Đến nội dung

Nhok Tung nội dung

Có 219 mục bởi Nhok Tung (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#719329 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Đã gửi bởi Nhok Tung on 11-01-2019 - 11:40 trong Tài liệu - Đề thi

Bài 2:

1. Giả sử a, b đều không chia hết cho 3, khi đó $a^{2},b^{2}\equiv 1(mod 3)\rightarrow ab\equiv 2(mod3)$

Do a, b bình đẳng nên có thể giả sử a = 3k + 2, b = 3p + 1 (k, p $\epsilon$ N).

Thay vào pt ban đầu ta được $[(3k+2)^{2}-(3k+2)(3p+1)+(3p+1)^{2}]\vdots 9 \Leftrightarrow (9k+3) \vdots 9$ (Vô lí)

Vậy ta có đpcm.

2. Do $9^{n}+11$ không chia hết cho 3, mà tích của k số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho k nên $k\leq 2$ => k = 2

Giả sử $(9^{n}+11)=m(m+1)\Leftrightarrow m^{2}+m-(9^{n}+11)=0$

$\Delta =1+4(9^{n}+11)=(2.3^{n})^{2}+45=t^{2}\rightarrow (t-2.3^{n})(t+2.3^{n})=45=1.45=3.15=5.9$

Đến đây tìm được n = 1 thỏa mãn đề bài.




#715304 giải phương trình$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 08-09-2018 - 08:24 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$

Đặt $\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x^{3}+6}}=y, \sqrt[3]{x^{3}+6}=z$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-6=y\\ y^{3}-6=z\\ z^{3}-6=x\end{matrix}\right.$

Xét $f(x)=x^{3}-6,f'(x)=3x^{2}\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow f(f(z))\geq f(f(x))\Leftrightarrow z\geq x!$

Suy ra $x=y=z\Rightarrow x^{3}-x-6=0\Leftrightarrow x=2.$

Thử lại, t/m




#715300 giải phương trình $2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\s...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 08-09-2018 - 01:08 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

$2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\sqrt{x^2+8x}+24=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+8x}-3)(\sqrt{x^{2}+8x}-x-4)=0 \Leftrightarrow ...$




#715299 \[\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cot xdx} \]

Đã gửi bởi Nhok Tung on 08-09-2018 - 00:57 trong Giải tích

tinh tich phan \[\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cot xdx} \]

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cotx =\lim_{x\rightarrow 0} (-ln|sinx|)=+\infty$




#699253 Tìm $lim U_{n}$.

Đã gửi bởi Nhok Tung on 31-12-2017 - 16:07 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số (Un) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_{0}=a, U_{1}=b, 0< a,b < 1& \\ U_{n+2}=\frac{1}{3}U_{n+1}+\frac{2}{3}\sqrt{U_{n}}, n=0,1,2,... & \end{matrix}\right.$

Tìm $lim U_{n}$.




#673392 $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 03-03-2017 - 22:54 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM 

Thế này nhé bạn

Áp dụng bđt $4xy\leq (x+y)^{2}$

$4(a^{2}+ab+b^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+2ab+b^{2}+bc+ca)^{2}=(a+b)^{2}(a+b+c)^{2}$




#673264 Chứng minh n^3+2 không chia hết cho 2016

Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-03-2017 - 20:48 trong Số học

Ta có $n^{3}+2\equiv 2(mod4)$ hoặc $n^{3}+2\equiv 3(mod4)$

Mà $2016\equiv 0(mod4)$ => đpcm




#673263 Tìm lim Sn

Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-03-2017 - 20:45 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm lim Sn




#672861 $\left\{\begin{matrix} \frac{x...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-02-2017 - 16:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện $0<x\leq 2\pi$ ; $0<y\leq 2\pi$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+sinx=m & \\ \frac{y}{x}+siny=m & \end{matrix}\right.$




#672856 Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-02-2017 - 16:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?

BĐT Bunyakovsky đó ạ




#672034 Tính $lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 23:34 trong Dãy số - Giới hạn

Tính $lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$

$lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$ 

=$\lim n[\sqrt{n^{2}+n}-(n+\frac{1}{2})]}

-\sqrt[3]{n^{3}+n}[\sqrt{n^{2}+n+1}-(n+\frac{1}{2})]

-(n+\frac{1}{2})(\sqrt[3]{n^{3}+n}-n)$

= $\lim\left [ \frac{-0,25n}{\sqrt{n^{2}+n}+n+0,5}-\frac{0,75\sqrt[3]{n^{3}+n}}{\sqrt{n^{2}+n+1}+n+0,5}-\frac{n^{2}+0,5n}{\sqrt[3]{(n^{3}+n)^{2}}+n\sqrt[3]{n^{3}+n}+n^{2}} \right ]$

= $\frac{-0,25}{2}-\frac{0,75}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-5}{6}$




#672032 CM $4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqr...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 23:11 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z>0$. CM

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Ta có BĐT quen thuộc $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$

Do đó $4(xy+yz+xz)\leq \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$

Ta chứng minh $\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$ $\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}) \Leftrightarrow 9\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq (x+y+y+z+z+x)(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$ (Luôn đúng theo BĐT AM-GM)

Từ đó suy ra đpcm




#672030 Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 22:58 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$

Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$

Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)

Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)

Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh

Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1




#671873 $U_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 17-02-2017 - 14:29 trong Dãy số - Giới hạn

Chứng minh rằng dãy số $U_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$  $(n\geq 1)$ không có giới hạn




#671872 CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 17-02-2017 - 14:26 trong Dãy số - Giới hạn

Cho a,b,c là 3 hằng số, $\left ( U_{n} \right )$ xác định: $U_{n}= a.\sqrt{n+1} + b.\sqrt{n+2} + c.\sqrt{n+3} \forall n\geq 1$

CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$\frac{U_{n}}{\sqrt{n+1}}=a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}}$

Do đó nếu $limUn=0\Rightarrow lim(a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}})=0\Rightarrow a+b+c=0$

Ngược lại, nếu a + b+ c = 0 => a = -b - c

$U_{n}=b(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+c(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) =\frac{b}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}+\frac{2c}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}} \Rightarrow LimU_{n}=0$




#670109 cho a, b, c là độ dài 3 cạn của 1 tam giác

Đã gửi bởi Nhok Tung on 27-01-2017 - 10:08 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho a, b, c là độ dài 3 cạn của 1 tam giác. CMR : $\frac{a}{b + c- a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM:

VT $\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$

Lại có $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$ => đpcm




#670107 cho x, y thỏa mãn $x^{2} + 4y^{2} = 25$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 27-01-2017 - 10:04 trong Đại số

cho x, y thỏa mãn $x^{2} + 4y^{2} = 25$. tìm GTLN và GTNN của x + 2y

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có :

$(x+2y)^{2}\leq 2.(x^{2}+4y^{2})=50 \rightarrow -5\sqrt{2}\leq x+2y\leq 5\sqrt{2}$

KL : ...




#670105 Tìm $Lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 27-01-2017 - 09:56 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số {xk} xác định bởi : xk = $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k}{(k+1)!}$ $(k\geq 1)$

Tìm $Lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+..+x_{2012}^{n}}$




#668707 $\begin{cases} x+y+z=\frac{3}{xyz} \\ \sqrt{x}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 17-01-2017 - 20:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+z=\frac{3}{xyz} & \\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} = 3 & \end{matrix}\right.$

ĐK x,y,x >0

Từ (PT1) ta có :

$3=xyz(x+y+z)\Leftrightarrow 81=3\sqrt{xy}.3\sqrt{yz}.3\sqrt{xz}(x+y+z)\leq \left [ \frac{3\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}+x+y+z}{4} \right ]^{4} \Leftrightarrow 81\leq \left [ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right ]^{4}\Leftrightarrow 81\leq \left ( \frac{9+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right )^{4} \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq 3$ (1)

Từ (PT2) có :

$9=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\geq 3(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}) \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq 3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x = y = z = 1 là nghiệm của hệ pt




#668545 $(p-1)^{n}+1$ chia hết cho $n^{p-1}$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-01-2017 - 17:49 trong Số học

Tìm tất cả các số nguyên dương n và số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n\leq 2p$ và $(p-1)^{n}+1$ chia hết cho $n^{p-1}$




#668543 $P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-01-2017 - 17:44 trong Hàm số - Đạo hàm

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn :

$P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$




#663866 Giải phương trình $\left( {x - 1} \right)\sqrt...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 05-12-2016 - 18:18 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Nhờ anh chị hướng dẫn giúp e 2 bài pt căn lớp 10:

1/ $\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  + x\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  = 0$

 

PT <=> $x\sqrt{x^{2}-2x+10}=(1-x)\sqrt{x^{2}+4} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ x^{2}[(x-1)^{2}+9]=(1-x)^{2}(x^{2}+4) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ 9x^{2}=4(1-x)^{2} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}$




#663865 Chứng minh $\sqrt{ab},\sqrt{bc},\sqrt...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 05-12-2016 - 18:06 trong Hình học

Cho tam giác ABC có AB=c, CA=b,BC =a và min(A,B,C)= 150. Chứng minh $\sqrt{ab},\sqrt{bc},\sqrt{ca}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.




#654203 $\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 14-09-2016 - 20:48 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Giải phương trình :

$\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$

Dễ thấy nếu x < 0 thì pt vô nghiệm, xét x > 0 :

PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-2x+4}-(x+1)+\sqrt{5x^{2}+4}-(2x+1)+x^{2}-4x+3=0$

<=> $(x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+4}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+4}+2x+1}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc x = 3




#650869 Chứng minh luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009

Đã gửi bởi Nhok Tung on 22-08-2016 - 22:04 trong Tổ hợp và rời rạc

Cho 2017 điểm thỏa mãn trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm sao cho đoạn thẳng tạo bởi chúng có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 các điểm cho trên.