Cho $x;y;z$ là $3$ số nguyên dương; nguyên tố cùng nhau và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$.
Hỏi $x+y$ có phải là số chính phương hay không

Giải hệ phương trình sau:

\begin{cases}
& \dfrac{2-a}{a^{3}+a^{2}+a+1}x+\dfrac{a-3}{a^{2}-a+1}y=0 \\
& \dfrac{a^{2}-3a+2}{a^{4}-1}x+\dfrac{2a^{2}-4a-6}{a^{3}+1}y=3
\end{cases}

hì! đề ban đúng rùi đó!

tim số $\overline{abc}$ biết
$\overline{abc}.5= \overline{dab}$

$\overline{abc}.5=\overline{dab}\Leftrightarrow \overline{ab}.50+c.5=d.100+\overline{ab}\Leftrightarrow 49\overline{ab}+c.5=d.100 (1)$.
Ta có: $d.100 \leq 9.100=900 \Leftrightarrow 49\overline{ab}+5c\leq 900 \Leftrightarrow \overline{ab} \leq (900-0):49 \approx 18,4 (2)$.
Mặt khác từ $(1)$ ta có: $d.100 \vdots 5; 5c \vdots 5 \Rightarrow 49.\overline{ab} \vdots 5 \Rightarrow \overline{ab} \vdots 5 (3)$.
Từ $(2); (3)$ suy ra $\overline{ab}={10;15}$.
Nếu $\overline{ab}=10 \Rightarrow 490+5c=100d \Leftrightarrow 98+c=20d$ mà $20d \vdots 10$ nên $c=2; d=5$.
Ta có số $\overline{abc}=102$ (Thỏa mãn).
Nếu $\overline{ab}=15\Rightarrow 735+5c=100d\Leftrightarrow 147+c=20d$ mà $20d \vdots 10$ nên $c=3; d=150:20=7,5$ ( Loại).
Vậy số $\overline{abc}$ cần tìm là : $102$.

mặt khác: $a=2x-b^2$ va` $b=2x-a^2$

Bạn nhầm rùi, phải là:
$a^{2}=2x-b^{2}$ và $b^{2}=2x-a^{2}$

Bài 1:
Cho $a;b;c>0; abc=1$.
CMR: $\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
Bài 2: Cho $a;b;c;d>0 ; c^{2}+d^{2}=(a^{2}+b^{2})^{3}$
CMR: $\dfrac{a^{3}}{c}+\dfrac{b^{3}}{d}\geq 1$

Anh làm đúng rồi chỉ có chỗ:

$\dfrac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}\geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^4}}=1$

Phải thay dấu $\geq$ bằng dấu $=$ vì $c^{2}+d^{2}=(a^{2}+b^{2})^{3}$
hì hì! em đùa mà!

Cho $a;b;c;d$ là $4$ số dương thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng Minh Rằng:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}$

chung minh:
$6\sqrt{x^3y^3}+4\sqrt[4]{x^9y^3}+4\sqrt[4]{y^9x^3}\geq 3x^2y+3xy^2$.

tìm các chữ số a,b khác 0 thỏa mãn:
$a.b.\overline{ab}=\overline{bbb}$

$ab.\overline{ab}=\overline{bbb}\Leftrightarrow ab(10a+b)=111.b\Leftrightarrow 10a^2b+ab^2=111.b\Leftrightarrow 10a^2+ab=111\Leftrightarrow a(10a+b)=111$ ( do $b$ khác 0)
$0\leq a \leq 9; a \in $ ước của 111 $\Rightarrow a={1;3}$.
Nếu $a=1$ thì $10+b=111$ (Loại).
Nếu $a=3$ thì $3(30+b)=111\Leftrightarrow b=7$
Thử lại: $3.7.37=777=111.7$ (đúng)
Vậy 2 chữ số $a;b$ cần tìm là $3;7$.

Problem6: Cho x,y,z, a,b,c là các số thực dương bất kì với x+y+z=1.Chứng minh rằng:
$ax + by + cz + 2\sqrt {\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \le a + b + c$

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $AB<AC$. Đường cao $AH; H\in BC$. Vẽ hình vuông $AHKE$ ($K;E$ thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ $AB$ với $C$).$P$ là giao điểm của $AC$ và $ EK$.Vẽ hình vuông $APQB$. $I$ là giao của $BP$ và $AQ$. CMR:
$H; I; E$ thẳng hàng và $HE\parallel QK$

Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$
chứng minh rằng:
$x^{2}+y^{2}=1$

Cho $3$ đường tròn $\left ( O;R \right );\left ( O^{'};R^{'} \right );\left ( I;r \right )$ tiếp xúc vs đường thẳng $d$ và tiếp xúc đôi một. Giả sử $r$ là bán kính của tâm đường tròn nhỏ.
CMR:
$\dfrac{1}{\sqrt{r}}=\dfrac{1}{\sqrt{R}}+\dfrac{1}{\sqrt{R^{'}}}$

Giải pt sau:
$x^3+3x^2-3. \sqrt[3]{3x+5} =1-3x$

Bài nè làm như sau:
pt <=> $(x+1)^3=2+3\sqrt[3]{3x+5}$
Đặt $\sqrt[3]{3x+5}=y$
Ta có hệ pt $(x+1)^3=2+3y$ và $y^3=2+3(x+1)$
lấy hai pt nè trừ cho nhau =>$x+1=y => (x+1)^3=5+3x <=> x^3+3x^2-4=0 =>x=1;x=-2$

p/s: latex gõ dấu hệ pt như thế nào.mình ko bít

chỉ cần làm như vậy thôi àk hả anh cách này có đúng ko đấy nghi ngờ quá. CÔ em bảo là dài lắm nhưng ko chữa kòn cách của anh thì ngắn wa

ừ mình nhầm mất.sơ suất wa,thông cảm nha!

cho 2 hàm số (P)y= x^{2} và(d) y=mx+2
CMR (P) (d) tại 2 điểm phân biệt A và B
Tìm quĩ tích trung điểm I của AB
giúp em nha

sắp thi cấp 3 hả bạn.
rùi đây pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x^2-mx-2=0
=>Xa+Xb=m
=>Xi=m/2 => quỹ tích của điểm I là đường thẳng (d') :y m/2
Vậy đó! à wen Xa là hoành độ điểm A nha Xb;Xi cũng như vậy!

Về cồng thức thì mình cũng ko thạo lắm nhưng bài nè thì chém đc:

Dễ thấy nếu x hoặc y =1 thì $\dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{y^2 }} > 1$

Bây jo xét $x,y \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{y^2 }} \le \dfrac{1}{{2^2 }} + \dfrac{1}{{2.2}} + \dfrac{1}{{2^2 }} = \dfrac{3}{4} < 1$

tóm lại pt ko có nghiệm nguyên dương

tiện giúp e bài nì luôn . tìm số tự nhiên m để phương trình sau : $x^2$ - $m^2$x +m + 1 = 0 có nghiệm nguyên .

Lời giải của mình đây:
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi: $\Delta = m^4 - 4m - 4$ là số cp
Xét m≥4 ta có: $\left( {m^2 } \right)^2 > m^4 - 4m - 4 > m^4 - 2m^2 + 1 = \left( {m^2 - 1} \right)^2 $
có nghĩa là pt ko có nghiệm nguyên.
Xét m≤3;vì m là số tự nhiên nên m=0;1;2;3.
thay vào ta có m=1;2 thỏa mãn.
Kết luận m=1;2
Nhờ các bạn kiểm tra nêu sai sót sửa giúp mình nhé

Sao lại kêu trời vậy ! Có lẽ trình độ của bạn "cao siêu" qúa nên thể hiện vậy !Thật mạo phạm ! Xin thứ lỗi ! Mình chỉ hoàn thiện bài toán cho dễ hiểu thôi ! Thật đấy :
Mình thấy bạn dùng : với "x hoặc y =1 ,...." để lý luận bài toán thì chưa ổn ! Theo mình thì điều này có nghĩa là x=1 , y tùy ý và ngược lại y=1 , x tùy ý !Từ đó bài toán thiếu chặt chẽ ! Còn phần sau thì hơi bị "cao siêu"!
Tranh luận là nhằm sự canh tân , hoàn thiện chứ không phải hơn thua bạn ạ ! !

Thành thật xin lỗi bạn!Mính ko cố ý đâu ừ bạn nói đúng!ok nhé hòa;hihi

Bạn có chiêu thức hay đấy ! Nhưng chém chưa chết ! Vậy để mình dùng chiêu thức đó chém chết lun nha !
Gọi x , y là hai số nguyên dương . Khi đó x và y chỉ xảy ra hai trường hợp: x = 1 , y= 1 và $ x \geq 2 ,y \geq 2 .$

Gọi pt : $\dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{{y^2 }} = 1 (I)$ . Ta xét hai trường hợp đó xem sao !
+) Với x=1 , y=1
Ta có : $\dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{{y^2 }} = \dfrac{1}{{1^2 }} + \dfrac{1}{1.1} + \dfrac{1}{{1^2 }} = 3 $ không thỏa (I).
$ \Rightarrow x=1, y=1 $ không phải là nghiệm của (I).
+) Với $ x \geq 2 ,y \geq 2 .$ .
Ta có : $x \geq 2 \Leftrightarrow x^2 \geq 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{1}{4}(1)$
và $xy \geq 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{xy} \leq \dfrac{1}{4}(2)$
và $y \geq 2 \Leftrightarrow y^2 \geq 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{y^2} \leq \dfrac{1}{4}(3)$
Cộng (1) , (2) ,(3) ta được :$\dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{{y^2 }} \leq \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}<1$ Cũng không thỏa (I).
$\Rightarrow x \geq 2 ,y \geq 2 .$ cũng không phải là nghệm của (I)
Vậy phương trình (I) không thể có nghiệm nguyên dương ! Ok chứ "cvp@" ?

Trời ơi chơi lại chiêu của mình rùi còn j`.Mình chỉ viết vắn tắt ra cho mọi người "tự hiểu" thế thui.chẳng wa bạn chỉ diễn lại chiêu 1 cách cụ thể thui.hehe

đề cho cm $ME=R\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}=2R.\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}$
đến đây nhớ lại $sin 75^o=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}$ (cm có thể dùng ct lượng giác cho ngắn )
và định lí sin: $a=2RsinA$
Vẽ hình ra cm đc góc $MAE= 75^o$.Sử dụng 2 điều vừa nêu trên là xong!

Những cái đó cm thuần túy kt lớp 9 đc mà bạn
Nhưng thui nếu bạn mún cách lớp 9 thật thì đây:
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê vào tứ giác AMBE ta có:
$AM.EB+MB.AE=AB.ME$ (1)
Tiếp theo AB=2R
trong tam giác vuông AMB góc $MAB=30^o$nên $MB=\dfrac{1}{2}AB=R$ =>$MA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{3}R$
tam giác AEB là tam giác vuông cân$AE=EB=\dfrac{1}{\sqrt{2}}AB=\sqrt{2}R$
Thay vào (1) ta có đpcm!

Cái này Yahoo post rùi !

Bài 1:Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b)sao cho a^2b+a+b (ab^2+b+7)
Bài 2Cho số nguyên dương n 3 và t1,t2,...,tn là những số thực dương sao cho:
n^2+1 lớn hơn (t1+t2+...+tn)(1/t1 +1/t2 +...+1/tn)

nản bạn chơi khó nhau bài 1 là bài IMO năm nào ý.(nhớ ko nhầm là vậy)
Theo tớ: Xét a<b cm đc a^2b+a+b<ab^2+b+7
Xét a≥b như sau:
$\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {ab^2 + b + 7} \right) > a^2 b + a + b$
• Xét b≥3 ta có:$\left( {\dfrac{a}{b} - \dfrac{1}{b}} \right)\left( {ab^2 + b + 7} \right) < a^2 b + a + b$
Kết hợp 2 cái trên ta đc:
$\dfrac{{a^2 b + a + b}}{{ab^2 + b + 7}} = \dfrac{a}{b}$
=>b=7m;a=7m^2
• Xét b<3 xét đơn giản theo chia hết.
b=1 có a=11;49
b=2 vô nghiệm!
Kết luận...............
Chắc chắn có cách hay hơn;lời giải này của mình vắn tắt những j cơ bản thui!thông cảm nhé 11h