Đến nội dung

xuantrandong nội dung

Có 45 mục bởi xuantrandong (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#613527 Tìm GTNN của P = xy + y(z - 1) + z(x - 2)

Đã gửi bởi xuantrandong on 07-02-2016 - 16:53 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1 : Cho $x, y, z$ là các số thỏa mãn $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 \leq 2010$. Tìm GTNN của biểu thức $P = xy + y(z - 1) + z(x - 2)$

Bài 2 : Cho $a, b, c, d, e > 0$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c + d + e = 4$. Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b)}{abcde}$




#627194 Chứng minh $ST$ đi qua điểm cố định

Đã gửi bởi xuantrandong on 15-04-2016 - 00:23 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A. P$ là điểm di chuyển trên $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.
Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua iểm cố định khi $P$ di chuyển.



#627196 Chứng minh $DX,EY,FZ$ đồng quy

Đã gửi bởi xuantrandong on 15-04-2016 - 00:26 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$, đường cao $AD,BE,CF, N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF. OA$ cắt $EF$ tại $N_a. M_a$ là trung điểm $BC. AN$ cắt $M_aN_a$ tại $X$. Tương tự có $Y, Z$.
Chứng minh rằng $DX,EY, FZ$ đồng quy trên đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$.



#627950 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân khi biết điều kiện cho trước

Đã gửi bởi xuantrandong on 18-04-2016 - 15:45 trong Giải tích

Bài này mình giải ra nhưng mà kết quả lại sai, mình cũng ko biết sai chỗ nào hết. Mong các bạn giúp đỡ!

File gửi kèm




#629302 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối 10 khu vực DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ n...

Đã gửi bởi xuantrandong on 24-04-2016 - 11:38 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

giai thich cho minh cho nay dc k

 

 

Gọi $A_1$ là phần tử có nhiều nhất trong $64$ tập con và $a_1$ là số tập con chứa $A_1$, ta có:

$a_1\geq \frac{64.1008}{2016}=32$




#629452 Chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$

Đã gửi bởi xuantrandong on 24-04-2016 - 23:06 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F.$ Hạ $DK\perp EF$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$.

 

Mình sử dụng $Anti steiner$ và vị tự nhưng thấy khá phức tạp! Mọi người ai có ý kiến gì thì đóng góp nhé!




#629453 $EF$ chia đôi $CD$

Đã gửi bởi xuantrandong on 24-04-2016 - 23:09 trong Hình học

Gọi $N$ là trung điểm $AB$. Ta chứng minh $EF$ là đường đối trung của tam giác $EAB$.

Thật vậy dễ dàng chứng minh được $AP$ và $BQ$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $F$ nên $EF$ là đường đối trung của tam giác $EAB$.

Vậy $EF$ đi qua trung điểm $CD.\blacksquare$




#629455 Chứng minh $O$ nằm trên $MN$

Đã gửi bởi xuantrandong on 24-04-2016 - 23:13 trong Hình học

Kẻ đường kính $BB'$ và $CC'$, sau đó áp dụng định lí $Pascal$. 




#629983 Chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$

Đã gửi bởi xuantrandong on 28-04-2016 - 12:41 trong Hình học

Mình cũng sử dụng bổ đề $2$ của bạn, mình chứng minh nó bằng phép vị tự. 

Kẻ đường kính $AM$. 

Để ý nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $\odot (O)$ tại điểm $X$ thì theo bổ đề $2$: $X,K,I,M$ thẳng hàng tức là $XM,EF$ cắt nhau tại $K$. 

Lấy $I'$ đối xứng với $I$ qua $EF$ thì $I'$ là trực tâm tam giác $AEF$.

Áp dụng định lí về điểm $Anti steiner$ dễ chứng minh được $X$ chính là điểm $Anti steiner$ đối với đường thẳng $HI'$ của tam giác $AEF$ nên $HI',EF$ và $XM$ từ đó nhận thấy $HI',EF$ và $XM$ đồng quy tại $K$. 

Do 2 đường thẳng $HI'$ và $XM$ đối xứng nhau qua $EF$ (theo $Anti steiner$) nên $KD $là phân giác $\angle IKH$

Bài toán được chứng minh.




#630516 Chứng minh $AH$ và $AI$ đẳng giác

Đã gửi bởi xuantrandong on 01-05-2016 - 12:35 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nhọn. đường tròn $(K)$ qua $B$ và $C$ cắt $AC$ và $AB$ tại $E$ và $F.BE$ cắt $CF$ tại $G.AG$ cắt $BC$ tại $P$. Hạ $PH$ vuông góc $EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KEF$ cắt đường trung trực $BC$ tại điểm thứ $2$ là $I$. Chứng minh $AH$ và $AI$ là $2$ đường đẳng giác $\angle A$. 




#630522 Chứng minh $(MPQ) $ tiếp xúc 1 đường tròn cố định

Đã gửi bởi xuantrandong on 01-05-2016 - 13:35 trong Hình học

Gọi $G$ và $G'$ là điểm chính giữa cung lớn $BAC$ và cung nhỏ $BAC$

$N'$ đối xứng với $N$ qua $G$

$ND$ cắt $\odot (BIC)$ tại $H$.

Ta sẽ chứng minh $\odot (MPQ)$ tiếp xúc với đường tròn $\odot (BIC)$ tại $H$.

Dễ chứng minh $GB$ và $GC$ là tiếp tuyến của $\odot (BIC)$ nên $GP.GQ= GB^{2} = GN.GH= GN'.GH\Rightarrow $ tứ giác $N'PHQ$ nội tiếp $\Rightarrow MPHQ$ nội tiếp $\Rightarrow \odot (BIC)$ và $\odot (MPQ)$ có điểm chung $H$.

Ta sẽ chứng minh tiếp tuyến tại $H,N$ của $\odot (BIC), BC$ và $AG$ đồng quy.

Trước tiên dễ thấy $BNCH$ điều hòa nên tiếp tuyến tại $N, P$ và $BC$ đồng quy.

Dễ chứng minh $AG', GD$ và $BC$ đồng quy

$\Rightarrow G$ là cực của đường thằng $AG$ với $\odot (BIC)$ mà $\overline{N,L,H}$ nên tiếp tuyến tại $N,H$ và $AG$ đồng quy. 

Vậy $4$ đường thẳng $AG, BC,$ tiếp tuyến tại $N$ và $H$ của $\odot (BIC)$ đồng quy tại điểm $J.$

Ta có: $JH^{2}= JB.JC= JA.JG= JP.JQ$ nên $JH$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $\odot (MPHQ)$ 

Vậy $\odot (BIC)$ và $\odot (MPHQ)$ có chung tiếp tuyến $JH$ nên $\odot (BIC)$ tiếp xúc $\odot (MPQ)$.

Ta có điều phải chứng minh.




#631146 Chứng minh $HM\perp PQ$

Đã gửi bởi xuantrandong on 04-05-2016 - 09:35 trong Hình học

Cho $\Delta ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm. Gọi $P$ và $Q$ là hai điểm bất kì tương ứng thuộc cạnh $AB$ và $AC$. Dựng $\Delta MBC$ đồng dạng với $\Delta HPQ$ . Chứng minh $HM\perp PQ$.




#631321 $X,Y,Z$ thẳng hàng

Đã gửi bởi xuantrandong on 05-05-2016 - 01:00 trong Hình học

Mình chỉ mới chứng minh được trong trường hợp $M,N,P$ là trung điểm của $BC,CA,AB$

Mình giải như sau:

Gọi

 $\odot (I)$  là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

$\odot (I')$ là đường tròn nội tiếp $\Delta MNP$ 

$V$ là tiếp điểm của $\odot (I')$ và $NP$

$Q$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\angle A$ và $BC$

$D$ là tiếp điểm của $\odot (I)$ và $BC$

$T$ là giao điểm của $AQ$ và $\odot (I)$ thì dễ chứng minh được $MT$ là tiếp tuyến của  $\odot (I)$

Do $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta MNP$ nên:

$\frac{VN}{VP} = \frac{DB}{DC} =\frac{QC}{QB}$ nên $A$, $V$, $Q$ thẳng hàng

suy ra bốn điểm $A,V,T,Q$ thẳng hàng

ta có $\angle XVT = \angle AVP=\angle AQB=\angle MTQ=\angle VTX$ nên $\Delta XVT$ cân tại $X$ => $XV=XT$

 nên $X$ thuộc trục đẳng phương của  $\odot (I)$ và $\odot (I')$

tương tự $Y$ và $Z$ cũng thuộc trục đẳng phương của   $\odot (I)$ và $\odot (I')$

nên $X, Y, Z$ thẳng hàng

Hình gửi kèm

  • 1.png



#631733 ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2016

Đã gửi bởi xuantrandong on 07-05-2016 - 13:01 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

câu hình ý a khá đơn giản sử dụng $\Delta FIN$ đồng dạng $\Delta IEM$

câu hình b gọi T và H là trung điểm EF và EI, ta có $\Delta FIE$ đồng dạng $\Delta IME$ nên $\Delta FIT$ đồng dạng $\Delta IMH$ nên $\angle FIT = \angle IMH=\angle = \angle MIC =\frac{\angle B}{2}$ nên TI là tiếp tuyến của (L) $=>$  TI là trục đẳng phương của (L) và (K) mà T là trung điểm EF nên dễ suy ra được $EP= FQ$




#631938 ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2016

Đã gửi bởi xuantrandong on 08-05-2016 - 14:43 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

L thuộc đường đối cực của B và M nên BM là đường đối cực của L

=> IL vuông góc BM 

tương tự IK vuông góc CN

ta có đpcm




#632950 Chứng minh $P,B,L,S$ đồng viên

Đã gửi bởi xuantrandong on 13-05-2016 - 21:23 trong Hình học

Đây là lời giải của mình:

Gọi $R$ là giao điểm $HL$ và $BC$. Qua $A$ kẻ đường thằng song song với $BC$ cắt $EF$ và $HL$ tại $Q$ và $U$.

Dễ thẩy $R, E, F, Q$ thằng hàng mà chùm $R(A,H,F,B)=-1$ nên $Q$ là trung điểm $AU$ nên $PQ$ là đường trung trực của $AL$.

$QURP$ là hình bình hành mà $AQ=QU$ nên $AQRP$ là hình bình hành nên $\angle AQF=\angle APC$ nên $\triangle AQF$ đồng dạng $\triangle APC$ mà $\triangle AEF$ đồng dạng $\triangle ABC$ nên $\frac{QE}{EF}=\frac{PB}{BC}$.

Dế chứng minh được $\triangle LEF$ đồng dạng $\triangle LBC$ nên kết hợp điều trên ta có $\Delta LQE$ đồng dạng $\Delta LPB$ suy ra $\Delta LEB$ đồng dạng $\Delta LQP$ nên $LEFQ$ nội tiếp $\Rightarrow \angle LSE=\angle LQE$ nên $\angle LSB=\angle LQR$  

Dễ thấy $LQPR$ là hình thang cân $\Rightarrow \angle LQR=\angle LPR$ vậy $\angle LSB=\angle LPB$ ta có điều phải chứng minh.

Untitled.png

P/s: Mình làm hơi tắt, mấy bạn thông cảm




#633647 Chứng minh $AS$ song song với $BC$

Đã gửi bởi xuantrandong on 17-05-2016 - 15:00 trong Hình học

cho 2 đường tròn $\odot(O)$ và $\odot(O')$ không cắt nhau . gọi $d$ là trục đẳng phương của 2 đường tròn này. 1 đường thẳng bất kì cắt  $\odot(O)$ và $\odot(O')$ lần lượt tại $X,B,Y,C$, $X,B\in (O); Y,C \in (O')$. Gọi $A$ và $T$ là 2 điểm bất kì thuộc $d$. Đường thẳng bất kì qua $T$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$. Đường thẳng bất kì qua $T$ cắt $AX,AY$ lần lượt tại $G,H$. Gọi $S$ là giao điểm của $GF$ và $HE$. Chứng minh $AS$ song song với $BC$

 

 

 

 

cách giải của mình k hay. Mọi người góp ý nha 




#633705 Chứng minh $\overline{E,F,I}$

Đã gửi bởi xuantrandong on 17-05-2016 - 19:19 trong Hình học

để ý $BE$ và $CF$ đi qua trực tâm H ta có thể tổng quát bài toán trên cho 2 điểm đẳng giác

bỏ các giả thiết $O$ và $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm và thay vào đó là 2 điểm liên hợp đẳng giác bất kì 

gọi $D=BC\cap AI$ 

Do $O$ và $F$ là 2 điểm đẳng giác góc $C$ của tam giác $CKB$ nên dễ thấy $OB, FK, CL$ đồng quy tại $U$

gọi $X=FI\cap BU$

Ta có $L(B,I,X,K)=-1$ và $L(B,I,D,K)=-1$ nên $L,X,D$ thẳng hàng nên $X=LD\cap OB$ và $F,X,I$ thẳng hàng

Tương tự gọi $Y=KD\cap OC$ thì ta có $E,Y,I$ thằng hàng

áp dụng định lí Pappus cho 6 điểm $L,O,K,B,D,C$ ta có $X,I,Y$ thẳng hàng => $F,X,I,Y,E$ thẳng hàng => $E,F,I$ thẳng hàng

điều ngược lại chứng minh tương tự như trên 

ta có đpcm

 

 

 

 

 

 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#633901 Chứng minh $AS$ song song với $BC$

Đã gửi bởi xuantrandong on 18-05-2016 - 14:55 trong Hình học

Bạn có chắc chắn đúng đề không vậy?  :mellow: Mình vẽ hình thấy đâu có thỏa!  :mellow:

attachicon.gifPost 148.png

xin lỗi bạn, mình vừa sửa lại đề




#635957 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi xuantrandong on 27-05-2016 - 15:42 trong Hình học

$\boxed{\text{Lời giải bài toán 8}}$ 

 

Gọi $N,M$ là giao điểm của $O_{1}O_{2}$ với $ O_{1}$ và $O_{2}$ như hình trên, $H$ là giao điểm thứ 2 của $O_{1}P$ và  $(O_{2})$, $G$ là giao điểm thứ 2 của  $O_{2}P$ và  $(O_{1})$

ta sẽ chứng minh $EM,FN$ và $AB$ đồng quy

ta có $(O_{2}PFG)=(O_{1}PEH)=-1$ nên $EF, GH, O_{1}O_{2}$ đồng quy tại $Y$

Gọi $I$ là điểm sao cho $(IPAB)=-1$ thì $IF,IG$ là tiếp tuyến của $O_{1}$  và $IE,IH$ là tiếp tuyến của $O_{2}$, $I$ thuộc $AB$ là trục đẳng phương của 2 đường tròn nên  $IE=IF=IG=IH$ nên $EFGH$ nội tiếp 

suy ra $EG,FH,O_{1}O_{2}$ đồng quy tại điểm $X$ ( theo định lý Brocard) và $(YXO_{1}O_{2})=-1$ nên $PX, O_{1}F, O_{2}E$ đồng quy.

Áp dụng định lí Ceva để ý $R_{1}^{2}=O_{1}E.O_{1}H $ và $R_{2}^{2}=O_{2}F.O_{2}G$  ta có $\frac{XO_{1}}{XO_{2}}=\frac{O_{1}E}{EP}.\frac{PF}{FO_{2}}=\frac{O_{1}H}{PH}.\frac{GP}{GO_{2}}=\frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}.\frac{GP.O_{2}F}{PH.O_{1}E}=\frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}.\frac{EP.O_{2}F}{FP.O_{1}E}=\frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}.\frac{O_{2}X}{O_{1}X}$

nên $\frac{O_{1}X}{O_{2}X}=\frac{R_{1}}{R_{2}}$ nên $X$ là tâm vị tự trong của 2 đường tròn $\Rightarrow Y$ là tâm vị tự ngoài của 2 đường tròn do $(YXO_{1}O_{2})=-1$ $\Rightarrow $ theo tính chất cơ bản ta có $EFMN$ nội tiếp $\Rightarrow EM,FN,AB$ đồng quy tại tâm đẳng phương $V$ của 3 đường tròn

dễ thấy $EM,FN$  là phân giác $\angle PED$ và  $\angle PFD$ nên $EV, FV$ cũng là phân giác 2 góc này

Từ định lý phân giác ta có điều phải chứng minh.

Post 167.png

$$\begin{array}{| l | l |} \hline Ngockhanh99k48 & 1\\ \hline IHateMath & 1\\ \hline fatcat12345 & 2\\ \hline dogsteven & 2\\ \hline baopbc & 3\\ \hline QuangDuong12011998 & 1\\ \hline xuantrandong & 1\\ \hline\end{array}$$




#636005 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi xuantrandong on 27-05-2016 - 18:01 trong Hình học

Xin lỗi thầy và mọi người, bài toán vừa rồi mình lấy trong tài liệu 111 nice geometry problems của diễn đàn Mathscope. không ngờ lại trùng bài viết của thầy Hùng

Mình xin up lại bài khác:

$\boxed{\text{Bài toán 9}}$

Cho $\triangle ABC$ có trực tâm $H$. $P,Q$ bất kì thuộc cạnh $AB,AC$ dựng điểm M sao cho $\triangle MBC$ đồng dạng $\triangle HPQ$ và $M$ cùng phía với $A$ đối với cạnh $BC$. Chứng minh rằng $MH$ vuông góc $PQ$




#636982 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi xuantrandong on 31-05-2016 - 00:03 trong Hình học

$\boxed{\text{Lời giải bài toán 17}}$

Gọi $X$ và $Y$ là giao điểm của $EF$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

xét phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AX^{2}=AY^{2}=AF.AB=AE.AC$ ta có đường tròn $(A;AX)$ trực giao với đường tròn đường kính $BC$ hay$P_{M,(A;AX)}=MB^{2}=MC^{2}$ 

Gọi $K$ là giao điểm $EF$ và $BC$

Gọi $U$ và $V$ là giao điểm của $MX,MY$ và  $(A;AX)$

Do $(K,D,B,C)=-1$ nên theo $Maclaurin$ ta có $KD.KM=KB.KC=KX.KY$ suy ra $XYMD$ nội tiếp $\Rightarrow \angle DXU=\angle DYV$ 

Do $(K,D,B,C)=-1$ nên theo $Newton$ ta có $MX.MU=MB^{2}=MD.MK$ suy ra $XUDK$ nội tiếp

tương tự $YVDK$ nội tiếp

ta có $\angle DKU=\angle DXU=\angle DYV=\angle DKV$ nên $K,U,V$ thẳng hàng

mà $MF^{2}=MD.MK$ nên $\angle DFM=\angle DKF=\angle DUM$ nên $DMFU$ nội tiếp tương tự $DMEV$ nội tiếp

$\Rightarrow $ đường thằng chứa $K,U,V$ chính là trục đẳng phương của đường tròn $Euler$ và   $(A;AX)$

ta có tâm đường tròn $Euler$, tâm $A'$ của $(BHC)$ và $A$ thằng hàng  nên $AA'$ vuông góc  $UV$

mà $KX.KY=KB.KC= KU.KV$ và $K$ thuộc đương thẳng $UV$ nên $(A;AX)$, đường tròn $Euler$ và đường tròn $(BHC)$ có 2 điểm chung là $U,V$

vậy  $U\equiv P,V\equiv Q$

Áp dụng định lý $Brocard$ cho tứ giác $BECF$ nội tiếp ta có $H$ là trực tâm của tam giác $AKM$, mà $A$ là tâm  $(A;AX)$  nên theo định lý $Brocard$ cho tứ giác nội tiếp $XYPQ$ thì $H$ là giao điểm $XQ,YP\Rightarrow XQ$ đi qua $H$

vậy $MP,QH,EF$ đồng quy tại $X$ ta có đpcm.

Untitled.jpg




#637113 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi xuantrandong on 31-05-2016 - 13:35 trong Hình học

Mình xin đề xuất $\boxed{\text{Bài toán 18}}$

(Sưu tầm) Cho$\Delta ABC$ nhọn. $M$ là một điểm di động trên cạnh $AB$ và $N$ là trung điểm $AC$. Gọi $P,Q$ là hình chiếu của $A$ trên $MC,MN$. Chứng minh rằng khi $M$ di động trên cạnh $AB$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta PQN$ nằm trên một đường thẳng cố định.




#644887 Hai số A=$1978^{n}$ và B=$1978^{n}+2^...

Đã gửi bởi xuantrandong on 14-07-2016 - 08:41 trong Đại số

Cho hai số:

A=$1978^{n}$

B=$1978^{n}+2^{n}$

Chứng minh rằng hai số trên có cùng số chữ số ?




#645125 CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

Đã gửi bởi xuantrandong on 16-07-2016 - 08:43 trong Đại số

1) Cho $a,b\in \mathbb{Z}$, $a,b\neq -1$ thỏa mãn : $\frac{a^{2}-1}{b+1} + \frac{b^{2}-1}{a+1} \in \mathbb{Z}$

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

2) Xét 100 số tự nhiên $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{100}$  thỏa mãn : $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=20$

CMR trong 100 số đó có ít nhất 2 số bằng nhau