Câu bđt 2 ngày

Câu tổ hợp ngày 2 quy nạp đơn giản , ngày 1 để ý chút quy luật là xong ,

Lol =)) thánh vẽ mạng nhện

e mở đầu bài hình bằng câu : ta chứng minh bài toán trong trường hợp AB <AC , các trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự hi vọng ko mất điểm ạ 

Co ban nào có ý tưởng cho cậu 2b ko?

dùng cái này là xong ; lim(b_(n+1)-b_n) =0 sau đó dùng thêm cái lim b_n= +vc nữa thì suy ra đpcm

Hình b dùng đường đối trung của tam giác ABC là được . Vẽ 2 tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt trung trực BC tại S thì có tam giác SBA và T"DF đồng dạng tưing tự thì SCA vad T'DE đồng dạng từ đây suy ra T trùng T' và T" nên có đpcm ở đây T' là giao của tiếp tuyến tại F và tt BC tương tự với T"

câu hình ý a thì đường trung bình trong hình thang có ngay KL đi qua O

câu b nối EM và FN cắt nhau tại J thì có JEOF là hình chữ nhật nên ta có OJ đi qua trung điểm EF sau đó chứng minh P,J,O thẳng hàng bằng ceva sin
câu c cộng góc chú ý EFST là hình thang cân là ok

câu cuối , dùng quy nạp 
chú ý ta có thể tịnh tiến thay bộ (a1;a2:....;an) bởi bộ (a1+1;a2+1;...;an+1) và cũng có thể qua 1 phép vị tự bởi bộ (ka1;ka2;...;kan) 
bây giờ ta xây dựng bộ n+1 số thỏa mãn ycbt , tách thành 2 bộ nhỏ một bên gồm toàn các số chẵn và một bên gồm toàn số lẻ  trong trường hợp n+1=2m thì ta có thể giả sử 2;4;....;2m là m số chẵn và 1 3 ....;2m-1 là m số lẻ bây giờ ta chỉ ra cách xếp thỏa mãn
lấy 2;4;....;2m chia cho 2 ta được m số tự nhiên liên tiếp nên theo giả thiết quy nạp thì m số này ta có thể xếp chúng thành 1 bộ (a1;a2;...am) thỏa mãn yêu cầu bài toán 

bây giờ xét bộ (2a1;2a2;.....2am;2a1-1;2a2-1;....2am-1) là bộ tm ycbt 
tương tự trong trường hợp n+1=2m+1

à thực ra a nhầm chút, chỉ dùng tam giác đồng dạng thôi là có PJO thẳng hàng

Một kết quả thú vị từ bài hình này

 

d) Chứng minh rằng đường tròn đi qua $K,L,U,V$ tiếp xúc $(O)$.

đề nay thầy ra ạ ?

bạn khanghaxuan giải sai câu b rồi , dãy này chưa xác định đc tăng hay giảm 
câu a thì không cần phức tạp như vậy

Mình đã xác định là dãy giảm ở trên rồi đó !

 

Bài 1   :    $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$  

 

Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :   

 

                                              $f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$   
 

Khai triển rồi nhóm lại ta được :   

 

        $f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$  (*)

 

 Để (*) chia hết cho  $x^{3}-x^{2}+x$  thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :  

 

$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$

 

Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$ 

                    

                     $h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$

 

Ta có :  Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ (  $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$ 

 

Ta xác định được :   $C_{1}=2^{n}+1$ 

                                 $C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$

 

Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!! 

 

$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$ 

$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$

 

Cứ tiếp tục như thế  (  Khúc sau khủng quá nên lười ghi )

 

Cuối cùng cân bằng hệ số giữa  $C_{n-2}$  trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$

 

Ta tìm được :  $n=3$ thỏa đề bài .  

 

P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$  loạn xạ ) 

đáp án là n=6k+3 mà , dùng số phức là đơn giản nhất

câu 1 ngày 2 dùng phuơng trình đặc trưng để tìm cttq của fn(x) rồi dùng số phức

nghiệm (0;0) kìa chú bỏ sót rồi

vẫn tìm ra cttq như cậu rồi làm tiếp , xét phương trình x^3-x^2+x=0 có 3 nghiệm trong đó có 2 nghiệm phức đặt là z1 và z2 
1 nghiệm thực là x=0
do vậy muốn f_n(x)chia hết cho x^3-x^2+x
nên f_n(0)=0 do vậy n lẻ 
tương tự f_n(z1)=f_n(z2)=0 
thay số vụ thể vào rồi quy nạp 3/n 
ngoài ra còn 1 cách khác mình đọc đc trên mạng là dùng công thức moivre là nhanh nhất

Thầy ơi! Chi tiết hơn bài hình giúp em được không ạ!

anh mới lớp 12 thôi , ý b chỉ dùng EM;FN;PO đồng quy do tam giác PMN và PBC đồng dạng  và EM thì song song với BD

Sai rồi nhé, còn có nghiệm $ P(x)=x^{2k+1}+1$ và $P(x)=-x^{2k+1}+1$ nữa, hì. Bạn làm như trên là không chuẩn.

thử lại p(x)=x+1 có thỏa mãn đâu ?

Câu hình a chỉ sử dụng pytago thôi và sử dụng thêm MI=MB=MC nữa là xong , phần B áp dụng potoleme cho tứ giác ABMC thì có I là trung điểm AM và chú ý AIHF nội tiếp thì ta có đpcm

:v thế là chưa thử chuẩn sao :v , ô Thế thử lại cho chuẩn nhé

bài đa thức , cho x=0 vào tính được p(0)=0 hặc =1 hoặc =2 
nếu p(0)=0 , đặt $p(x)=x^n.g(x)$  với g(0) khác 0 ,thay vào tính lại được g(0)=0 vậy p(x) chỉ có thể đồng nhất =0 trong trường hợp này

nếu p(0)=1 đặt $p(x)=x^n.g(x)+1$ thay vào được nếu n lẻ suy ra g(0)=0 suy ra p(x) đồng nhất =1 vậy xét trường hợp n chẵn 
suy ra $x^(2n ) .( g(x)^3 -g(x^3))= 3(g(x)-g(-x))$ đồng nhất hệ số ra g(x) đồng nhất = t thử lại tìm được t=1 , phần  đồng nhất hê số này chỉ xét bậc là ra không phức tạp 
suy ra $p(x)=x^(2n)+1$ thỏa mãn
nếu p(0)=2  đặt $p(x)=x^ng(x)$ với g(0) khác 0 nhưng thay vào thì vẫn suy ra g0=0 suy ra g(x) đồng nhất =2 :v , xong

phương trình trên có quá nhiều nghiệm nguyên mà 

tóm lại chưa ai giải đúng bài 1 cả 

bài tổ hợp đếm bằng truy hồi cơ bản 
bài bất đẳng thức có vài cách khác nữa 

bài hàm là bài hay nhất đề

Câu 2 đề hài nhỉ
giả sử sigma 1/(a_i)=1 ( i =1,n+1)
Mình tăng chỉ số lên viết cho gọn
Giả sử a_n+1=2p thì sigma (1/a_i) =(2p-1)/2p với i=1,n từ đây quy đồng lên suy ra trong các số từ a_1 đến a_n có 1 số là p giả sử a_n=p suy ra sigma (1/a_i) =(2p-3)/(2p) với i=1,n-1 quy đồng vế trái thì do từ a_1 đến a_n-1 không còn số nào chia hết cho p suy ra p/2p-3 suy ra p=3