Bài 432:Giải phương trình: $\sqrt{2x^4+2x^3+3x^2+1}=1-x^4-2x^3$

Ta có: $\sqrt{2x^4+2x^3+3x^2+1}=1-x^4-2x^3 \rightarrow 1-x^4-2x^3>0$ 

$\iff \sqrt{(x^2+1)^2+(x^2+x)^2}=(x^2+1)-(x^2+x)^2$

$\iff \sqrt{a^2+b^2}=a-b^2$ (với $a=x^2+1; b=x^2+x$)

$\rightarrow a^2+b^2=a^2-2ab^2+b^4$

$\rightarrow b^2(1+2a-b^2)=0$

$\rightarrow \left[\begin{matrix}b=0\\ 1+2a-b^2=0 \end{matrix}\right.$

Với $1+2a-b^2=0 \rightarrow 2\sqrt{x^2+1}=x^2+x-1 \rightarrow -x^4-2x^3+5x^2+2x+3=0$

$\iff (1-x^4-2x^3)+(5x^2+2x+2)=0$ (vô nghiệm vì VT>VP)

Vậy $b=0 \iff \left[\begin{matrix}x=0\\ x=-1 \end{matrix}\right.$

Bài 436: Giải bpt: $(2x+2)\sqrt{x+1}+(3x+9)\sqrt{2x+3}\le 4x^2+10x+4$

ĐK: $x \geq -1$

$\iff (x+1)[2\sqrt{x+1}-(x+1)]+(x+3)[3\sqrt{2x+3}-(2x+3)] \leq x^2-x-6$

$\iff \dfrac{(x+1)\sqrt{x+1}(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}+\dfrac{3(x+3)\sqrt{2x+3}(3-x)}{3+\sqrt{2x+3}} \leq (x-3)(x+2)$

$\iff (x-3)[x+2+\dfrac{(x+1)\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}}+\dfrac{3(x+3)\sqrt{2x+3}}{3+\sqrt{2x+3}}] \geq 0$

$\iff x \geq 3$ (vì trong ngoặc luôn dương)

Bài 389: $\left\{\begin{matrix} &x(4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}})=y^{2}(x^{2}+4y^{2}+3) \\ &x+\sqrt{12-2x}=2y^{2}-2\sqrt{y}-4 \end{matrix}\right.$

$(1) \iff 4xy^3+3xy+x\sqrt{5y^2-x^2}=y^2x^2+4y^4+3y^2$

$\iff 3xy+x\sqrt{5y^2-x^2}-8y^2=(xy-2y^2)^2 \geq 0$

$\rightarrow 3\dfrac{y}{x}+\sqrt{5(\dfrac{y}{x})^2-1}-8(\dfrac{y}{x})^2 \geq 0$

$\rightarrow 3a+\sqrt{5a^2-1}-8a^2 \geq 0$

$\rightarrow 2a-1=0$ (chuyển vế bình phương)

$\rightarrow a=\dfrac{1}{2} \rightarrow x=2y$

Đến đây thay xuống pt dưới... 

Tiếp tục với 1 số bài tập của thầy Đặng Việt Hùng:

Bài 375: $\begin{cases} & 4x^{3}-12x^{2}+15x-7=(y+1)\sqrt{2y-1} \\ & 6(x-2)y-x+26= 6\sqrt[3]{16x+24y-28} \end{cases}$

$(1) \iff 8x^3-24x^2+30x+14=(2y+2)\sqrt{2y-1}$

$\iff (2x-2)^3+3(2x-2)=\sqrt{2y-1}^3+3\sqrt{2y-1}$

$\rightarrow 2x-2=\sqrt{2y-1}$

$\rightarrow 2y=4x^2-8x+5$

Đến đây thay xuống pt (2) được pt bậc 3 và có ý tưởng xét hàm như trên...

p/s: ai làm tiếp giúp mình với

Bài 348: $\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{x-1}< x^{3}-3x^{2}+4x-1$

ĐK: $x \geq \dfrac{2}{3}$

$\iff x^3-3x^2+4x-1-\sqrt{3x-2}-\sqrt[3]{x-1} >0$

$\iff x^3-3x^2+2x+(x-\sqrt{3x-2})+(x-1-\sqrt[3]{x-1}) >0$

$\iff x(x^2-3x+2)+\dfrac{x^2-3x+2}{x+\sqrt{3x-2}}+\dfrac{x(x^2-3x+2)}{(x-1)^2+(x-2)\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-1}^2} >0$

$\iff (x-1)(x-2)(x+\dfrac{1}{x+\sqrt{3x-2}}+\dfrac{x}{(x-1)^2+(x-2)\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-1}^2}) >0$

$\rightarrow x >2$    v    $\dfrac{2}{3}<x<1$

Bài 394: $\begin{cases} & 2\sqrt{x^{2}+3x}+2y^{3}-3=x+2y\sqrt{x} \\ & \sqrt{x}-\sqrt{x+3}+y^{2}=0 \end{cases}$

ĐK: $x \geq 0$

$\iff \begin{cases} 2\sqrt{x(x+3)}+2y^3=(x+3)+2y\sqrt{x} \\ \sqrt{x}-\sqrt{x+3}+y^2=0  \end{cases}$
 

Đặt $\begin{cases} \sqrt{x}=a \\ \sqrt{x+3}=b \\ y=c \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 2ab+2c^3=b^2+2ca \\ c^2=b-a  \end{cases}$

Ta có: $(1) \iff 2ab+2c(b-a)=b^2+2ca$

$\iff b^2+4ca-2ab+2bc=0$

$\iff (b-2c)(b-2a)=0$

$\iff \left[\begin{matrix} \sqrt{x+3}=2\sqrt{x} \\  \sqrt{x+3}=2y \end{matrix}\right.$

....

Đến đây $2y=\sqrt{x+3}$ vào pt (2) ta đc: $y^2-2y+\sqrt{4y^2-3}=0$

$\iff (y-1)^2+\dfrac{4(y-1)(y+1)}{\sqrt{4y^2-3}+1}=0$

$\iff (y-1)(y-1+\dfrac{4y+4}{\sqrt{4y^2-3}+1})=0$

$\iff (y-1)(y+\dfrac{4y+3-\sqrt{4y^2-3}}{\sqrt{4y^2-3}+1})=0$

$\iff y=1$ ( phần trong ngoặc luôn dương vì $4y+3>\sqrt{4y^2-3}$ với $y >0$)

Bài 450: $\begin{cases} & x+(x^{2}+x)(\sqrt{x-y+3}-2)= 1+y\\ & (x+1)\sqrt{y^{2}+y+2}+(y-1)\sqrt{x^{2}+x+1}= x+y \end{cases}$

$(1) \iff (x-y-1)+(x^2+x).\dfrac{x-y-1}{\sqrt{x-y+3}+2}=0$

$\iff (x-y-1)(1+\dfrac{x^2+x}{\sqrt{x-y-3}+2})=0$

$\iff (x-y-1)(\sqrt{x-y-3}+x^2+x+2)=0$

$\iff x=y+1$

Thay xuống pt(2) ta có:

$(y+2)\sqrt{y^2+y+2}+(y-1)\sqrt{y^2+3y+3}=2y+1$

Đặt $\begin{cases} \sqrt{y^2+y+2}=a \\ \sqrt{y^2+3y+3}=b \end{cases} \rightarrow 2y+1=b^2-a^2 \rightarrow y=\dfrac{b^2-a^2-1}{2}$

$\iff (b^2-a^2+3)a+(b^2-a^2-3)b=2(b^2-a^2)$

$\iff (a-b)[a^2+2ab+b^2-2(a+b)-3]=0$

$\iff (a-b)(a+b+1)(a+b-3)=0$

Đến đây bạn thay $a,b$ và bình phương...

Hệ có 1 nghiệm là: $x=1;y=4$

Từ (1) thay $2-\sqrt{6-2x}=\dfrac{2(x-1)}{2+\sqrt{6-2x}}$ có nghiệm $x=1$ nên liệu có thể đưa $4y^3-y^4\sqrt{x}$ về dạng $(x-1)(,,,)$ đc k

P/s: Đó là hướng của mình, nhưng chắc khó vì phần còn lại ra tận bậc 7

Mình có bài toán này đang có ý tưởng nhưng hơi dài và khó thực hiện, mn thử đề xuất ý tưởng xem

Bài 509: Giải hệ phương trình:

$$ \left\{\begin{matrix} 4y^3-y^4\sqrt{x}+2-\sqrt{6-2x}=0 \\ x(x-3)^2=y \end{matrix}\right.$$

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

Thực ra thì đoạn này e mò cx không ra nên dùng wolframalpha tách thành nhân tử thôi cj

https://www.wolframa...{2}x-\sqrt{2}+2

Nhờ mọi người giúp em giải câu hệ này vs ạ:

$(1) \iff (2y-x)(y^2+2y+x+2)=0$

$\iff x=2y$ (phần trong ngoặc luôn dương với $x \geq 1$)

Thế xuống pt (2) ta có:

$\iff \sqrt{x-1}+\sqrt[3]{2x+4}=x^2-2x+9$

Ta có: $\sqrt{x-1} \leq \dfrac{x}{2}; \ \sqrt[3]{2x+4} \leq \dfrac{2x+4+1+1}{3}=\dfrac{2x}{3}+2$

$\iff VT \leq \dfrac{x}{2}+\dfrac{2x}{3}+2$

Mà $VP- \dfrac{x}{2}-\dfrac{2x}{3}-2=x^2-\dfrac{31}{6}x+7>0$

$\rightarrow VT<VP$

Vậy hệ pt vô nghiệm

Bài 295: $2a^{3}-(2a^{2}-3a+1)\sqrt{a^{2}-2a}-4a^{2}-a+3=0$

ĐK: $a^2-2a \geq 0$

Phương trình tương đương với: $(2a^3-4a^2-a+3)-(2a^2-3a+1)\sqrt{a^2-2a}=0$

$\iff (a-1)(2a^2-2a-3)-(a-1)(2a-1)\sqrt{a^2-2a}=0$

$\iff (a-1)[2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}]=0$

$\iff a=1$   v    $2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}]=0 \ \ (1)$

Xét (1) ta có:

$2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}=0$

Đặt $\sqrt{a^2-2a}=x \ (x \geq 0)$, thay vào ta có:

$\iff 2a^2-2a-3-(2a-1)x=0$

$\iff 2x^2-(2a-1)x+2a^2-2a-3-2a^2+4a=0$

$\iff 2x^2-(2a-1)x+2a-3=0$

$\iff (x-1)(2x-a+3)=0$

Đến đây thay $x=\sqrt{a^2-2a}$ vào rồi bình phương bình thường

Bài 273: Tìm giá trị "cụ thể" của $t$ để:

$\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{t+3}=\frac{1}{t}$

ĐK: $t \not =-1; t \not = -2; t \not =-3; t \not = 0$

$\dfrac{1}{t+1}+\dfrac{t}{t+2}=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+3}$

$\iff \dfrac{2t+3}{(t+1)(t+2)}=\dfrac{3}{t(t+3)}$

$\iff \dfrac{2t+3}{t^2+3t+2}=\dfrac{3}{t^2+3t}$

Đặt $t^2+3t=a \ (1)$, thay vào ta có:

$\iff \dfrac{2t+3}{a+2}=\dfrac{3}{a}$

$\iff 2ta+3a=3a+6$

$\iff ta=3$

Vì $t \not =0$ nên $a=\dfrac{3}{t}$

Thế vào (1) ta có: $t^2+3t=\dfrac{3}{t} \iff t^3+3t^2-3=0$

Nghiệm hơi lẻ ....

Bài 79: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}=1 \\ &\sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}=(\sqrt[2017]{y}-\sqrt[2017]{x})(x+y+xy+2018) \end{matrix}\right.$

Với $x^2+y^2=1 \longrightarrow \begin{cases} &  -1 \leq x \leq 1 \\  &  -1 \leq y \leq 1 \end{cases} \longrightarrow -1 \leq xy \leq 1$

Ta có: $x+y+xy+2018 > 2018 -1-1-1=2015 >0$

Xét 3 TH: 

Với $x>y \longrightarrow \sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}>0 \iff \sqrt[2017]{y}-\sqrt[2017]{x} >0 \iff y >x$ (Mâu thuẫn)

TT với TH: $x<y$ (mâu thuẫn)

$\longrightarrow x=y$. Thay vào (1): $x=y=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

Nhận xét $\sqrt{2-x^2}+1=\frac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2}-1}$ 
$4x-4=4(x-1)$ 

Phương trình không có nghiệm bằng 1, bạn, thay vào đó có 1 nghiệm vô tỉ rất lẻ.

 

Do $x \neq 0$, chia cả $2$ vế phương trình cho $x^3$ ta được:

$\dfrac{8}{x^3}-\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{7}{x}=2\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=t$ ta được

$ 8t^3-13t^2+7t=2\sqrt[3]{t^2+3t-3} $

$\Leftrightarrow (2t-1)^3+2(2t-1)=t^2+3t-3+2\sqrt[3]{t^2+3t-3}$...

 

Chỗ này hình như phải là: $VP \iff \sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3x}$ 

Bài 99: $x^{2}-3x+\dfrac{13}{2}= \sqrt{(x^{2}-2x+2)(x^{2}-4x+5)}+2x$

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a; \sqrt{x^2-4x+5}=b$, thay vào ta có:

$\iff \dfrac{(x^2-2x+2)+(x^2-4x+5)}{2}=2\sqrt{x^2-2x+2}\sqrt{x^2-4x+5}+(x^2-2x+2)-(x^2-4x+5)$

$\iff \dfrac{a^2+b^2}{2}=ab+a^2-b^2$

$\iff \dfrac{a^2}{2}+ab-\dfrac{3}{2}b^2=0$

$\iff (a-b)(a+3b)=0$

...

Mình xin chia sẻ thêm về dạng UCT hệ số bất định cho tam thức bậc hai.

$\begin{cases} &  a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1=0 \\  &  a_2x^2+b_2y^2+c_2xy+d_2x+e_2y+f_2=0 \end{cases}$

Ta sẽ giả sử $PT(1)+kPT(2)$ sẽ tạo đc một đa thức có $\Delta$ đẹp, nghĩa là số chính phương.

Khi đó đa thức mới thu đc là: $(a_1+ka_2)x^2+(b_1+kb_2)y^2+(c_1+k.c_2)xy+(d_1+kd_2)x+(e_1+ke_2)y+(f_1+kf_2)=0$

Đặt $a=a_1+ka_2 ; \ b=b_1+kb_2; \ c=c_1+k.c_2; \ d=d_1+kd_2; \ e=e_1+ke_2; \ f=f_1+kf_2$.

Khi đó: $k$ sẽ là nghiệm của pt: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$ 

Tìm đc k rồi bạn sẽ tìm đc mới t/ứ và phân tích nhân tử đẹp với đa thức đó

Bạn có thể lấy VD 40 của bạn I LOVE MC để kiểm chứng.

Bài 143: $2\sqrt{(2-x)(5-x)}=x+\sqrt{(2-x)(10-x)}$

ĐK:$x \geq 10$  v  $x \leq 2$

Ta có: $\Longrightarrow 4(x^2-7x+10)=x^2+x^2-12x+20+2\sqrt{x^4-12x^3+20x^2}$

$\Longrightarrow x^2-8x+10=\sqrt{x^4-12x^3+20x^2}$

$\Longrightarrow (x^2-8x+10)^2=x^4-12x^3+20x^2$

$\Longrightarrow -4x^3+64x^2-160x+100=0$

$\Longrightarrow (x-1)(x^2-15x+25)=0$

$\Longrightarrow  x=1$  v  $x=\dfrac{15+5\sqrt{5}}{2}$

Bài 170 : Giải hệ phương trình : 
$\begin{cases} &x^3-3x^2-6x+4y^2+3xy-xy^2-12y=-8&\\&\sqrt{x+9}-5=\sqrt{y+4}+\sqrt{y-2}& \end{cases}$ 

(1) $\iff (x+y-1)(x-y+2)(x-4)=0$

$\iff x=1-y$   v   $x=y-2$  v   $x=4$

Đến đây thay xuống dưới

Bài 239: $\frac{9}{3\sqrt{x-1}+6}-1-\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-6x+6}+1}=0$

ĐK: $x \geq 1$

Ta có: $\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}+1-\dfrac{9}{3\sqrt{x-1}+6}=0$

$\iff  (\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}-\dfrac{1}{5})+(\dfrac{6}{5}-\dfrac{9}{3\sqrt{x-1}+6})=0$

$\iff \dfrac{5x-6-\sqrt{x^2-6x+6}}{5(\sqrt{x^2-6x+6}+1)}+\dfrac{18\sqrt{x-1}-9}{5(3\sqrt{x-1}+6)}=0$

Xét $x=1$ thì $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6}=0$ và khi đó $x=1$ cũng không phải nghiệm của phương trình.

Vậy $x>1$, khi đó ta có: $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6}=5(x-1)+\sqrt{x^2-6x+6}-1=5(x-1)+\dfrac{(x-5)(x-1)}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}=(x-1)(5+\dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-6x+6}+1})=(x-1)\dfrac{5\sqrt{x^2-6x+6}+x}{\sqrt{x^2-6x+6}+1} >0$ 

Vậy $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6} >0$

$\iff \dfrac{6(4x-5)(x-1)}{5(\sqrt{x^2-6x+6}+1)(5x-6+\sqrt{x^2-6x+6})}+\dfrac{9(4x-5)}{5(3\sqrt{x-1}+6)(2\sqrt{x-1}+1)}=0$

$\iff 4x-5=0$    v    $\dfrac{6(x-1)}{5(\sqrt{x^2-6x+6}+1)(5x-6+\sqrt{x^2-6x+6})}+\dfrac{9}{5(3\sqrt{x-1}+6)(2\sqrt{x-1}+1)}=0$ (*)

(*) >0 với mọi $x >1$ và $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6} >0$

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình: $x=\dfrac{5}{4}$

làm như thế nghiệm sẽ rất lẻ mình không giải được a,b

Mình nghĩ cách như vậy là hợp lí rồi, Có thể số 282 sửa thành 289 không nhỉ?

Bổ sung thêm các bài tập các bạn chưa giải được trong topic

2)$\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+282}+x}{x}} - \sqrt{x\sqrt{x^{2}+282}-x^{2}}=3$

             

Đã có ở trang 19

Bài 186: $x^{3}-3x^{2}+2x-2-\sqrt{x+1}.\sqrt[3]{3x-1}=0$

ĐK: $x \geq -1$

$\iff x^3-3x^2+\sqrt{x+1}(x-1-\sqrt[3]{3x-1})+2(x-1)-(x-1)\sqrt{x+1}=0$

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^3-3x^2}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+(x-1)(2-\sqrt{x+1})=0$

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2(x-3)}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+\dfrac{(x-1)(3-x)}{\sqrt{x+1}+2}=0$

$\iff (x-3)[x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$

$\iff x=3$  v  $x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$ (1)

Vì $\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2} >0$ (với mọi $x$) nên ta xét $x^2-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}$  (2)

(2) $\iff \dfrac{x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1}{\sqrt{x+1}+2}$

Dễ thấy (2) luôn lớn hơn 0 vì $x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1 >0$ $\Longrightarrow$ (1) vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$

Bài 8: Giải HPT:

$\begin{cases}& 3x^{2}+12y^{2}+24xy-9(x+2y)\sqrt{2xy}=0 \\ & 5x^{2}-7y^{2}+xy=15\end{cases}$

ĐK: $xy \geq 0$

(1) $\iff 3(x^2+4xy+4y^2)-9(x+2y)\sqrt{2xy}+12xy=0$

$\iff 3(x+2y)^2-9(x+2y)\sqrt{2xy}+12xy=0$

$\iff (x+2y-2\sqrt{2xy})(x+2y-\sqrt{2xy})=0$

$\iff (\sqrt{x}-\sqrt{2y})^2(x+2y-\sqrt{2y})=0$

$\iff x=2y$ (vì $x+2y-\sqrt{2y} >0$)

Thay vào pt (2): 

$\iff15y^2=15$

$\iff y=1$ v $y=-1$

$\iff x=2$  v $x=-2$

Vậy nghiệm hệ $(x;y)=(2;1); (-2;-1)$