Xác định tham số $a$ để phương trình ẩn $x$ sau :

$x^{4}+2x^{2}+2ax+a^{2}+2a+1=0$ có nghiệm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1.Do $x,y,z$ có vai trò như nhau nên ta giả sử $0< x\leq y\leq z$

Khi đó ta có $xyz=x+y+z \leq 3z$

$\Rightarrow xy\leq 3$

mà $x,y$ là các số nguyên dương nên $xy \epsilon \left \{ 1;2;3 \right \}$  

Ta xét các trường hợp

+) TH1: $xy=1$ $\Rightarrow x=1; y=1 \Rightarrow 2+z=z$, vô lí

+) TH2: $xy=2 \Rightarrow x=1; y=2$ (do $x\leq y$) $\Rightarrow 3+z=2z \Leftrightarrow z=3$

+) TH3: $xy=3 \Rightarrow x=1; y=3 \Rightarrow 4+z=3z\Leftrightarrow z=2$

Nên ta có các cặp số $(x;y;z)$ thỏa mãn đề bài là các hoán vị của $(1;2;3)$

Khi đó $x+y+z=6$

dễ thấy $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} <=> (a+b)(b+c)(c+a)=0 <=> a=-b$ hoặc b=-c$ hoặc c=-a$

$\Rightarrow \left ( a^{25}+b^{25} \right )(b^3+c^3)(c^{2000}-a^{2000})=0$

Giải dùm mình câu c với?

Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm D nằm trên cung BC, AD cắt BC tại M

a) Cm: DB+DC=AD

b) Cm: AD.AM không đổi

a) Gọi $K$ là một điểm thuộc $AD$ sao cho $KD=BD$

Dễ thấy $\Delta BDK$ đều và chứng minh được $\Delta AKB = \Delta CDB \Rightarrow AK=CD$

Khi đó $AD=AK+KD=BD+DC$ (đpcm)

b) Ta đặt $AB=AC=BC=a$

Có $AD.AM =(DB+CD).AM = DB.AM+CD.AM= MC.AB+BM.AC= (MB+MC)a=a^{2}$ không đổi (đpcm)

P/s: Bạn tự vẽ hình nha

Tìm số nguyên dương k sao cho dãy số sau gồm toàn số nguyên $a_{1}=1;a_{n+1}=5a_{n}+\sqrt{ka_{n}^{2}-8}$, với mọi n nguyên dương

Ta có $a_{2}=5+\sqrt{k-8}=5+t$ $(t=\sqrt{k-8}\in N)$

$\Rightarrow a_{3}=5(t+5)+\sqrt{(t^{2}+8)(t+5)^{2}-8}$

Vì $a_{n}$ là dãy nguyên nên $a_{3}$ nguyên

$\Rightarrow (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8=p^{2}$

Ta chứng minh được

$(t^{2}+5t+4)^{2}< (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8<(t^{2}+5t+14)^{2}$

Từ đây dễ dàng tìm được $t=4$, suy ra được $k=24$

Tìm số chính phương lớn nhất biết chữ số hàng đơn vị khác 0,khi xóa chữ số hàng chục và hàng đơn vị được một số cũng là số chính phương

Gọi số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $\overline{Abc}$ với $b,c \in \left \{ 0;1;2;...9 \right \}, c\neq 0$ , $A$ là số tự nhiên tùy ý

Theo gt ta có $A=k^{2}$ và $100A+\overline{bc}=m^{2}$

Từ đây dễ dàng suy ra $(m-10k)(m+10k)=\overline{bc}$

$\Rightarrow m-10k > 0\Rightarrow m-10k\geq 1\Rightarrow m\geq 10k+1$

Mà $m+10k\leq \overline{bc}\leq 99\Rightarrow 20k+1\leq 10k+m\leq 99\Rightarrow k\leq \frac{98}{20}\Rightarrow k\leq 4$

Tới đây dễ dàng tìm được số chính phương đó là 1681

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2^{x}+1=xy$

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=4$.

Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$.

Ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}$

Mà $\frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}+\frac{2b^{2}}{a^{2}b+2b}\geq \frac{2(a+b)^{2}}{ab(a+b)+2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab+2}\geq \frac{2.4}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

Nên $minP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=2$

Chắc điều kiện là x,y>0

Ta có: 

$B=x^{2}y^{2}+\frac{1}{32x}+\frac{1}{32x}+\frac{1}{32y}+\frac{1}{32y}+\frac{15}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 5\sqrt[5]{\frac{x^{2}y^{2}}{2^{20}x^{2}y^{2}}}+\frac{15.4}{16(x+y)}=2\frac{5}{16}+\frac{15}{4}=\frac{65}{16}$

Nếu x,y >0 thì mình còn 1 cách giải khác

$B= x^{2}y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \frac{1}{64xy}+\frac{1}{64xy}+x^{2}y^{2}+\frac{31}{32xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64xy}.\frac{1}{64xy}.x^{2}y^{2}} + \frac{31.4}{32(x+y)^{2}}$

$\Rightarrow B\geq \frac{3}{16}+\frac{31}{8}=\frac{65}{16}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ 

Bài 1: Cho $x, y \geq 0$ ; $x + y = 1$

Tìm min, Max của $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$

Ta có 

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^{2}+x+y^{2}+y}{xy+1+x+y}=\frac{x^{2}+y^{2}+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^{2}-2xy+1}{xy+2}$

$\Rightarrow P=\frac{2-2xy}{xy+2}$

Có: $xy \leq \frac{1}{4}$

Đặt $xy=t$ thì $0\leq t\leq \frac{1}{4}$

Khi đó $P = \frac{2-2t}{t+2}=-2 +\frac{6}{t+2}$

$min P \Leftrightarrow min\frac{6}{t+2} \Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\Rightarrow min P = \frac{2}{3}$

Tương tự tìm được $maxP = 1 \Leftrightarrow$ một trong 2 số $x,y$ có một số bằng 0, một số bằng 1

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi: 

${x_1} = 1,{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{x_n} + 1}},\forall n \ge 1$

$x_{n+1}=\frac{x_{n}}{(2n+1)^{2}x_{n}+1}\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{(2n+1)^{2}x_{n}+1}{x_{n}}=(2n+1)^{2}+\frac{1}{x_{n}}$

Đặt $v_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}}\Rightarrow v_{n+1}=(2n+1)^{2}+v_{n}$

Từ đó sử dụng phép thế ta dễ dàng tìm được 

$v_{n+1}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+2n(n+1)+n+1\Rightarrow v_{n}=\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n$

Vậy $x_{n}=\frac{1}{\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n}$

Tìm (x;y) với y lớn nhất thỏa mãn phương trình $x^{2}+y^{2}+6x-3y-2xy+7=0$. Tính x-y

Ta viết lại phương trình theo ẩn x, tham số y

$x^{2}+2x(3-y)+y^{2}-3y+7=0$

Phương trình đã cho có nghiệm$\Leftrightarrow \Delta '=(3-y)^{2}-(y^{2}-3y+7)=-3y+2 \geq 0$

$\Leftrightarrow y\leq \frac{2}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x= y-3 =\frac{2}{3}-3=-\frac{7}{3}$

$\Rightarrow (x;y)=(-\frac{7}{3};\frac{2}{3})$

Từ đó tính được $x-y =-3$

Tìm $UCLN (am+nb,pa+qb)$ với $a,n,m,b,q,p \in \mathbb{N}$ , $m,n,p,q$ là các hằng số cho trước 

hình như đề thiếu phải có điều kiện $\left | mq-np \right |=1$ nữa thì phải

Đề đúng r bạn 

Cho hình vuông ABCD cạnh a,M là điểm tùy ý trên AB(M không trùng với A,B).MC cắt BD tại P,MD cắt AC tại Q.Tìm giá trị lớn nhất của tam giác MPQ khi M di động trên AB

$S_{MPQ}=MQ.MP.sin\angle QMP$

$S_{MDC}=MD.MC.sin\angle QMP$

$\Rightarrow \frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{MQ}{MD}.\frac{MP}{MC}=\frac{1}{1+\frac{QD}{MQ}}.\frac{1}{1+\frac{PC}{MP}}$

tới đây đặt $\frac{QM}{QD}=x,\frac{MP}{PC}=y$ và $x+y=1$

Cần tìm GTNN của $(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})$ là xong 

p/s: tự vẽ hình

Anh giải như thế này...chưa biết đúng hay sai nữa :

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là biệt thức là một chính phương :

$\Delta =(m-1)^{4}-4m=k^{2}(k\in \mathbb{Z})\\$

Đặt $y=m-1 ( y \in \mathbb{Z})$ khi đó :

$(m-1)^{4}-4m=y^{4}-4(y+1)=y^{4}-4y-4\\=(y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}-9=k^{2}\\ \Leftrightarrow (y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}=m^{2}+3^{2}\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=m\\ 2y-1=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=3\\ 2y-1=m \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m=y^{2}-2=2\\ y=2(TM) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}=5(L)\\ m=2y-1 \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix}$

Suy ra $m=3$.Thử lại phương trình ban đâu ta thấy thỏa mãn.

Vậy $m=3$ là yêu cầu của bài toán.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

sao em thay m=0 vào vẫn thỏa mãn bài toán mà @@

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn; AC cắt BD tại E. Nếu $\widehat{BAD}=75^{\circ};\widehat{ABC}=85^{\circ};\widehat{AEB}=100^{\circ}$. Tính $\widehat{CAD}$

Do tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên ta có $\angle CAD = \angle CBD$ (1)

Xét $\Delta AEB$ ta tính được $\angle EAB +\angle ABE = 80^{\circ}$

$\Rightarrow \angle CAD +\angle CBD = 80^{\circ}$ (2)

Từ (1) và (2) dễ dàng suy ra $\angle CAD =40^{\circ}$

Nghiệm nguyên: $x^2+xy+y^2=x^2y^2$

+) Xét x=0 hoặc y=0

+) Xét x,y khác 0.Không mất tính tổng quát, giả sử $x\leq y$ .

Từ gt $\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^{2}}=1$

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}\geq \frac{1}{xy}\geq \frac{1}{y^{2}}\Rightarrow \frac{3}{x^{2}}\geq 1\Rightarrow x^{2}\leq 3$

$\Rightarrow x^{2}\leq 3\Rightarrow x=1, x=-1$ 

Từ đó ta tính được $(x,y)$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2x^2+5y^2+6z^2+4xy+4xz+2yz-2x-4y+2z$

Mọi người cho em hỏi luôn về cách giải tổng quát của những bài dạng này

sr mình nhầm

Ta có $2x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+4xy+4xz+2yz-2x-4y+2z = 2(x+\frac{2y+2z-1}{2})^{2}+(2z+\frac{2-y}{2})^{2}+\frac{11}{4}(y-\frac{2}{11})^{2}-\frac{35}{22}\geq \frac{-35}{22}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{17}{22},y=\frac{2}{11},z=-\frac{5}{11}$

Hỏi có bao nhiêu cách chia n điểm trên đường thẳng thành các tập gồm 1 hoặc 2 điểm kề nhau?

Hai công nhân được phân công làm một số dụng cụ trong cùng 1 thời gian. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng được 2 dụng cụ nên hoàn thành trước hai giờ.Người thứ 2 làm tăng được 4 dụng cụ nên hoàn thành trước thời hạn 3 giờ và làm thêm được 6 dụng cụ nữa.Tính số dụng cụ mỗi người được giao

Giải phương trình 

$x^{3}+x^{2}+x+2=0$

1. Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các số nguyên tố khác nhau.Hỏi có bao nhiêu ước số của số $q=p_{1}^{k_{1}}.p_{2}^{k_{2}}....p_{n}^{k_{n}}$

2.Có bao nhiêu số khác nhau (không được bắt đầu bằng 0), nhỏ hơn $2.10^{8}$, chia hết cho 3, có thể viết bởi các chữ số 0,1,2.

Cho tg ABC vuông tại A , kẻ đường cao ẠH , đường tròng( A;AH) cắt đường tròn ngoại tiếp tgABC tại D và E .CMR DE đi qua trung điểm của AH

Gọi đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $(P)$

Gọi $K$ là giao điểm của $DE$ và $AH$

Kẻ đường kính $AM$ của $(P)$.

Dễ thấy $AP$ vuông góc với $DE$.

$AM$ vuông góc với $DE$ tại $Q$

Chứng minh được $\Delta AQK \sim \Delta AHP \Rightarrow AK.AH=AP.QA=\frac{1}{2}AM.QA=\frac{1}{2}AE^{2}=\frac{1}{2}AH^{2}$

$\Rightarrow AK=\frac{1}{2}AH$ $\Rightarrow$ đpcm

p/s: Bạn tự vẽ hình nhé

DE đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phải