x}_{\,1}- {x}_{\,2}}{2}\\ \\ d & = & \frac{{x}_{\,4}+ {x}_{\,1}+ {x}_{\,2}- {x}_{\,3}}{2} \end{matrix}\right.$ với $x_{\,1,\,2,\,3,\,4}> 0$ . Ta có:

 

$\text{P}= \frac{x_{\,1}+ x_{\,2}+ x_{\,3}- x_{\,4}}{4\,x_{\,4}}+ \frac{x_{\,2}+ x_{\,3}+ x_{\,4}- x_{\,1}}{4\,x_{\,1}}+ \frac{x_{\,3}+ x_{\,4}+ x_{\,1}- x_{\,2}}{4\,x_{\,2}}+ \frac{x_{\,4}+ x_{\,1}+ x_{\,2}- x_{\,3}}{4\,x_{\,3}}= $ $= \frac{x_{\,1}}{4\,x_{\,4}}+ \frac{x_{\,2}}{4\,x_{\,4}}+ \frac{x_{\,3}}{4\,x_{\,4}}- \frac{1}{4}+ \,...\,+ \frac{x_{\,4}}{4\,x_{\,3}}+ \frac{x_{\,1}}{4\,x_{\,3}}+ \frac{x_{\,2}}{4\,x_{\,3}}- \frac{1}{4}\geqq 2$

Mình mới thấy phép thế ravi trong tam giác vậy trong tứ giác thì làm cách nào bạn có thể suy luận ra cách đặt như thế

$\lceil\,\,3\,\,\rfloor$ Viết lại bất đẳng thức dưới dạng thuần nhất :

$\frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{a}+ \mathit{b} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{b}+ \mathit{c} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{c}+ \mathit{a} \right )^{\,\mathit{3}}}\geqq \frac{\mathit{a}}{\mathit{b}+ \mathit{c}}+ \frac{\mathit{b}}{\mathit{c}+ \mathit{a}}+ \frac{\mathit{c}}{\mathit{a}+ \mathit{b}}$

Nếu viết lại bất đẳng thức trên theo kiểu $\mathit{3}\,\mathit{u}= \mathit{a}+ \mathit{b}+ \mathit{c},\,\mathit{3}\,\mathit{v}^{\,\mathit{2}}= \mathit{ab}+ \mathit{bc}+ \mathit{ca},\,\mathit{w}^{\,\mathit{3}}= abc$ , hiển nhiên trong chứng minh uvw thì thường dùng nhiều $\mathit{u}> \mathit{v}> \mathit{w}$ , do đó hệ số của $\mathit{abc}$ luôn âm , bài toán này bị ngược dấu !

Spoiler

Ta có : ${\mathit{F}}'\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right )$ giảm nên giá trị của $\mathit{F}\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right ) \min$ khi $\mathit{w}^{\,\mathit{3}}$ đạt cực đại ( với $\mathit{F}$ là hàm số tuyến tính ) , trong trường hợp này hai biến bằng nhau : $\lceil$ https://math.stackex...m/tags/uvw/info $\rfloor$

Do bất đẳng thức thuần nhất nên không mất tính tổng quát , giả sử $\mathit{b}= \mathit{c}= 1$ . Khi đó :

$- \left ( \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{a}+ \mathit{b} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{b}+ \mathit{c} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{c}+ \mathit{a} \right )^{\,\mathit{3}}} \right )+ \frac{\mathit{a}}{\mathit{b}+ \mathit{c}}+ \frac{\mathit{b}}{\mathit{c}+ \mathit{a}}+ \frac{\mathit{c}}{\mathit{a}+ \mathit{b}}= \frac{\mathit{2}\left ( \mathit{a}- \mathit{1} \right )^{\,\mathit{2}}}{\left ( \mathit{a}+ \mathit{1} \right )^{\,\mathit{3}}}\geqq \mathit{0}$

Spoiler

Xem thêm về ví dụ uvw tại đây : $\lceil$ https://diendantoanh...ca/#entry714538 $\rfloor$

i'm so sorry đề bài là a+b+c=3

khó đây, nghĩ hòa không ra

bài 1:

Cho a,b,c,d là 4 cạnh của một tứ giác lồi Tìm MIN $P=\frac{a}{b+c+d-a}+\frac{b}{c+d+a-c}+\frac{c}{a+b+d-c}+\frac{d}{a+b+c-d}$

Bài 2:

cho a,b,c>0 CMR $\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\frac{c}{a+b+2c}\leq \frac{3}{4}$

bài 3: Cho a,b,c>0 và a=b=c=1. CMR $\frac{4}{(a+b)^{3}}+\frac{4}{(b+c)^{3}}+\frac{4}{(c+a)^{3}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Bài 4: cho a,b,c>0 CMR $\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

MOng được nhận giúp đỡ!!!

Bài 1: Cho A1, B1,C1 là trung điểm của BC, CA, AB của tam giác ABC. Đường cao AK, đường tròn nột tiếp

(f) tiếp xúc BC tại L.  Cho (LKB1), (LA1C1) cắt B1C1 ở X và Y và cắt (f) ở Z ,T. cmr XZ=YT

Bài 2: Cho tam giác ABC và P,Q đẳng giác. (w) là đường tròn ngoại tiếp ABC. Lấy A1 thuộc cung BC (ko có A) của (w) để góc BA1P = CA1Q. Tương tự với B1 và C1

CMR AA1, BB1, CC1 đồng quy

.Cám ơn mọi người trước

Bạn cần gấp không @@ giờ mình bận quá trưa mai mình gửi cho bạn @@ 

Thanks bạn

Với $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$ thì: $\it{0}< \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}\leqq 1$

Xét trường hợp ít nhất một trong ba biến bằng $0$ , không mất tính tổng quát trong chứng minh, chẳng hạn $\it{a}$ , khi đó:

 

$$\it{1}- \sum\limits_{cyc}\,\frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}}- \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )= \frac{\it{bc}\left ( \it{1}- \it{bc} \right )}{\left ( \it{b}+ \it{1} \right )\left ( \it{c}+ \it{1} \right )}\geqq \it{0}$$

 

Giờ đây, ta chỉ cần đặt: $\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}$ , sẽ có được biểu thức vế trái với hệ số của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ đều không âm!

Spoiler

MSP17315137b4beb9c52f364000042fi2126dh5h0g62.gif

Bạn có thể trả lời cụ thể hơn ko. Mình ko hiểu! cám ơn

câu 3 bạn còn cần không để hôm nào mình gửi luôn cho 

Được. cám ơn bạn. 

Mình có mới đăng một số bài. bạn vào nghiên cứu thử nhé!!

câu 1 đề thi chuyên tin lam sơn năm gần đây  

cậu trả lời luôn hộ mình đc ko ? nói ý chính thôi. ko cậu gửi link của đề thi ấy cho mình mượn. Cám ơn nhiều!!!

câu 3 đề là max hay min bạn với lại 3 hay $\sqrt{3}$

câu 1 đề thi chuyên tin lam sơn năm gần đây

1. Cho a,b,c>0 và $ab^{2}c^{2}+a^{2}c+b=3c^{^{2}}$. Tìm max $P=\frac{c^{}4}{1+c^{4}(a^{}4+b^{4})}$

2. cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và a+b+c=3 . cmr $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

3. Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$. Tìm max $P=\sum \frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}$

4. Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . CMR $\sum \frac{a}{b+c+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

5. Cho x,y,z >0. CMR $\sum \frac{\sqrt{y+z}}{x}\geq \frac{4(x+y+z)}{\sqrt{(y+z)(z+x)(x+y)}}$

6. Cho a,b,c>0 và$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CMR $\sum \frac{^{\sqrt{3a^{2}+4ab+3b^{2}}}}{ab}\geq 3\sqrt{30}$

Cho mình hỏi:  Nếu đề bài viết thế này (a,b,c) =1 thì có nghĩa là gì?

Mình chỉ biết :Ko phải là a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau đâu nhé

ý là UCLN của ba cái đó là 1 ấy 

không phải đâu vì trong lời giải của bài toán có điều kiện là (a,b,c)=1 người ta đi gọi UCLN(a,b) =d.  Nếu chúng nguyên tố cùng nhau rồi

thì cần gì phải gọi 

ý mình là ucln của 3 cái là 1 không phải chúng đôi một nguyên tố cùng nhau 

Oh Oh hay quá ha !!! cám ơn bạn

câu 1.   Đặt ẩn phụ $a=\frac{1}{x}$ , $b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$ thay ngược trở lại sẽ ra bài toán quen thuộc 

dùng cauchy 3 số là ra 

Câu 2: cộng phân thức 1 với 25, pt 2 với 4, pt 3 với 9 quy đồng lên là ra

Câu 3: trục căn thức ở tử để cauchy cho mẫu

câu 5 :tự giải quyết

1. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{a^{4}.(b+1).(c+1)}$

2. Cho x,y,z >0 CMR$\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{9z}{x+y}> 12$

3. Cho a,b,c đôi một khác nhau là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .cmr $\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}> 3$

4. Cho x,y,z >0 và x+y+z =3 .cmr $\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2}{27}(xy+yz+zx)$

5. Cho a,b,c >0 .cmr $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{^{2}}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}$

Bạn nào có link cuốn TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM THI VÀO 10 CHUYÊN VÀ HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ 9 PHẦN BĐT cho mình xin được ko? Mình thực sự đang cần gấp mà không mua kịp

Bạn nào cho xin mình cảm ơn nhiều nhiều nhiều

Cho PT $7x^{2}-6x^{2}=x-y$  với x,y là số nguyên dương; x>y

a) gọi d= UCLN(x,y). CMR $x-y=d^{2}$

b) cmr d min thì x min; ymin . Từ đó tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của PT

oh sorry ấy là $7y^{2}-6x^{2}$

Mong nhận đc giúp đỡ sớm nhất!

Bạn nào biết tài liệu nào hay về phần số học mách cho mình với. MÌnh xin cám ơn nhiều