Bài 299 : $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=4$

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=(x+6)-(x+2)$

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2})=0$

$\iff \sqrt{2x-1}-3=\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2}$

$\rightarrow 2x+8-6\sqrt{2x-1}=2x+8-2\sqrt{(x+6)(x+2)}$

$\iff 3\sqrt{2x-1}=\sqrt{(x+6)(x+2)}$

Đến đây bình phương rồi giải phương trình bậc hai bình thường sau đó thử lại...

Bài 362:  $(x-2)\sqrt{x-1}+(x-1)\sqrt{x+1}=2x^2-8x$

Bài 274 : (chuyên LHP-Nam Định) 
Giải hệ : 
$\begin{cases} &x=y^3-5y^2+8y-3&\\&y=-2x^3+10x^2-16x+9& \end{cases}$ 

$\iff \begin{cases} &  x-1=y^3-5y^2+8y-4 \\  &  y-1=-2(x^3-5x^2+8x-4) \end{cases}$
 

$\iff \begin{cases} &  x-1=(y-1)(y-2)^2 \\  &  y-1=-2(x-1)(x-2)^2 \end{cases}$

Nhân vế với vế :$ (x-1)(y-1)=-2(x-1)(y-1)(x-2)^2(y-2)^2$

$\iff (x-1)(y-1)[1+(x-2)^2(y-2)^2]=0$

$\iff x=1$ hoặc $y=1$

Đến đây thế một trong 2 pt rồi giải tiếp

Bài 265: $\left\{\begin{matrix} \frac{2x^2+4y^2}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)-1} \\ \sqrt{(x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x(\sqrt{x(y+3)})}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.$

$PT(2) \iff (x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}=x+y+3+2\sqrt{x(y+3)}$

$\iff (x+1)^2+xy+2x+y+2=2(x+1)\sqrt{x(y+3)}$

$\iff (x+1)^2+(x+1)(y+2)=2(x+1)\sqrt{x(y+3)}$

$\iff x+1=0$     v     $x+y+3=2\sqrt{x(y+3)}$

$\iff x=-1$       v      $\sqrt{x}=\sqrt{y+3}$

$\iff x=-1$       v      $x=y+3$

Đến đây ta thế vào PT(1)

Bài 254: Giải bpt: 

$9x^2+27x+31 > (6x-1)\sqrt{9x^2+6}+(9x^2+6)\sqrt{2-x}$  (với $x \in [\dfrac{-4}{5}; 2]$)

P/S: bất phương trình này vô số nghiệm hay luôn đúng với mọi $x$

Bài 382: $\left\{\begin{matrix} &(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)}=\sqrt{2(x+y+1)}+4 \\ &(x^{2}+y-2)\sqrt{2x+1}=x^{3}+2y-5 \end{matrix}\right.$(HSG tỉnh Phú Thọ 2016)

ĐK: $x+y \geq 0$

$(1) \iff (x+y)^2-4+(\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{2(x+y+1)})=0$

$\iff (x+y-2)(x+y+2)+\dfrac{x+y-2}{\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{2(x+y+1)}}=0$

$\iff (x+y-2)(x+y+2+\dfrac{x+y-2}{\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{2(x+y+1)}})=0$

$\iff x+y=2$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

Đến đây thế xuống (2) ta đc:

$(x^2-x)\sqrt{2x+1}=x^3-2x-1$

Đặt $\sqrt{2x+1}=y (>0)$

$\iff (x^2-x)y=x^3-y^2$

$\iff x^2y-xy=x^3-y^2$

$\iff (x^2+y)(x-y)=0$

$\iff x=y$

Đến đây thay $y=\sqrt{2x+1}$ vào là xong ...

Bài 420: $x^{3}+2x-3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$

ĐK: $x \geq 1$

$x^3+2x-3-2\sqrt{x^3-1}=(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$

$\iff (x^3+x^2+x-3)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-(x^2-x)-2\sqrt{x^3-1}=0$

$\iff (x^2+2x+3)(x-1)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

$\iff (x^2+2x+3)[(x-1)-\sqrt{x^2-x+1}]-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

$\iff \dfrac{-x(x^2+2x+3)}{x-1+\sqrt{x^2-x+1}}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

Ta có: $VT<0$ với mọi $x \geq 1$, nên phương trình vô nghiệm

Bài 513: Giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2-3y^2+3x+4y-1=0 \\ y^3-3xy-x+12y-7=0 \end{matrix}\right.$$

Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$

$\iff \sqrt[3]{9x+9}-\sqrt[3]{2x-3}-x=0$

$\iff (\sqrt[3]{9x+9}-3\sqrt[3]{2x-3})+(2\sqrt[3]{2x-3}-x)=0$

$\iff \dfrac{45(2-x)}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}+\dfrac{(2-x)(x^2+2x-12)}{4\sqrt[3]{2x-3}^2+2x\sqrt[3]{2x-3}+x^2}$

$\iff (2-x)[\dfrac{45}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}+\dfrac{x^2+2x-12}{4\sqrt[3]{2x-3}^2+2x\sqrt[3]{2x-3}+x^2}]=0$

$\iff (2-x)[\dfrac{45}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}-\dfrac{13}{A}+\dfrac{(x+1)^2}{A}]$ 

Với $A=4\sqrt[3]{2x-3}^2+2x\sqrt[3]{2x-3}+x^2$

Xét $C=\dfrac{45}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}-\dfrac{13}{A}$

Quy đồng ta được tử số:

$B=63\sqrt[3]{2x-3}^2+90x\sqrt[3]{2x-3}+45x^2-13\sqrt[3]{9x+9}^2-39\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)} \ (*)$

Đặt $\sqrt[3]{2x-3}=a \rightarrow \sqrt[3]{9x+9}=x+a$

$B=63a^2+90xa+45x^2-13(x+a)^2-39a(x+a)$

$\iff B=24a^2+25xa+32x^2>0 \rightarrow C>0$

Vậy phần trong ngoặc luôn dương

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

Bài 465: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}-8y^{3}=1+3xy-3x^{2}y^{2} \\ &8y^{3}-3x^{3}=1-3xy+9x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

Mình có ý này nhưng nghiệm ra khá lẻ

$3PT(1)+PT(2) \iff -16y^3=4+6xy \iff -8y^3=2+3xy$

$PT(1)+PT(2) \iff -2x^3=2+6x^2y^2 \iff -x^3=1+3x^2y^2$

Nhân vế với vế: $8x^3y^3=(2+3xy)(1+3x^2y^2)$

$\iff 8x^3y^3=2+6x^2y^2+3xy+9x^3y^3$

$\iff x^3y^3+6x^2y^2+3xy+2=0$

Đến đây tìm đc quan hệ $x,y$

p/s: Nghiệm ra lẻ quá, không biết mk làm sai ở đâu k

Vì khúc màu đỏ không cân bằng được hệ số nên không ra mà sao Nghĩa nghĩ tới -1 và 4 vậy

Cái này em dùng hệ số bất định, khi đặt ẩn phụ $a=\sqrt{x-2}; b=\sqrt{2x-3}$

Ta có: $7x-10=u.(x-2)+v(2x-3)=x(u+2v)+(-2u-3v)$

Từ đó có hệ:$\begin{cases} u+2v=7 \\  -2u-3v=-10 \end{cases} \iff \begin{cases} u=-1 \\  v=4 \end{cases}$

Bài 229: $\begin{cases} & \sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ & 12x(2x^{2}+3y+7xy)+1+12y^{2}(3+5x)= 0 \end{cases}$

ĐK: $x+y \geq 0; x+y+1 \geq 0 \rightarrow 2x+2y+1 \geq 0$ 

$(1) \iff 4(x+y)^2-1+\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{x+y+1}=0$

$\iff (2x+2y-1)(2x+2y+1)+\dfrac{2x+2y-1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}}=0$

$\iff (2x+2y-1)(2x+2y+1+\dfrac{1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}})=0$

$\iff 2x+2y-1=0$ (phần trong ngoặc luôn dương)

Đến đây thay xuống phương trình 2 giải pt bậc 2 đối với aan4 $x$ hoặc $y$

Bài 220: $\begin{cases} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9 \\ & \left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right )\left (\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1 \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}+1 \right )= 18 \end{cases}$

ĐK: $x; \not = 0$

Đặt $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=a; \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}=b$ thay vào ta có:

$\iff \begin{cases} &  a^3+b^3=9 \\ &  (a+b)(a+1)(b+1)=18 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (a+b)^3-3ab(a+b)=9 \\ &  (a+b)ab+(a+b)^2+(a+b)=18 \end{cases}$

Đặt $a+b=u; ab=v$

$\iff \begin{cases} &  u^3-3uv=9 \ (1)  \\ &  3uv+3u^2+3u-54=0 \ (2) \end{cases}$

(1) $\iff 3uv=u^3-9$ thế vào (2) đc:

$u^3+3u^2+3u-63=0$

$\iff (u-3)(u^2+6u+21)=0$

$\iff u=3$

$\iff a+b=3$

Xong thế vào (1) để tìm $ab$

73) $2x\sqrt{x}+\frac{5-4x}{\sqrt{x}}\geq \sqrt{x+\frac{10}{x}-2}$

 

ĐK: $x \geq 0$

BPT $\iff 2x^2+5-4x \geq \sqrt{x^2-2x+10}$

$\iff 2(x-1)^2+3 \geq \sqrt{(x-1)^2+9}$

Đặt $(x-1)^2=t (t \geq 0)$

$\iff 2t+3 \geq \sqrt{t+9}$

$\iff 4t^2+11t \geq 0$

$\iff t(4t+11) \geq 0$ (luôn đúng với mọi t)

Vậy bpt có nghiệm : $x \geq 0$ 

Dấu = có khi: $x=1$

Tiếp tục nhé mọi người!

Bài 111: $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$

$\iff 6(x^2-2x+2)+(x^2+2x+2)=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a; \sqrt{x^2+2x+2}=b$

PT $\iff 6a^2-5ab+b^2=0$

$\iff (2a-b)(3a-b)=0$

Với mỗi TH chỉ cần bình phương lên để tìm đc kết quả.

Câu 33:

 \left\{\begin{matrix}\sqrt{x-y+2}+2\sqrt{y-x}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x-y+4}}\\\ x^{3}+\sqrt{2x-1}=2-\sqrt{y-2} \end{matrix}\right

Đặt $y-x=a$

$\iff \sqrt{2-a}+2\sqrt{a}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4-a}}$

$\iff \sqrt{(2-a)(4-a)}+2\sqrt{a(4-a)}=3\sqrt{3}$

Bình phương 2 lần lên ta sẽ có: $25a^4-220a^3+726a^2-892a+361=0$

$\iff (a-1)^2(25a^2-170a+361)=0$

$\iff a=1$

$\iff y=x+1$

(2) $\iff x^3+\sqrt{2x-1}-2+\sqrt{x-1}=0$ (ĐK: $x \geq 1$)

$\iff (x-1)(x^2+x+1)+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{2x-1}+2}+\sqrt{x-1}=0$

$\iff \sqrt{x-1}[(x^2+x+1)\sqrt{x-1}+\dfrac{2\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x-1}+2}+1]=0$

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

Vậy $x=1; y=2$

 

Bài 20: Giải phương trình:

a, $4x^{2}+(2x-5)\sqrt{4x+2}+17=(2x+3)\sqrt{6-4x}$

ĐK: $\dfrac{-1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}$

$16x^2+4(2x-5)\sqrt{4x+2}+68-4(2x+3)\sqrt{6-4x}=0$

$\iff (2x-5)^2+4(2x-5)\sqrt{4x+2}+4(2x+2)+(2x+3)^2-4(2x+3)\sqrt{6-4x}+4(6-4x)+8x^2+8x+2=0$

$\iff [2x-5+2\sqrt{4x+2}]^2+[2x+3-2\sqrt{6-4x}]^2+2(2x+1)^2=0$ 

$\iff 2x+5+2\sqrt{4x+2}=2x+3-2\sqrt{6-4x}=2x+1=0$ (vô lí)

Vậy pt vô nghiệm

Bài 13: Giải HPT: $\begin{cases}& \sqrt{12-2x^{2}}= 4+y\\ & \sqrt{1-2y-y^{2}}=5-2x \end{cases}$

ĐK: $12-2x^2 \geq 0$ ; $1-2y-2y^2 \geq 0$

$\Rightarrow \begin{cases} &  12-2x^2=16+8y+y^2 \\  &  1-2y-2y^2=25-20x+4x^2 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} &  2x^2+y^2+8y+4=0 \\  &  4x^2+2y^2-20x+2y+24=0 \end{cases}$

$2PT(1)+PT(2) \iff 10x^2-40x+3y^2+12y+52=0$

$\iff 10(x^2-4x+4)+3(y^2+4y+4)=0$

$\iff 10(x-2)^2+3(y+2)^2=0$

$\Rightarrow \begin{cases} &  x=2 \\  &  y=-2 \end{cases}$ (loại vì không tm $1-2y-2y^2 \geq 0$)

Vậy hệ vô nghiệm

Đóng góp tiếp nào!

Bài 127:   $\begin{cases} &  x\sqrt{x}-3y\sqrt{y}=3(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \\  &  x-2y=6 \end{cases}$

Bài 128:  $\begin{cases} &  x^2y^2+3x+3y-3=0 \\  &  x^2y-4xy-3y^2+2y-x+1=0 \end{cases}$

Bài 142: $\sqrt{2x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}=3x$

 

ĐK: $x >0$ Vì VT$ >0$

(1) $\iff \sqrt{2x^2+x+1}-2+\sqrt{x^2-x+1}-1=3(x-1)$

$\iff \dfrac{2x^2+x-3}{\sqrt{2x^2+2x+1}+2}+\dfrac{x^2-x}{\sqrt{x^2-x+1}+1}-3(x-1)=0$

$\iff (x-1)[\dfrac{2x+3}{\sqrt{2x^2+2x+1}+2}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-x+1}+1}-3]=0$

$\iff x=1$  v  $\dfrac{2x+3}{\sqrt{2x^2+2x+1}+2}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-x+1}+1}-3=0 \ (2)$

Nhận xét với $x >0$ thì $\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+x+1+x^2}+2} < \dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2}+\dfrac{3}{2}}=2$

Và $\dfrac{x}{\sqrt{x^2-x+1}+1} <1 \iff x-1 < \sqrt{x^2-x+1} \iff x >0$ (luôn đúng)

Vậy $ \dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+x+1+x^2}+2} +\dfrac{x}{\sqrt{x^2-x+1}+1} <3$ (vô nghiệm)

Vậy $x=1$

Bài 197: $x^{3}+x^{2}-4x+6-(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}-3x+6}=0$

Đặt $\sqrt{x^2-3x+6}=a \ (a \geq 0)$. Thay vào ta có:

$\iff x^3+x^2-4x+6-(x^2+1)a=0$

$\iff a^2-(x^2+1)a+x^3+x^2-4x+6-(x^2-3x+6)=0$

$\iff a^2-(x^2+1)a+x^3-x=0$

$\iff (a-x-1)(a-x^2+x)=0$

Đến đây thay $a=\sqrt{x^2-3x+6}$ vào rồi bình phương bình thường...

Bài này đưa về tích được,

Đặt $2x-1=a; \sqrt{x^2+1}=b$

$PT \Leftrightarrow (2a+1)b=2b^2+a \Leftrightarrow (b-a)(2b-1)=0 \Leftrightarrow ...$

P/s: chú nhầm rồi: $\sqrt{x^2-1}$ mà có phải $\sqrt{x^2+1}$ đâu 

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 181: $(4x-1)\sqrt{x^{2}-1}=2x^{2}+2x+1$

ĐK: $x \geq 1$  v  $x \leq -1$

Bình phương 2 vế: 

$\iff 16x^4-8x^3-15x^2+8x-1=4x^4+8x^3+8x^2+4x+1$

$\iff 12x^4-16x^3-23x^2+4x-2=0$

Đến đây thử dùng cách này của anh nthoang cute vậy.

Đây là phương trình dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn nhưng lại không áp dụng đc mà pt chỉ có 1 nghiệm lẻ duy nhất.

P/S: đây là ý kiến của mình, mình nghĩ là vẫn còn phương án khác

bài 161

2)$\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+282}+x}{x}} - \sqrt{x\sqrt{x^{2}+282}-x^{2}}=3$

           

Đặt $\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+282}+x}{x}}=a; \sqrt{x\sqrt{x^2+282}-x^2}=b$

Ta có: $a.b=\sqrt{(\sqrt{x^2+282}+x)(\sqrt{x^2+282}-x)}=\sqrt{x^2+282-x^2}=\sqrt{282}$

Từ đó ta có hệ: $\begin{cases} &  a-b=3 \\  &  ab=\sqrt{282} \end{cases}$

Rút $a=b+3$ rồi thế vào pt (2) 

Bài 4: Giải phương trình: 

a) $\sqrt{8+x^{3}}+\sqrt{64-x^{3}}=x^{4}-8x^{2}+28$

ĐK: $-2 \leq x \leq 4$

$1.\sqrt{8+x^3}+1.\sqrt{64-x^3} \leq \sqrt{(1^2+1^2)(8+x^3+64-x^3)}=12$

Mặt khác: $x^2-8x+28 = (x-4)^2+12 \geq 12$

Dấu "=" xảy ra khi: $x=4$ và $8+x^3=64-x^3$ (vô nghiệm vì 2 điều này không xảy ra đồng thời)

Vậy pt vô nghiệm