cho (O;R) đường kính BC. A là điểm nằm chính giữa cung BC. D di động trên cung AC, AD cắt BC tại E. Xác định vị trí của điểm D để 2AO+AE nhỏ nhất
Ta có:
Vì E nằm ngoài (O) nên 2AO+AE>= 2AO+ AC
Dấu bằng xảy ra khi D trùng C
Có 599 mục bởi Khoa Linh (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)
Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-07-2018 - 21:11 trong Tổ hợp và rời rạc
Bốn người chơi bài Tây 52 quân, chia đều cho bốn người. Tính xác xuất để một hoặc nhiều người có bộ tứ.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 08-02-2018 - 22:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 3:
Từ GT => 6/bc +3/ac +2/ab=1
Đặt 1/a=x; 2/b=y; 3/c=z
=> xy+yz+zx=1
Thay x,y,z vào B ta có:
$B=\sum \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=\sum \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\sum \sqrt{\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}}\leq \sum \left ( \frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}}{2} \right )=3/2$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 08-02-2018 - 22:02 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 2 dễ mà bạn
a^3+b^3+c^3>=3abc
b^3+c^3+d^3>=3bcd
c^3+d^3+a^3>=3cda
d^3+a^3+b^3>=3dab
=> a^3+b^3+c^3+d^3>=(abc+bcd+cda+dab)=1
Suy ra min P=9
Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-01-2018 - 01:04 trong Tài liệu - Đề thi
Tạp chí Apollonius số 2
Trong số này có bài số học mà anh Tea coffee đã giải và mình trích dẫn lại
và có một bài hình rất hay IMO 2012 mình đã cho vào đây
Mong mọi người ủng hộ
Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-01-2018 - 12:26 trong Tài liệu - Đề thi
https://diendantoanh...g-a2b2c2leq-14/
Bạn cho mình biết mình sai chỗ nào được không?
cho em xin lỗi anh nhé
Em chưa đọc kĩ nên nhầm một chút
Đã gửi bởi Khoa Linh on 28-01-2018 - 23:46 trong Tài liệu - Đề thi
Tạp chí Apollonius số 3
Đã gửi bởi Khoa Linh on 15-01-2018 - 12:29 trong Tài liệu - Đề thi
Đây là tạp chí do mình và bạn của mình làm nên. Tạp chí Apollonius phù hợp với kiến thức THCS, các bài toán cũng đã được chọn lọc. Mỗi khi mình rảnh thì mình sẽ tiếp tục làm tạp chí này.
Mọi ý kiến đóng góp & các bài toán hay xin gửi về địa chỉ Email: [email protected]
Nếu các bạn thấy hay thì hãy like và ủng hộ mình
Đã gửi bởi Khoa Linh on 31-01-2018 - 06:32 trong Hình học
Cho tứ giác ABCD có AB.CD+AD.BC=AC.BD .Cm tứ giác ABCD nội tiếp
Đây là hệ quả BĐT Potoleme
Bạn tham khảo tại đây
Đã gửi bởi Khoa Linh on 14-04-2018 - 14:24 trong Số học
Tìm số nguyên tố p và q: p^2 - 5q^2 = 4
Ta có:
$p^2=5q^2+4$ chia 5 dư 4 suy ra $p=5k+2(k\in \mathbb{N}^*)$
Ta có:
$(5k+2)^2=5q^2+4\Leftrightarrow 5k^2+4k=q^2\Rightarrow q^2\vdots k$
Mặt khác q là số nguyên tố và $q>k$ nên $k=1$. Thay vào ta được $p=7,q=3$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 26-04-2018 - 19:47 trong Hình học
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. N di động trên tiếp tuyến tại B của (O). Kẻ tiếp tuyến NM với đường tròn.
a) Tìm quỹ tích điểm P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB
b) Tìm quỹ tích điểm Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNB.
a,Vì tứ giác $NMOB$ nội tiếp nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNB$ hay của tứ giác $NMOB$ là trung điểm $NO$
Suy ra quỹ tích điểm $P$ là trung trực đoạn OB
b, Gọi $I$ là giao của $ON$ với cung nhỏ $MB$. Ta có:
$\widehat{IBN}=\widehat{IMB}=\widehat{IBM}\Rightarrow$ $I$ là tâm đường trong nội tiếp tam giác $MNB$.
Suy ra quỹ tích điểm $Q$ là đường tròn $(O)$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 26-06-2019 - 19:30 trong Hình học
Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp. Một điểm $D$ di chuyển trên $(O)$ sao cho $AD$ không là đường kính của $(O)$. Điểm $E$ nằm trên $BC$ sao cho $\widehat{ADE}=90^o$. Trung trực của $DE$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $X, Y$. Tìm quỹ tích của trọng tâm $\triangle AXY$ khi $D$ di chuyển.
Kẻ đường kính $AD'$ của $(O)$, khi đó $D,D',E$ thẳng hàng.
Lấy $Y'$ trên $AC$ sao cho $Y'E=Y'C$, do tam giác $ABC$ cân nên $YE||AB$.
Ta có $\angle EDC=\angle D'AC=\frac{1}{2} \angle EY'C$ suy ra $Y'$ là tâm $(DEC)$ nên $Y' $ trùng $ Y$ và ta có $YE=YC$.
Tương tự $XE=XB$. Suy ra $AXEY$ là hình bình hành nên $A,G,E$ thẳng hàng, hơn nữa $AE=3AG$.
$D$ di chuyển trên $(O)$, $E$ di chuyển trên $BC$ thì $G$ sẽ di chuyển trên đường thẳng song song với $BC$. (dùng phép vị tự tỉ số $\frac{1}{3}$ hoặc làm theo cách cấp 2 cũng được).
Đã gửi bởi Khoa Linh on 30-05-2018 - 23:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho $x+1>y$ và $xy\geq 4$
tìm min ĐẬU =$\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}$
Ta có:
$A=\frac{x^2+y^2}{x+1-y}=\frac{\left [(x-y)^2-1 \right ]+2xy+1}{x+1-y}\geq x-y+1+\frac{9}{x+1-y}-2\geq 4$
Dấu bằng xảy ra khi $x=1+\sqrt{5};y=-1+\sqrt{5}$ hoặc $x=1-\sqrt{5};y=-1-\sqrt{5}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 30-05-2018 - 19:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
vs a,b >0 tm $2b-ab-4\geq 0$
tìm min T= $\frac{a^{2}+2b^{2}}{ab}$
Ta có:
$2b \geq ab+4\Leftrightarrow 2 \geq a+\frac{4}{b}\geq 2\sqrt{\frac{4a}{b}}\Leftrightarrow b \geq 4a$
Ta có:
$T=\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}=\frac{a}{b}+\frac{b}{16a}+\frac{31b}{16a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{16a}}+\frac{31.4a}{16a}=\frac{33}{4}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 06-04-2018 - 21:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y t/m $x^2+y^2=4$
Tìm min của $P=\frac{xy}{x+y+2}$
Đặt $x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t^2-4}{2}$
Ta có:
$P=\frac{1}{2}.\frac{t^2-4}{t+2}=\frac{1}{2}.(t-2)$
mà $t^2=(x+y)^2\leq 2(x^2=y^2)=8\Rightarrow -\sqrt{8}\leq t\leq \sqrt{8}$
Suy ra $P\geq -\sqrt{2}-1$
Dấu bằng khi $x=y=-\sqrt{2}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 06-04-2018 - 21:43 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bạn giải giùm mk cách THCS đk ko?
Cách trên là cách THCS không có gì cao siêu cả
Kí hiệu: $\sum$ là chỉ tổng các đối xứng hoặc hoán vị, bạn chỉ mất 5 phút tra mạng để hiểu
Thay vì viết $a+b+c$ thì ta viết $\sum_{sym}^{a,b,c}a$ sẽ gọn hơn rất nhiều
Nhiều bài lằng nhằng nhiều biến thì viết kiểu kia thì rất khó chịu và mất thời gian. Bạn học kí hiệu này dần đi nhé
Đã gửi bởi Khoa Linh on 28-12-2017 - 21:32 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho hai số a, b thoả mãn ab+ a+b = 8
Tìm min a²+b² ?
Ta có:
$a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab$
$a^2+4\geq 4a$
$b^2+4\geq 4b$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2)+8\geq 4(ab+a+b)=32\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 8$
Vậy min a^2+b^2=8 khi và chỉ khi a=b=2
Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-06-2018 - 21:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x y z >0 và x+y+z=1 Tìm max P=$\sum \sqrt{x+yz}$
$\sum \sqrt{x+yz}=\sum \sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \sum \frac{x+y+x+z}{2}=2(x+y+z)=2$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 10-03-2018 - 12:19 trong Toán rời rạc
Trong 100 số tự nhiên liên tiếp hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên tố. Lí do ?
Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2019 - 23:30 trong Hình học
Gọi $L$ là giao điểm của $CH$ và $DK$.
Ta có $\angle CBD=\angle CBA+\angle DBA=\angle LCA+\angle LDA=180^{\circ}-\angle CLD$ hay $B \in (LCD)$.
Gọi $X$ là giao điểm của $HK$ với $CD$, theo đường thẳng Simson thì ta có $BX \perp CD$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $J$ là điểm bất kì trên cung $BD$ không chứa $A$ của $(O_2)$.
Ta có:
$\angle KXD=\angle KBD=90^{\circ}-\angle KDB=90^{\circ}-\angle DJB=90^{\circ}-\angle XAB=\angle XBA=\angle MXB$.
Suy ra $\angle MXK=\angle AXB=90^{\circ}$, hay ta có $HK$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ cố định (đpcm).
P/S: Mình đã rất bực khi gõ bài này, vừa gõ tử tế xong thì diễn đàn sập tuy vậy mình vẫn gõ lại bởi vì cái tên Sugar vẫn luôn đặc biệt với mình. Mong bạn hiểu bài giải này.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 23-06-2018 - 14:13 trong Hình học
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BK cắt đường phân giác trong CD tại I. Chứng minh rằng:
IC/ID-AB/BC=1
Đề đúng phải là: $\frac{IC}{ID}-\frac{AC}{BC}=1$
Điều cần chứng minh tương đương với: $\frac{IC}{ID}=1+\frac{AC}{BC}=1+\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{BD}$
Hệ thức cuối cùng đúng vì theo Menelaus trong $\triangle ADC$ thì ta có: $\frac{CK}{AK}.\frac{AB}{BD}.\frac{DI}{CI}=1\Leftrightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{CI}{DI}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2018 - 10:25 trong Hình học
Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Vẽ hình chữ nhật AHCK, HI vuông góc với AC tại I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của IC và AK. Chứng minh MN vuông góc với BI
Kẻ $MP \perp AH$ cắt $HI$ tại $Q$.
Ta có: $MQ=\frac{HC}{2}=\frac{AK}{2}=AN$ mà $MQ ||HC||AN$ nên ANMQ là hình bình hành
Suy ra: $AQ ||MN$. Vì $Q$ là trực tâm tam giác $AHM$ nên $AQ \perp MH$ $\Rightarrow MN \perp MH\Rightarrow MN\perp BI$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học