Bài 1:

$\frac{2a^2-2ca+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{a-c}{b-c}(1)\Leftrightarrow 2a^2b--2a^2c+ac^2-bc^2-2ab^2+2b^2c=0$

$\Leftrightarrow 2a(ab-ac+\frac{c^2}{2})-bc^2-2ab^2+2bc^2=0$

$\Leftrightarrow b(2ac-c^2-2ab+2bc)=0$(2)

Vì đẳng thức (2) luôn đúng nên đẳng thức (1) được chứng minh.

1. Tìm MIN của A=$\frac{3x}{4y}+y+\frac{4}{\sqrt{3x+y}}$

2. Tìm MIN, MAX của B=$a(b-2c)$ biết $a^2+b^2+c^2=2016; a,b,c\geq 0$

3. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})

Tìm max B=$\sqrt{x+y+1} -(x^2+y^2)$ 

4. Tìm MAX của T=$\frac{a+b}{(a^2+1)(b^2+1)}$ trong đó a,b là các số thực. Hãy mở rộng bài toán trên.

Ai giải giúp bất phương trình này với

$3^x+4^x \geq 5^x$

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $5^x$ ta được: $(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x\geq 1$

• Nếu x=2 thì $(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x= 1$
• Nếu x>2 thì $(\frac{3}{5})^x<(\frac{3}{5})^2; (\frac{4}{5})^x<(\frac{4}{5})^2\Rightarrow (\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x<1$
• Nếu x<2 thì $(\frac{3}{5})^x>(\frac{3}{5})^2; (\frac{4}{5})^x>(\frac{4}{5})^2\Rightarrow (\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x>1$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x\leq 2$

Đặt $x-y=a$, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b(1)$thì a,b là các số hữu tỉ.

Xét hai trường hợp:

- Nếu $b\not\equiv 0$ thì $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{a}{b}$ nên $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ.     (2)

  Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{x}=\frac{1}{2}\left ( b+\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ,

                                $\sqrt{y}=\frac{1}{2}\left ( b-\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ.

- Nếu b=0 thì x=y=0, hiển nhiên $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ.

1) $A=\frac{3x}{4y}+\frac{1}{4}+y+\frac{4}{\sqrt{3x+y}}-\frac{1}{4}=\frac{3x+y}{4y}+y+\frac{2}{\sqrt{3x+y}}+\frac{2}{\sqrt{3x+y}}-\frac{1}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{4y(3x+y)}{4y(3x+y)}}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$ 

Đẳng thức xảy ra khi x=y=1

Đề thiếu x,y>0 nên bạn làm đúng rồi.

Đặt 100=n,ta có:

B=$(\frac{1}{2^2}-1)(\frac{1}{3^2}-1)....(\frac{1}{n^2}-1)$

=$\frac{(-1).3}{2^2}.\frac{(-2).4}{3^2}....\frac{(1-n)(1+n)}{n^2}$

=$\frac{(-1).(-2)....(1-n)}{2.3....n}.\frac{3.4....(1+n)}{2.3....n}$

=$\frac{(-1).2.3....(n-1)}{2.3....n}.\frac{3.4....(n+1)}{2.3....n}$

=$\frac{(-1)}{n}.\frac{n+1}{2}$=$\frac{-1}{2}.\frac{n+1}{n}<\frac{-1}{2}$

Vậy B<$\frac{-1}{2}$

1. Cho $a,b,c,d\in \mathbb{N^{*}}$, phân biệt và đặt

$T=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}$

Biết $T\in \mathbb{N}$. Chứng minh: $abcd$ là số chính phương.

2. Cho $abc\neq 0$ thỏa mãn:

$a\left (\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )+b\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right )+c\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=2$

và $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$

Tính $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Tìm số tự nhiên $x;y$ để $\overline{x35y}$

 

 

a) Chia hết cho $30$                                            b) Chia hết cho $40 $

 

c) Chia hết cho $70$                                             d) Chia hết cho $45$

                           

                                   ( Ghi rõ cách giải )

a) $\overline{x35y}$ $\vdots$ 30 $\Leftrightarrow \overline{x35y}$ chia hết cho 3 và chia hết cho 10.

Để $\overline{x35y}$ chia hết cho 10 thì $\overline{x35y}=\overline{x350}\Rightarrow y=0.$

Khi đó: $\overline{x35y}$ chia hết cho 3 $\Leftrightarrow \overline{x35y}$ $\left ( x+3+5+0 \right )\vdots 3$

hay $\left ( x+8 \right )\vdots 3\Rightarrow x\in \begin{Bmatrix} 1,4,7 \end{Bmatrix}$

Vậy $x\in \begin{Bmatrix} 1,4,7 \end{Bmatrix},y=0$ thì $\overline{x35y}$ chia hết cho 30.

Các câu b,c,d tương tự nha bạn.

1. $\left\{\begin{matrix} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=5 & \\ x^4+y^2+xy\left ( 1+2x \right )=5 & \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} xy+x-2=0 & \\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0 & \end{matrix}\right.$

3. $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^2-2y^2 & \\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y & \end{matrix}\right.$

4. $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2-9x+22=y^3+3y^2-9y & \\ 2x^2+2y^2-2x+2y=1 & \end{matrix}\right.$

5. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 & \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{y+12}=8 & \end{matrix}\right.$

6. $\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 & \end{matrix}\right.$

7. $\left\{\begin{matrix} 8x^3-y^3-3y^2=5y-4x+3 & \\ \sqrt{2x+y+5}+2x=2 & \end{matrix}\right.$

8. $\left\{\begin{matrix} x^2+2y^2=xy+2y & \\ 2x^3+3xy^2=2y^2+3x^2y & \end{matrix}\right.$

9. $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=xy+x+y & \\ x^3-xy^2=9x-12 & \end{matrix}\right.$

10. $\left\{\begin{matrix} \left ( \sqrt{x^2+1}+y \right )\left ( \sqrt{y^2+1}-x \right )=1 & \\ \sqrt[3]{3\left ( x^2-x+1 \right )}-\sqrt{x^3+6x-1}=y & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình: $4x^2-8x+\sqrt{2x+3}=1$

Cho các số $m,n,p$ thỏa mãn các điều kiện

$\left ( \sqrt{1+m^2}+m \right )\left ( \sqrt{1+n^2}-n \right )=1$ và $\left ( \sqrt{1+n^2}+p \right )\left ( \sqrt{1+p^2}+n \right )=1$

Tính giá trị của biểu thức $Q=m^{2013}+p^{2013}$.

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $xy\left ( xy+1 \right )=x^{2}+y^{2}.$

Tìm GTLN của biểu thức $A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}.$

1. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $AN$ và $CK$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M(M \neq B).$ Gọi $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Chứng minh rằng:

a) $EK$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN.$

b) $EM$ vuông góc với $MB$.

2. Cho đường thẳng $\left ( d \right )$ và một điểm $A$ cố định ngoài $\left ( d \right )$, $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left ( d \right )$. Hai điểm $B,C$ thay đổi trên $\left ( d \right )$ sao cho góc $\widehat{BAC}=90^{\circ}.$ Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$.

Chứng minh rằng

a) Các điểm $B,E,F,C$ cùng thuộc một đường tròn, ta gọi là $(K)$.

b) Đường tròn $(K)$ luôn đi qua một điểm cố định.

1.a) $3\left | 2x+5 \right |-4=1$

$\Leftrightarrow \left | 2x+5 \right |=\frac{5}{3}$

+, Xét $x\geq \frac{-5}{2}$ thì $\left | 2x+5 \right |=2x+5\Rightarrow 2x+5=\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{-5}{3}$

+, Xét $x<\frac{-5}{2}$ thì $\left | 2x+5 \right |=-2x-5\Rightarrow -2x-5=\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{-10}{3}$

Vậy $x=\frac{-10}{3}$ hoặc $x=\frac{-5}{3}$

b) Tương tự câu a, $x=\frac{-5}{3}$ hoặc $x=\frac{7}{3}$

2. a) $\left | 3-x \right |\geq0 \Rightarrow A= 2016+\left | 3-x \right |\geq 2016$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 3-x=0\Leftrightarrow x=3$

Vậy GTNN của A=2016 khi x=3.

b)$\left | 2x+1 \right |\geq0 \Rightarrow B= -5+\left | 2x+1 \right |\geq -5$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 2x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$

Vậy GTNN của B= -5 khi x=$x=\frac{-1}{2}$

Câu c) bài 1 không hiểu đề nên tự làm nhé

Cho dãy số thực $(y_{n})$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} y_{1}=0;y_{2}=1& \\ y_{n+1}=y_{n}+2y_{n-1}+2;\forall n\geq 2 & \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{y_{p}}{p}$ là một số chính phương.

Gợi ý.

Đặt $\sqrt{2x+3}=2y-2$ ta thu được hệ đối xứng loại $2$.

Làm cụ thể giúp mình với.

Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+2016$ với $a\in \mathbb{R}.$ Chứng minh rằng nếu $m,n,k$ là ba số nguyên đôi một khác nhau thì

$2max\begin{Bmatrix} \left | f(m) \right |;\left | f(n) \right |;\left | f(k ) \right | \end{Bmatrix}\geq 1$

Tìm giá trị lớn nhất có thể có của số nguyên dương n sao cho tồn tại n tam thức bậc hai khác nhau từng đôi một thỏa mãn:

i) mỗi tam thức bậc hai có hệ số của $x^2$ bằng 1;

ii) tổng của 2 tam thức bậc hai bất kỳ có đúng 1 nghiệm.

7/(1)<=>(2x)³+2.2x=(y+1)³+2(y+1)=>2x=y+1=>2x+y+5=2y+6$\geq$0=>y$\geq$-3

Đánh giá được $y\geq -3$ rồi làm gì tiếp theo, tại sao bạn không thay 2x=y+1 vào (2) để tìm x,y

Biến đổi thành $D=\left ( 2x-y-1 \right )^{2}+\left ( 3x-1 \right )^{2}+1\geq 1$

Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{3},y=\frac{-1}{3}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2yz\leq y^2+z^2$;$2xy\leq x^2+y^2;2zx\leq z^2+x^2$

Do đó: $\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}$

$=\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

$\left | x-2 \right |+\left | x-7 \right |=\left | x-2 \right |+\left | 7-x \right |\geq \left | x-2+7-x \right |=5$

Dấu "=" xảy ra khi $\left ( x-2 \right )\left ( 7-x \right )\geq 0\Leftrightarrow 2\leq x\leq 7$

Do đó $\left | x-2 \right |+\left | x-7 \right |> 5\Leftrightarrow x>7$ và $x<2$

1. Cho $\bigtriangleup ABC$ phân giác $AA', BB'$ cắt nhau tại $I$. Biết $\frac{IA}{IA'}=\frac{\sqrt{3}+1}{2},\frac{IB}{IB'}=\sqrt{3}.$

Tính các góc của $\bigtriangleup ABC$.

2. Cho $\bigtriangleup ABC$ có $3\widehat{A}+2\widehat{B}=180^{\circ}$

a) Chứng minh $c^2=a^2+bc$

b) Tìm độ dài 3 cạnh tam giác biết rằng chúng là 3 số tự nhiên liên tiếp

3. Cho hình thang $ABCD$ có đáy $AB=a,CD=b$. Điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $MN//AB$ và $MN$

chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Tính $MN$ theo $a$ và $b$

1.$\sqrt[3]{(1+x)^{2}}+4\sqrt[3]{(1-x)^{2}} = 5\sqrt[3]{1-x^{2}}$
2.$2x^{2} + 2x +1 = (4x+1)\sqrt{x^{2}+1}$

1. Đặt $\sqrt[3]{1+x}=a, \sqrt[3]{1+x}=b$ ta có $\left\{\begin{matrix} a^2+4b^2=5ab & \\ a^3+b^3=2 & \end{matrix}\right.$

Đến đây, bạn giải hệ phương trình tìm a,b. Rồi thay vào tìm x.