Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm GTLN của $A=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

bác có link phan bội châu ko

câu hình b hình như sai rồi, C di động thì BD di động nên M di động

Bài 10:

$(x+y)(x+z)=xy+yz+zx+y^2=y(x+y+z)+zx$

$=y.\frac{1}{xyz}+zx=\frac{1}{zx}+zx\geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn $y=z=1,x=\sqrt{2}-1$

Có ai biết đối với mục Câu lạc bộ TTT thì gửi bằng tiếng Anh hay tiếng Việt không? Mình thấy đề bằng tiếng Anh nên chưa biết gửi như thế nào.

hình bài 5 câu b đây

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a(a\geq 0)$ thì 

$PT\Leftrightarrow a^4+a^2-4=-2a^3\Leftrightarrow\left ( a^2+a-2 \right )\left ( a^2+a+2 \right ) =0(1)$

Vì $a^2+a+2=\left ( a+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{7}{4}>0$ với mọi $a\geq 0$ nên $(1)\Leftrightarrow a^2+a-2=0\Leftrightarrow(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a=1(tm)$ hoặc $a=-2$(loại)

giải pt $\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x-1=1\Leftrightarrow x=2$

thử lại ta thấy x=2 không phải là nghiệm của pt

vậy pt vô nghiệm

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.

Bài 1.
Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$
Ta có $\left\{\begin{matrix} a-b=2 & \\ \overline{ab}-a^2-b^2=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+2(1) & \\ 10a+b-a^2-b^2=1(2) & \end{matrix}\right.$
Thay $(1)$ vào $(2)$, rồi rút gọn ta được: $-2b^2+7b+15=0$
tìm được $b=5\Rightarrow a=7$
Do đó $\overline{ab}=75$

Bài 2.
a) Ta có $\Delta =(m+1)^2-4(2m-3)=m^2-6m+13=(m-3)^2+4>0$
Do đó phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Bài 2.
b) Thay x=3 vào pt ta được $3^2-3(m+1)+2m-3=0\Leftrightarrow 3-m=0\Leftrightarrow m=3$
Vậy $m=3$ thì pt có nghiệm bằng 3

Hình bạn tự vẽ

a/ Cm $ADME$ là hcn suy ra $AM=DE$

Gọi $O$ là giao điểm của $AM$ và $DE$ suy ra $O$ là trung điểm của $AM$ và $DE$

tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có $O$ là trung điểm của $AM$ suy ra $OH=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}DE$

do đó tam giác $DEH$ vuông tại $H$ suy ra $\widehat{DHE}=90^{\circ}$

b/ $DHME$ là hình thang cân khi $DE//HM \Rightarrow DE//BC$

Mà $D,O,E$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm của AM nên để $DE//BC$ thì $D,E$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ 

suy ra $M$ là trung điểm của $BC$.

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x;y)$ thỏa mãn $2^x.x^2=9y^2+6y+16$

Cho $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

Tính giá trị biểu thức: $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$

Ta có $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}= \sum \frac{a}{(a^{2}+1)+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}\sum(1-\frac{b+1}{a+b+1})$

Xét $B=\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (b+1)(a+b+1)}$

<=> $B\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum b^{2}+ab+(2b+a)+1}=\frac{1}{2}$
   (Đoạn này dễ bạn tự biến đổi để bt dưới mẫu = 1/2 bt trên tử)


Do đó A$\leq \frac{1}{2}$

>>>>>>>>>>>>>>>>

$B\geq 2$ nha bạn

Đặt $x-y=a$, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b(1)$thì a,b là các số hữu tỉ.

Xét hai trường hợp:

- Nếu $b\not\equiv 0$ thì $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{a}{b}$ nên $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ.     (2)

  Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{x}=\frac{1}{2}\left ( b+\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ,

                                $\sqrt{y}=\frac{1}{2}\left ( b-\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ.

- Nếu b=0 thì x=y=0, hiển nhiên $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ.

Bài này bạn phải xét 2 trường hợp là góc A tù và góc A nhọn để giải

Cho tam giac ABC , AC>AB . M là trung điểm của BC . đường thẳng qua M song song với phân giác trong góc A cắt AC,AB tại E,F. Cm CE=BF

Ta có $AD//MF\Rightarrow \frac{DM}{BM}=\frac{AF}{BF}$(1)

$EM//AD\Rightarrow \frac{DM}{CM}=\frac{AE}{EC}$(2)

Mặt khác $\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\left ( =\widehat{EAD} \right )\Rightarrow \triangle AEF$ cân tại A

$\Rightarrow AE=AF$(3)

Từ (1)(2)(3) suy ra $\frac{AE}{BF}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow CE=BF$

Làm theo cách đặt của bạn, gọi số đó là P=a1a2a3a4a5a6a7a8
P=(a1a2a3a4).10000+(a5a6a7a8) = 9999.(a1a2a3a4)+ (a1a2a3a4) + (a5a6a7a8)
Để P chia hết cho 1111 thì (a1a2a3a4) + (a5a6a7a8) chia hết cho 1111.
Hay 1000.(a1+a5)+ 100.(a2+a6)+ 10.(a3+a7) + (a4+a8) chia hết cho 1111.
-----
Đặt x=a1+a5; y=a2+a6; z=a3+a7; t=a4+a8;
Có 3<= x <= 15
x+y+z+t=36
1000.x+100.y+10.z+t chia hết cho 1111
Thay t= 36-x-y-z. Suy ra 999x+99y+9z+36 chia hết cho 1111.
Mà (9,1111)=1. Suy ra A=111x+11y+z+4 chia hết cho 1111.
A<111.15+11.15+15+4=1849 nên A=1111
+ Nếu x>9 thì A>111.9+11.15+15+4=1183 (vô lý)
+ Nếu x<9, hay x<=8 thì 0< A<111.8+11.15+15+4=1072 <1111 (vô lý)
Vậy x=9.
Suy ra 11.y+z+4=112. Đến đây dễ dàng suy ra x=y=z=t=9.
------
Tìm số bộ thỏa mãn a1+a5=a2+a6=a3+a7=a4+a8=9
Ta phải chọn (a1,a5) (a2,a6) (a3,a7) (a4,a8) vào các bộ (1,8) (2,7) (3,6) (4,5)
Có 4.3.2.1 cách chọn như vậy
Ứng với mỗi cách chọn lại có thể hoán vị như sau: (1,8) thành (8,1);(2,7) thành (7,2);(3,6) thành (6,3); (4,5) thành (5,4). => Có 2^4 cách
Tóm lại số số thỏa mãn là 4.3.2.1.2^4=384
Ví dụ 1 số là 12348765=1111.11115

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$ trong đó $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=6$

bài 4 chia thế nào hả bạn

Bài 1: Cho tứ giác lồi 4 cạnh a, b, c, d đều là các số nguyên dương. CMR nếu độ dài mỗi cạnh đều là các ước số của chu vi tứ giác này thì tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

Bài 2: Có hay không số nguyên dương có tổng các chữ số bằng 11, có tận cùng bằng 11 và chia hết cho 11.

Bài 3: CMR từ hình tròn bán kính bằng 1 thì không thể cắt ra hai tam giác mà mỗi tam giác có diện tích lớn hơn 1

Bài 4: Chia được hay không một hình vuông thành các nửa tam giác đều bằng nhau.

Bài 5: Mỗi điểm thuộc mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu. CMR luôn có hai điểm được tô cùng màu cách nhau một không d (d>0) cho trước .

P.S: Mọi người giúp mình với, làm được bài nào hay bài đó.

bài 8 phải cho a+b bằng bao nhiêu đó mới làm được

Bài 1:

$\frac{2a^2-2ca+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{a-c}{b-c}(1)\Leftrightarrow 2a^2b--2a^2c+ac^2-bc^2-2ab^2+2b^2c=0$

$\Leftrightarrow 2a(ab-ac+\frac{c^2}{2})-bc^2-2ab^2+2bc^2=0$

$\Leftrightarrow b(2ac-c^2-2ab+2bc)=0$(2)

Vì đẳng thức (2) luôn đúng nên đẳng thức (1) được chứng minh.

GIẢI HỆ PT :   { x²  - y² = 4x - 2y -3

                            x² + y² =5

$(1)\Leftrightarrow (x-y-1)(x+y-3)=0\Leftrightarrow x=y+1$ hoặc $x=3-y$

thay vào (2) rồi giải thôi

Ai giải giúp bất phương trình này với

$3^x+4^x \geq 5^x$

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $5^x$ ta được: $(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x\geq 1$

• Nếu x=2 thì $(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x= 1$
• Nếu x>2 thì $(\frac{3}{5})^x<(\frac{3}{5})^2; (\frac{4}{5})^x<(\frac{4}{5})^2\Rightarrow (\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x<1$
• Nếu x<2 thì $(\frac{3}{5})^x>(\frac{3}{5})^2; (\frac{4}{5})^x>(\frac{4}{5})^2\Rightarrow (\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x>1$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x\leq 2$

 Chị ơi chỗ này phải là (x³-3x²+2x+5)(x²-3x+1)+2009 chứ ạ!

Đúng rồi, phải là

$B = x^5-6x^4+12x^3-4x^2-13x+2014$
$=\left (x^2-3x+1 \right )\left ( x^3-3x^2+2x+5 \right )+2009$

Tại $x=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$ thì $B=2009$.