Đến nội dung

LePhuoc87 nội dung

Có 5 mục bởi LePhuoc87 (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#700078 Đề Thi VMO năm 2018

Đã gửi bởi LePhuoc87 on 11-01-2018 - 13:59 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

 https://www.facebook...&type=3




#673042 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi LePhuoc87 on 28-02-2017 - 21:54 trong Hình học

Lời giải bài 179.
Gọi $K$ là trực tâm $\Delta AEF \Rightarrow K \in AO.$
Gọi $M$ là giao điểm của $AO$ và $EF.$ Do $\Delta AEF \sim \Delta ABC$ nên $\frac{AK}{AM}=\frac{AH}{AD} \Rightarrow HK \parallel MD.$
$EHFK$ là hình bình hành $\Rightarrow EF,HK$ có chung trung điểm $I.$
Dễ thấy $H$ là trực tâm $\Delta INP \Rightarrow IH \perp NP \Rightarrow MD \perp NP.$
Do $\frac{ME}{MF}= \frac{DB}{DC}$ nên suy ra $NP$ đi qua trung điểm $J$ của $MD,$ theo bổ đề ERIQ.
$\Rightarrow NP$ là trung trực $MD \Rightarrow \Delta MNP= \Delta DNP.$
Gọi $L$ là trung điểm BC $\Rightarrow H,N,P,D,L$ cùng thuộc đường tròn đường kính $HL.$
Suy ra $\widehat{DNP}=\widehat{DHP}=\widehat{ABC},\widehat{DPN}=\widehat{DHB}=\widehat{ACB} \Rightarrow \Delta DNP \sim \Delta ABC,$ đpcm. 



#673189 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi LePhuoc87 on 02-03-2017 - 00:02 trong Hình học

Lời giải bài toán 184.

Xem tại đây.




#673465 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi LePhuoc87 on 05-03-2017 - 00:38 trong Hình học

Lời giải bài 186:

Để ý là $H$ là tâm nội tiếp $\Delta DEF$ nên ta đưa bài toán ban đầu về bài toán tương đương sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),(I)$ nội tiếp $\Delta ABC$ và tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F.$ Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI$ cắt $IC$ tại $P.$
Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BPC$ thuộc $AD.$
Lời giải: 
Gọi $M$ là trung điểm $BC,J$ là giao điểm của $AD$ và trung trực $BC.AI$ cắt $(O)$ tại $T.K, L$ là hình chiếu của $T$ lên $AC, AB.$
Ta có: $AK=AL,BL=CK \Rightarrow AK=AL= \frac{AB+AC}{2} \Rightarrow CK= \frac{AC-AB}{2}=MD.$
Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $IC$ tại $P' \Rightarrow \widehat{KP'C}= \widehat{P'CB}= \widehat{P'CK} \Rightarrow KP'=KC= MD.$
$\Rightarrow DMKP'$ là hình bình hành $\Rightarrow DP' \parallel MK \Rightarrow DP' \perp AI \Rightarrow P' \equiv P. $
Lại có: $\frac{AD}{AJ}= \frac{AI}{AT}= \frac{AE}{AK} \Rightarrow JK \parallel DE \Rightarrow JK \perp IC,$ mà $KP=KC \Rightarrow KJ$ là trung trực $PC.$
Mà $JB=JC \Rightarrow J$ là tâm $(BPC),$ đpcm.

Hình gửi kèm

  • BÀI  186.PNG



#673192 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi LePhuoc87 on 02-03-2017 - 00:44 trong Hình học

Bài toán 185. Cho $(O)$ và $(O')$ ngoài nhau. Gọi $AB$ là tiếp tuyến chung trong của $(O)$ và $(O')$, $A$ thuộc $(O)$, $B$ thuộc $(O')$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy $C$, trên tia đối của $BA$ lấy $D$ sao cho: $AC=BD$. Kẻ tiếp tuyến $CM$ và $DN$ đến $(O')$ ($M, N$ khác $B$). Qua $B$ kẻ đường vuông góc với $OD$ và $OC$ cắt $(O')$ lần lượt tại $E$ và $F$. $EF$ cắt $MN$ tại $K$. Chứng minh $K$ thuộc một đường cố định khi $C, D$ di chuyển.