$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} +  \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}   \leq  \frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$ 

Vì

\[\frac{(a+b+c)(a^2+b^2)}{a+b} = a^2+b^2+c(a+b)-\frac{2abc}{a+b}.\]

Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right) \geqslant 2(ab+bc+ca).\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Schur.

Chứng minh : $\frac{a^{3} - b^{3}}{\left ( a - b \right )^{3}} + \frac{b^{3} - c^{3}}{\left ( b - c \right )^{3}} + \frac{c^{3} - a^{3}}{\left ( c - a \right )^{3}} \geq \frac{9}{4}$ với $a , b , c$ từng đôi khác nhau

Xét hiệu hai vế ta có \[\sum \frac{a^{3} - b^{3}}{\left ( a - b \right )^{3}} - \frac{9}{4} = \frac{3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc]^2}{4(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2} \geqslant 0.\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{\begin{aligned} & ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = 6abc \\ & (a-b)(b-c)(c-a) \ne 0 \end{aligned}\right.\] Bài toán được chứng minh.

Cho a,b,c là các số không âm trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\sum \frac{3a^{3}+abc}{b^{3}+c^{3}}\geq 6$

Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:

                           $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Vì \[(a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^3b+b^3c+c^3a) = \frac{1}{6} \sum (a^2-2b^2+c^2+3bc-3ca)^2\] nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 45 (Turkey NMO First Stage). Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $abc=2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$a^2+2b^2+4c^2-6b.$$
 

Bài 35 (Turkey JBMO TST). Chứng minh rằng
\[(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \geqslant (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2),\]
trong đó $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $xyz \geqslant 1.$

Bài 48 (Japan MO Final). Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+cd =1.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P (a^2+ac+c^2)(b^2+bd+d^2).$$
 

Bài 30 (EMMO). Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=4+abc.$ Chứng minh rằng $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9+6(ab+bc+ca).$$
 

Bài 52 (Taiwan TST). Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất để bất đẳng thức

\[\frac{x^2y^2}{1-z}+\frac{y^2z^2}{1-x}+\frac{z^2x^2}{1-y}\leq k-3xyz,\]

luôn đúng với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1.$

Bài 55 (2016 CWMO). Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm và đặt $\displaystyle S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i,\;(1\le k\le n).$  Chứng minh rằng

$$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_i \cdot S_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2.$$

Bài 56 (MEMO). Cho số nguyên dương $n \ge 2$ và $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là các số thực thỏa mãn đồng thời

• $x_j > -1$ với mọi $j = 1, 2,  \ldots, n.$
• $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n.$

Chứng minh rằng

$$ \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + x_j} \ge \sum_{j = 1}^{n} \frac{x_j}{1 + x_j^2}.$$
Đẳng thức xảy ra khi vào ?

Bài 57 (Iran MO 3rd Round Finals). Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $abc=1.$ Chứng minh rằng
$$\frac {a+b}{(a+b+1)^2}+\frac {b+c}{(b+c+1)^2}+\frac {c+a}{(c+a+1)^2} \geqslant \frac {2}{a+b+c}.$$



 

Bài 53 (China SEMO, Grade 11). Cho các số dương $x_1,x_2,\ldots,x_n,\,(n \in \mathbb{Z}^+)$ thỏa mãn điều kiện $x_1x_2\cdots x_n=1.$ Chứng minh rằng

\[\sum\limits_{i = 1}^{n}x_i\sqrt{x^2_1+x^2_2+\cdots + x^2_i}\ge\frac{n+1}{2}\sqrt{n}.\]
 

Bài 29 (EMMO). Tìm số thực dương $\lambda$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
$$\frac{\sqrt[3]{a^3+b^3}}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt[3]{b^3+c^3}}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt[3]{c^3+a^3}}{c^2+a^2}\le \lambda\left(1+\frac{1}{ab+bc+ca}\right),$$

luôn đúng với mọi số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1.$

Bài 51.1. (Tuymaada, Junior). Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3.$ Chứng minh rằng
\[(a+b+c)^3 \geqslant 9(ab+bc+ca).\]
Bài 51.2. (Tuymaada, Seniors). Cho ba số thực $x, y, z\in \left ( \frac{3}{2},+\infty \right ).$ Chứng minh rằng
\[x^{24} + \root 5\of {y^{60}+z^{40}} \geqslant \left(x^4 y^3 + {1\over 3} y^2 z^2 + {1\over 9} x^3 z^3 \right)^2.\]
 

Bài 49 (Bulgaria). Cho $a,b,c,d0$ là bốn số thực dương. Chứng minh rằng

\[\frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a \cdot \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a+b+c}{3} \cdot \frac{a+b+c+d}{4}}.\]
 

Bài 25 (Croatia TST). Cho số nguyên $n \geqslant 1$ và $x_1,x_2, \ldots, x_n$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng \[\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right)\left(x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n\right) \leqslant \frac{(n+1)^2}{4n} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2.\]
 

Cập nhật một số bài mới.

Bài 14 (Turkey TST). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2 \leqslant 3.$ Chứng minh rằng
$$(a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a).$$

Bài 15 (Australien MO). Cho $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1.$ Chứng minh rằng
$$\left | a+\frac{a}{b}+b+\frac{b}{a} \right |\geq 2-\sqrt{2}.$$
Bài 16 (Israel Winter Camp). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực bất kỳ. Chứng minh rằng
\[4(a^6+b^6+c^6)+5abc(a^3+b^3+c^3)\geq(ab+ac+bc)^3.\]

13)(koreanMO2016 ngày2 )cho $x,y,z$ là số thực thỏa $x^2+y^2+z^2=1$, tìm max $$P=(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$$

Cho $x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=-\frac{1}{\sqrt{2}},z=0$ thì $P = \frac{1}{8}$ do đó nếu ta chứng minh được

\[8(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy) \leqslant (x^2+y^2+z^2)^3,\]

thì $\frac{1}{8}$ chính là giá trị lớn nhất cần tìm.

Ta thấy rằng rằng trong ba số $x^2-yz,y^2-zx,z^2-xy$ sẽ có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử $(x^2-yz)(y^2-zx) \geqslant 0,$ khi đó

• Nếu $z^2-xy \leqslant 0$ thì \[8(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy) \leqslant 0 \leqslant  (x^2+y^2+z^2)^3.\]
• Nếu $z^2-xy \geqslant 0$ theo bất đẳng thức AM-GM, ta được \[4(x^2-yz)(y^2-zx) \leqslant (x^2-yz+y^2-zx)^2.\] Cho nên ta chỉ cần chỉ ra \[(x^2+y^2+z^2)^3 \geqslant 2(x^2-yz+y^2-zx)^2(z^2-xy),\] thu gọn thành \[\left [2(x^2+y^2)(z^2-xy)+(x^2+y^2+z^2)(x+y-z)^2 \right ](x+y+z)^2 \geqslant 0.\] Hiển nhiên đúng.

Từ đó dẫn đến kết luận của bài toán.

Bài này đề gốc là tìm cả min cả max chứ anh?

Cám ơn em, anh đã cập nhật.

p.s nhờ anh huyện sửa bài em thành latex nha em dùng dtdd nên ko viết latex dc

Anh không phải DHV nên không có quyền can thiệp vào bài viết của các thành viên khác nhưng em cứ viết bằng di động khi nào online bằng điện thoại thì em vào bài của mình để sửa lại cũng được chứ nhỉ.

Bạn Huyện cho mình hỏi là bài này có ký hiệu $a_{n+1}=a_1$ và $b_{n+1}=b_1$ không vậy ?

Đề gốc mình không thấy có ký hiệu này.

Bài 16 (Israel Winter Camp). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực bất kỳ. Chứng minh rằng

\[4(a^6+b^6+c^6)+5abc(a^3+b^3+c^3)\geq(ab+ac+bc)^3.\]

Đặt $p=a+b+c,\,q=ab+bc+ca$ và $r=abc$ khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
\[27r^2+(29p^3-63pq)r+4p^6-24p^4q+36p^2q^2-9q^3 \geqslant 0. \quad (1)\]
Giả sử $p=3$ và đặt $q=3-3t^2\;(0 \leqslant t < 1)$ thì $(1)$ tương đương với
\[r^2+(21t^2+8)r+9t^6+81t^4+27t^2-9 \geqslant 0.\]
Đặt \[f(r) = r^2+(21t^2+8)r+9t^6+81t^4+27t^2-9,\] ta sẽ chứng minh $f(r) \geqslant 0.$

Thật vậy nếu $0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{2}$ thì do $r \geqslant (1-2t)(1+t)^2 \geqslant 0$ cho nên
\[f(r) \geqslant f[(1-2t)(1+t)^2] = t^2(13t^4-30t^3+27t^2-20t+18).\]
Lại đặt
\[f(t) = 13t^4-30t^3+27t^2-20t+18.\]
Ta có
\[f^{'}(t) = 2(26t^3-45t^2+27t-10),\]
nên
\[f^{'}(t) = 0 \Leftrightarrow  t_0 = \frac{15}{26}+\frac{1}{26}\left ( \sqrt[3]{1490+13\sqrt{13141}}-\frac{9}{\sqrt[3]{1490+13\sqrt{13141}}} \right ).\]
Suy ra
\[f(t) \geqslant \left \{ f(0),\,f(t_0),\,f\left(\frac{1}{2}\right) \right \} = f(t_0) > 0.\]
Còn nếu $\frac{1}{2} \leqslant t < 1,$ thì
\[f(r) > 9t^6+81t^4+27t^2-9 > 9\left ( \frac{1}{2} \right )^6+81\left ( \frac{1}{2} \right )^4+27\left ( \frac{1}{2} \right )^2-9 = \frac{189}{64} > 0.\]
Vậy $f(r) > 0.$ Bài toán được chứng minh.

 Bài này quen thuộc

Bất đẳng thức này đúng là quen thuộc, có thể tham khảo thêm đề Việt Nam MO 1998.

Bài 19 (Cyprus TST). Giả sử $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$ và thỏa mãn điều kiện
$$a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\ge 4\sqrt{a^2+b^2+c^2},$$
Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác vuông.
 

Bài 27 (Iran Second Round). Cho ba số thực $0<a \leqslant b \leqslant c.$ Chứng minh rằng
$$\frac{(c-a)^2}{6c}\leq \frac{a+b+c}{3}-\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.$$
 

Bài 22 (China Zhejiang High School Mathematics Competition). Cho ba số nguyên $a, b, c $ khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $4(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2.$
 

Bài 20 (China Mathematical Olympiad). Cho $a_1,a_2,\ldots, a_{31},\,b_1,b_2, \ldots, b_{31}$ là các số nguyên dương thỏa mãn
$$a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leqslant 2015,\; b_1< b_2<\cdots<b_{31} \leqslant 2015,$$

và

$$a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}.$$
Tìm giá trị lớn nhất của $S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.$

Bài 28 (Russia). Cho bốn số thực dương $a, b, c, d$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c+d=3.$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\le\frac{1}{a^2b^2c^2d^2},$$

và
$$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\le\frac{1}{a^3b^3c^3d^3}.$$