Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm GTLN của $A=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

Bài 10:

$(x+y)(x+z)=xy+yz+zx+y^2=y(x+y+z)+zx$

$=y.\frac{1}{xyz}+zx=\frac{1}{zx}+zx\geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn $y=z=1,x=\sqrt{2}-1$

Có ai biết đối với mục Câu lạc bộ TTT thì gửi bằng tiếng Anh hay tiếng Việt không? Mình thấy đề bằng tiếng Anh nên chưa biết gửi như thế nào.

câu hình b hình như sai rồi, C di động thì BD di động nên M di động

bài 8 phải cho a+b bằng bao nhiêu đó mới làm được

hình bài 5 câu b đây

Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}.$Tìm GTNN của biểu thức:

$F= a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+ac+bd+ad+cd+a+b+c+d$

0 nhé

sai rồi đáp án là -0,8

Ta có:$\sum |ab|\leq \frac{3(a+b+c+d)^2}{8}$ (dễ dàng CM bằng biến đổi tương đương)

Vậy: $F=(\sum a)^2-\sum ab+\sum a\geq (\sum a)^2-\sum |ab|+\sum a\geq \frac{5(\sum a)^2}{8}+\sum a\geq -0,4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=-0,2$

(Vậy đáp án là -0,4 nhé)

ở trên mình ghi nhầm lúc đó nhân 4 lên nhưng quên chia

$\left | x-2 \right |+\left | x-7 \right |=\left | x-2 \right |+\left | 7-x \right |\geq \left | x-2+7-x \right |=5$

Dấu "=" xảy ra khi $\left ( x-2 \right )\left ( 7-x \right )\geq 0\Leftrightarrow 2\leq x\leq 7$

Do đó $\left | x-2 \right |+\left | x-7 \right |> 5\Leftrightarrow x>7$ và $x<2$

 Cho a,b,c >0.Chứng minh: $\sum \frac{2a^3}{(b+2c)^2}\geq \frac{2}{9}(a+b+c)$

Bất đẳng thức không chính xác

thử a=b=c thấy đúng mà

Liên hợp theo nghiệm 0;-1;2

câu 1 thế này hay hơn:

$3x^2+4x+10=\sqrt{14x^2-7}$

$\Leftrightarrow (x^2+4x+4)+(2x^2-1-2\sqrt{7}.\sqrt{2x^2-1}+7)=0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2+(\sqrt{2x^2-1}-\sqrt{7})^2=0$

Hình tự vẽ nhé

Đặt BH=x(x>0)

Có: Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao . Theo hệ thức lượng , có:

$AB^{2}=x.(x+9)$

$x^{2}+9x-400=0$

x=16(tm)

hoặc x=-25(ktm)

=> BH=16

Áp dụng Pytago trong tam giác ABH vuông tại H để tìm AH 

Đặt BH=x

Theo hệ thức lượng trong tam giac vuông ta có: $AB^2=BH.BC=x(x+9)$

$400=x^2+9x$$\Leftrightarrow x=16$(nghiệm còn lại loại)===>BC=25

$AH^2=BH.HC=144\Rightarrow AH=12 \Rightarrow AC=16$

Bài này có cho tam giác $ABC$ vuông đâu mà làm như vậy.

2. Cách 2: ĐKXĐ: $x\geq 2$

$3\left ( 2+\sqrt{x-2} \right )=2x+\sqrt{x+6}$

$\Leftrightarrow 2x-6+\sqrt{x+6}-3\sqrt{x-2}=0$

$\Leftrightarrow (x-3)\left (2-\frac{8}{\sqrt{x+6}+3\sqrt{x-2}} \right )=0$(1)

Chứng minh PT $2-\frac{8}{\sqrt{x+6}+3\sqrt{x-2}}=0$ vô nghiệm nên (1)$\Leftrightarrow x=3$(TMĐKXĐ)

Vậy nghiệm của pt là x=3

Giải phương trình:

1. $\left ( x+4 \right )\left ( \sqrt{x^2+1}-\sqrt{15} \right )=1$

2. $3\left ( 2+\sqrt{x-2} \right )=2x+\sqrt{x+6}$

3. $2\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x+1}+\left ( 4-x \right )\sqrt{2-2x}=6\sqrt{x^2+2}$

4. $x^3+3x^2-1=3\left ( \sqrt{x}-\sqrt{x-1} \right )^{3}$

5. $\sqrt{1+x^2+x^4}+x=\sqrt{x-x^3}$

Giải phương trình

1. $\sqrt{2x}=x^2+x-4$

2. $\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^2-1$

3. $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-\sqrt{x}=2$

4. $\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{x}$

5. $2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2yz\leq y^2+z^2$;$2xy\leq x^2+y^2;2zx\leq z^2+x^2$

Do đó: $\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}$

$=\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Pt trình trong ngoặc vẫn có nghiệm nha bạn!

x bằng bao nhiêu vậy?

Cho $\triangle ABC$ không phải là tam giác đều có $G$ là trọng tâm, $I$ là giao điểm 3 đường phân giác trong đồng thời thỏa mãn điều kiện $AI\bot IG$. Gọi $r$ là khoảng cách từ $I$ đến 3 cạnh của tam giác và $x,y$ là khoảng cách từ $G$ đến $AB,AC$.

a) Chứng minh: $x+y=2r$

b) Chứng minh: $\frac{a+b+c}{3}=\frac{2bc}{b+c}$

Cho tam giác $ABC$ đường cao $AH$. Biết $AB=20cm,HC=9cm$. Tính $AH=?$

Lời giải câu a. 

Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $IG$ với $AB,AC$

$\triangle AIM=\triangle AIN(g.c.g)$$\Rightarrow IM=IN=\frac{MN}{2}$

Ta có $\frac{x}{r}=\frac{MG}{IM};\frac{y}{r}=\frac{GN}{IN}=\frac{GN}{IM}$

$\Rightarrow \frac{x+y}{r}=\frac{MG+NG}{IM}=\frac{MN}{IM}=2\Rightarrow x+y=2r$

cấy nớ là 2b+c chơ nỏ phải 2bc à

xin lỗi, mình sẽ sửa lại đề

Đặt $x-y=a$, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b(1)$thì a,b là các số hữu tỉ.

Xét hai trường hợp:

- Nếu $b\not\equiv 0$ thì $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{a}{b}$ nên $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ.     (2)

  Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{x}=\frac{1}{2}\left ( b+\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ,

                                $\sqrt{y}=\frac{1}{2}\left ( b-\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ.

- Nếu b=0 thì x=y=0, hiển nhiên $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ.