Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+4\sqrt{17-x}+8\sqrt[4]{17-x}=34 (*)$
+Xét $x=1$ ta thấy là nghiệm của pt
+Xét $0 \leq x < 1$ thì $VT_(*)<VP_(*)$ suy ra loại
+ Xét $1 <x \leq 17$ thì $VT_(*)<VP_(*)$ suy ra loại
Vậy pt có nghiệm là $x=1$

Cái này có phải đơn điệu đâu nhỉ?
$x< 1\Rightarrow \sqrt{17-x}> \sqrt{17-1};\sqrt{x}< \sqrt{1}$
Đâu có cùng chiều?

Bài 89: Giải pt $8x^{^{2}}+{\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{5}{2}$

Cách 2: Liên hợp:
Điều kiện: $x>0$
$8x^{^{2}}+{\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 8x^2-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{x}}-2=0$
$\Leftrightarrow \frac{(4x-1)(4x+1)}{2}+\frac{1-4x}{\sqrt{x}(1+2\sqrt{x})}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 4x-1=0\\ \dfrac{4x+1}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}(1+2\sqrt{x})}=0 (*)\end{bmatrix}$
Xét $(*)$:
+ Nếu $x>\frac{1}{4}\Rightarrow VT>0$ Vô nghiệm
+ Nếu $0<x<\frac{1}{4}\Rightarrow VT<0$ Vô nghiệm
Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{4}$

Cách 3: Đặt ẩn
ĐK: ...
Đặt $\sqrt{x}=a>0$
PT: $16a^5-5a+2=0\Leftrightarrow (2a-1)^2(4a^3+4a^2+3a+2)=0$
Vì a>0 nên chỉ có nghiệm $a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bài 84: Giải phương trình $\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+4\sqrt{17-x}+8\sqrt[4]{17-x}=34$

Ra một cách:
Điều kiện: $0\leq x\leq 17$
Áp dụng bđt Bunhia:
$*$$\sqrt{x}+4\sqrt{17-x}\leq \sqrt{(x+17-x)(1+4^{2})}= 17$
$*$$\sqrt[4]{x}+8\sqrt[4]{17-x}= \sqrt[4]{x}+4.2\sqrt[4]{17-x}$
$\leq \sqrt{(1+4^{2})(\sqrt{x}+4\sqrt{17-x})}= \sqrt{17}.\sqrt{(\sqrt{x}+4\sqrt{17-x})}$
$\leq \sqrt{17}.\sqrt[4]{(1+4^{2})(x+17-x)}= 17$
Nên $\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+4\sqrt{17-x}+8\sqrt[4]{17-x}\leq 34$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x}}{1}=\frac{\sqrt{17-x}}{4}\\ \frac{\sqrt[4]{x}}{1}=\frac{2\sqrt[4]{17-x}}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1$
Vậy pt có nghiệm là $x=1$

$+$ Sao cái trích dẫn càng to cỡ chữ thì nó càng nhỏ nhỉ?

Bài 73
Giải hệ phương trình

$ \begin{Bmatrix} \ 2x\sqrt y + y\sqrt x = 3\sqrt {4y - 3} \ (1)\\ \ 2y\sqrt x + x\sqrt y = 3\sqrt {4x - 3} \ (2) \end{Bmatrix}$

Điều kiện: $ \begin{Bmatrix} x\geq \frac{3}{4}\\ y\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix}$
$ (1)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(2\sqrt{x}+\sqrt{y})=3\sqrt{4y-3}\Leftrightarrow \sqrt{xy}=\frac{3\sqrt{4y-3}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}} (*)

(2)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(2\sqrt{y}+\sqrt{x})=3\sqrt{4x-3}\Leftrightarrow \sqrt{xy}=\frac{3\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}(**)$
Từ $ (*),(**)$$ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{4y-3}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}

\Leftrightarrow 2\sqrt{4y-3}\sqrt{y}+\sqrt{4y-3}\sqrt{x}-2\sqrt{4x-3}\sqrt{x}-\sqrt{4x-3}\sqrt{y}=0

\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{4y-3}-\sqrt{4x-3})=\sqrt{x}\sqrt{4x-3}-\sqrt{y}\sqrt{4y-3}


\Leftrightarrow -(\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{4(x-y)}{(\sqrt{4x-3}+\sqrt{4y-3})}=(x-y)\frac{(4x+4y-3)}{\sqrt{x}\sqrt{4x-3}+\sqrt{y}\sqrt{4y-3}}

\Leftrightarrow (x-y)A=0
\Leftrightarrow x=y$ (do $ A\neq 0$)
thay $ x=y$ vào $(1)$ $ (1)\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x^{3}-4x+3=0\\ x\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} x=y=1\\ x=y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\ x=y=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}\\ x\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y=1\\ x=y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}$
Vậy pt có 2 nghiệm...

$\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\leq 1=>\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}-1< 0$
$\frac{1}{\sqrt[3]{(x+6)^{2}}+2\sqrt[3]{x+4}+4}-\frac{1}{3}< 0$

Cái này là vậy chứ?

$\Leftrightarrow \frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{x-1+1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}-\sqrt[3]{x-1}+1}-\sqrt[3]{5x}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ (thỏa)

Mình xin hỏi: Còn trường hợp $\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}-\sqrt[3]{x-1}+1}-\sqrt[3]{5}=0$ thì bạn giải thích như thế nào?

GPT: $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{5x}$

$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{5x}$
$\Leftrightarrow 5x=2x+3\sqrt[3]{(x-1)(x+1)}(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1})$
$\Rightarrow 3x=3\sqrt[3]{(x-1)(x+1)5x}$
$\Leftrightarrow x^{3}=5x^{3}-5x$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=\frac{\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy pt có nghiệm $x\in \begin{Bmatrix} 0;\frac{\sqrt{5}}{2};\frac{-\sqrt{5}}{2} \end{Bmatrix}$

Tiếp nữa:
Bài 94:
$ \sqrt[4]{1-x^{4}}=\sqrt[5]{1-x^{5}} $
P/s: Ở pt trình đầu nếu bạn Triết đặt ẩn ngay thì sẽ thành pt bậc 5 rất đẹp đó. Thân!

Đặt $a=\sqrt[4]{1-x^4}$
ta có:
$a^4=1-x^4\Leftrightarrow a^4+x^4=1$
$a^5+x^5=1$
Ta có $a^5+x^5=a^4+x^4$
Mặt khác $-1\leq x\leq 1$
Nên $a^4\geq a^5;x^4\geq x^5$

Phải là thế này chứ? $x^{4}\geq x^{5}\Leftrightarrow 1-x^4\leq 1-x^5\Leftrightarrow a^4\leq a^5$

(Đang ngồi học thấy bài này hay post lên cho anh em cùng chém)
Giải phương trình
$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x^{2}-3x+5)}=4-2x$

Điều kiện $x\geq 1$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của pt.
Xét $x>1$ có $VT>2; VP<2$ vô nghiệm.
Vậy pt có nghiệm $x=1$

$DKXD:-1 \leq x,y \leq 1$

Với $- \leq x,y \leq 0$ thì $A \leq 0$ suy ra pt vô nghiệm

Đặt $A=x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}}=1 (1)$

Với $0 \leq x,y \leq 1$ ta có:

$A=x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow A=\sqrt{x^2(1-y^2)}+\sqrt{y^2(1-x^2)}$

thế còn trường hợp 1 âm 1 dương thì sao?

Mọi người chém tiếp nào:
Bài 93 $ \sqrt{x-2}=\frac{5x^{2}-10x+1}{x^{2}+6x-11} $

Another Solution: (Thay vì AM-GM khổ sở, dùng Cauchy-Schwarz cho nhanh)
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
${\left( {x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} \le \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 1$
___

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$
Nghiệm $\left\{\begin{matrix} \left | x \right |\leq 1\\ y=\pm \sqrt{1-x^{2}} \end{matrix}\right.$

Đố bạn biết đây là ai? =))


mọi người chém nhẹ chút thôi

Trần Minh Đạt
Minhdat881439

Xin chúc mừng anh Đạt đã bị chém, haha

Hehe, đã biết, là Thúy Mai

đã ai nhìn thấy lão Trọng (hoangtrong2503) chưa?

Đây là Trọng và bạn gái, mọi người ném gạch mạnh vào nhé!

Láo thật, thế mà anh Trọng bảo chưa có bạn gái
Chỉ tên gì vậy anh?

ai đây Huynhmylinh-Huỳnh Thị MỸ Linh nhỉ?

ảnh đẹp, đảm bảo ko dìm hàng bạn bè (minhducqhhehe-Trương Đình Minh Đức)

Câu 31: Trên một con dốc có hai người mồ hôi nhễ nhại đang cố sức vừa đẩy vừa kéo một chiếc xe chất đầy hàng. Có người đến hỏi người đang kéo xe ở phía trước: Người đang đẩy xe ở phía sau có phải con của bạn không? Người ấy đáp: Phải. Nhưng khi hỏi người con ở phía sau: Người đang kéo xe ở phía trước có phải là cha của anh không? Người này đáp: Nói tầm bậy! Vậy, mối quan hệ giữa hai người này là thế nào?

Hi hi, em biết câu này: 2 người này là mẹ con.

Bài 18:Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.CMR điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ vuông là
\[\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{{10}}\]

Bài này em thấy có ở báo THTT tháng 4 năm 2012 nì.

Đàn anh, hoặc đàn em, hoặc đàn bầu (do mặt 2 đứa trẻ này bầu bĩnh quá )
hoặc chim đầu đàn.
Ắt phải trúng chứ nhỉ?

Bài 78
$
x-1 + \sqrt{x+1} + \sqrt{2-x} = x^2 + \sqrt{2}
$

Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2010-2011

Cách 2:
$x-1 + \sqrt{x+1} + \sqrt{2-x} = x^2 + \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow x+(\sqrt{x+1}-1)=x^2+(\sqrt{2}-\sqrt{2-x})$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=x+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}(*) \end{bmatrix}$
Xét $(*)$ bằng pp đánh giá có $x=1$ là nghiệm. Xét 2 trường hợp $\begin{bmatrix} -1\leq x< 1\wedge x\neq 0\\ 1< x\leq 2 \end{bmatrix}$ thấy vô nghiệm.

Bài 44.$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+3x^{2}-18=y^{3}+y & \\ 2y^{3}+3y^{2}-18=z^{3}+z & \\ 2z^{3}+3z^{2}-18=x^{3}+x & \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có $2x^{3}+3x^{2}-18\geq 2y^{3}+3y^{2}-18\geq 2z^{3}+3z^{2}-18$
Hay $y^{3}+y\geq z^{3}+z\geq x^{3}+x (*)$
Nên từ $(*)$ suy ra được $y\geq z\geq x$
Mà theo giả thiết đầu $x\geq y\geq z$ nên $x=y=z$
Thay vào pt $(1)$ ta có pt bậc 3 ẩn x.
Giải ra ta được $x=y=z=2$
Mình nghĩ mọi người nên chém chậm thôi, chậm mà chắc mà. Chém một bài tới khi nào nát bét ra á. Tìm nhiều lời giải, tổng quát bài toán. Chứ không nên đăng đề nhiều thế. Mình nghĩ đề thi sẽ không ra giống lại, chủ yếu là phương pháp làm có thể giống nhau. Nên cần quan tâm tới chất lượng hơn số lượng.

Bài 38: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} - {x_3} - {x_4} < 0\\
({x_1} + {x_2})({x_3} + {x_4}) - {x_1}{x_2} - {x_3}{x_4} < 0\\
({x_1} + {x_2}){x_3}{x_4} - ({x_3} + {x_4}){x_1}{x_2} < 0\\
{x_1} > 0;{x_2} > 0;{x_3} > 0;{x_4} > 0
\end{array} \right.\]
Đề đề nghị OLYMPIC 30/4 Trường THPT Hoàng Hoa Thám -Đà Nẵng 2008

Đặt: $\left\{\begin{matrix} a=x_{1}+x_{2}\\ b=x_{3}+x_{4}\\ c=x_{1}.x_{2}\\ d=x_{3}.x_{4} \end{matrix}\right.$
Ta có thêm $\left\{\begin{matrix} a^{2}>2c\\ b^{2}>2d \end{matrix}\right.$
Nên ta có $\left\{\begin{matrix}
a,b,c,d>0(1)\\
a<b(2)\\
ab<c+d(3)\\
ad<bc(4)\\
a^{2}>2c(5)\\
b^{2}>2d(6)
\end{matrix}\right.$
Có $2ad<2c.b<a^{2}.b\Rightarrow 2d<ab<c+d\Rightarrow d<c$
Từ $d<c\Rightarrow ab<c+d<2c<a^{2}\Rightarrow b<a$
Trái với $(2)$
Nên hệ vô nghiệm.

Bài 42. Giải phương trình
$$x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}$$
Đề thi HSG tỉnh Nghệ An - 10/11

Một cách khác:
Điều kiện: $-1\leq x\leq 2$
$x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}\Leftrightarrow x+(\dfrac{(\sqrt{x+1})^{2}-1}{\sqrt{x+1}+1})=x^{2}+(\dfrac{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2-x})^{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}})\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=0\\
1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=x+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}
\end{bmatrix}$
Xét $ 1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=x+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm
Xét $2\geq x> 1$;$\Rightarrow VT<1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ và $VP>1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ mà $VT=VP$ nên trường hợp này vô nghiệm
Xét $1> x\geq -1$;$\Rightarrow VT>1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ và $VP<1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ mà $VT=VP$ nên trường hợp này vô nghiệm
Vậy pt có nghiệm 1 hoặc 0