Giải phương trình $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x$

Gieo 1 con súc sắc cân đối liên tiếp $5$ lần độc lập. Tính xác suất để trong 5 lần gieo đó có đúng 2 lần xuất hiện mặt $1$ chấm

ĐK : $x\geq 1$

$pt\Leftrightarrow 13.\frac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+9.\frac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{1+\frac{1}{x}}=16$

áp dụng bđt AM-GM ta có :

$VT$=$\frac{13}{2}.\frac{1}{\sqrt{x}}.2\sqrt{1-\frac{1}{x}}$+$\frac{3}{2}.\frac{3}{\sqrt{x}}.2\sqrt{1+\frac{1}{x}}\\$$\leq \frac{13}{4}(\frac{1}{x}+4-\frac{4}{x})+\frac{3}{4}(\frac{9}{x}+4+\frac{4}{x})=16=VP$

tới đây tư xét dấu bằng : nghiệm là 5/4

cho mình hỏi làm sao bạn biết tách ở những chỗ này thế

Mình có cách khác:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$PT\Leftrightarrow 13.(2.\frac{1}{2}.\sqrt{(x-1)})+3.(2.\frac{3}{2}.\sqrt{(x-1)})=16x $

Theo AM-GM:

$2.\frac{1}{2}.\sqrt{(x-1)}\leq \frac{1}{4}+(x-1) (1)$

$2.\frac{3}{2}.\sqrt{(x-1)}\leq \frac{9}{4}+(x+1) (2)$

Từ (1) và (2)\Rightarrow VT$\leq 13.(\frac{1}{4}+(x-1))+3.(\frac{9}{4}+(x+1))=16x=VP$

$Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=\frac{5}{4} (thỏa mãn)$

Bạn cachcach10x ơi cho phép mình đăng lại cách làm của bạn nhé

$y$ chẵn thì $y=2u$ thì $y^3=8u^3\equiv 0(mod \ 8)\Rightarrow y^3+7\equiv 7(mod\ 8)\Rightarrow x^2\equiv 7(mod \ 8)$

 

U-Th

Sẵn tiện bạn giảng thêm tại sao điều $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod8)$ lại vô lí

$y$ chẵn thì $y=2u$ thì $y^3=8u^3\equiv 0(mod \ 8)\Rightarrow y^3+7\equiv 7(mod\ 8)\Rightarrow x^2\equiv 7(mod \ 8)$

 

U-Th

cám ơn bạn tại mình mới học đồng dư nên chưa rành lắm

đây là một bài toán khá quen thuộc

nếu $y$ chẵn thì $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$ 

điều nầy vô lí dẫn đến $y$ lẻ

phương trình ban đầu tương đương $x^2+1=(y+2)(y^2-2y+4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+1$

thì $y+2\equiv 3(mod\ 4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+3$

thì $y^2-2y+4\equiv 3(mod\ 4)$

vậy ở mọi trường hợp thì $y^3+8$ đều có ước nguyên tố dạng $p=4t+3$

$\Rightarrow p\mid x^2+1\Rightarrow p\mid 1$

điều này vô lí do đó phương trình vô nghiệm

 

U-Th

Cho mình hỏi tại sao y chẵn thì $$x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$$

Tìm giá trị lớn nhất của $\left | \sqrt{x^2-6x+34}-\sqrt{x^2-6x+10} \right |$

Để ý $\sqrt{x^2-6x+34}=\sqrt{(3-x)^2+5^2}$ và $\sqrt{x^2-6x+10}=\sqrt{(x-3)^2+(-1)^2}$

 Đặt $\overrightarrow{a}=(3-x;5)$ , $\overrightarrow{b}=(x-3;-1)$

Với mọi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ta sử dụng BĐT hiệu vector thì được:

 $| \sqrt{x^2-6x+34} -\sqrt{x^2-6x+10} |\leq 4$

BĐT của các vector xem tại đây http://giaoan.violet...ntry_id/2147900

cho mình hỏi : BĐT hiệu vectơ là $\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\leq \left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$  vậy $| \sqrt{x^2-6x+34} -\sqrt{x^2-6x+10} |\leq \left | \overrightarrow{\sqrt{(3-x)^2+5^2}} \right |+\left | \overrightarrow{\sqrt{(x-3)^2+(-1)^2}} \right |$ tới đây mình không làm tiếp được

Đặt $y=\sqrt[4]{17-x^8}$ $z=\sqrt[3]{2x^8-1}$

Ta có hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix}y-z=1 \\ 2y^{4}+z^{3}=34-2x^{8}+2x^{8}-1=33 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y-z=1 \\ 2(1+z)^{4}+z^{3}-33=0(1) \end{matrix}\right.$

$(1)<=>2+8z+12z^{2}+9z^{3}+2z^{4}-33=(z-1)$$(2z^{3}+11z^{2}+23z+31)$$=0<=>z=1$

phương trình này có nghiệm $z=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{59433}}{72}-\frac{91}{27}}+\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{59433}}{72}-\frac{91}{27}}-\frac{11}{6}$ thì giải như thế nào vậy bạn

GIải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

a) $3(a+b+c)^2\leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

b) $(ab+bc+ca-1)^2\leq (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

Trong hình vuông có cạnh bằng $1$ đặt $51$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$.

Các bạn giải theo cách lớp 10 nhé

có ở đâyhttp://d.violet.vn/u...291/preview.swf (VD1)

bạn ơi mình chưa hiểu chỗ $IM,IN,IP\leq 0,1.\sqrt{2}< \frac{1}{7}$

Với $a,b>0$, chứng minh rằng $16ab(a-b)^2\leq (a+b)^4$

cám ơn các bạn

Giải phương trình nghiệm nguyên 

a) $x^2-y^3=7$

b) $7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$

Có bao nhiêu cách xếp $3$ nam và $2$ nữ ngồi vào 1 dãy gồm $8$ ghế sao cho các bạn cùng giới tính ngồi kề nhau và giữa 2 nhóm nam,nữ phải có ít nhất $1$ ghế trống

$a,b,c$ là gì vậy bạn

$a=b=c=0 =>$ bđt sai

nếu $a=b=c=0$ thì vế trái thành $2+\sqrt{2}$,vế phải còn $1$ ,mặc khác $2+\sqrt{2}>1$ vậy BĐT đúng với $a=b=c=0$ mà bạn

Ta có:8=a+b+2c$\geq$2+2c$\Rightarrow c\leq 3$

 Với a,b$\in [1;4]$ và c$\in [1;3]$ ta có:

  P=a³+b³+5c³=(a+b)³-3ab(a+b)+5c³$\leq$(a+b)³-3(a+b)+5c³

 $\Rightarrow P\leq$(8-2c)³-3(8-2c)+5c³=137-(3c³-96c²+378c-351)=137-3(c-3)(c²-29c+39)

 Với  c$\in [1;3]$ thì c²-29c+39$\leq $0 và c-3$\leq $0$\Rightarrow 3(c-3)(c^{2}-29c+39)\geq 0$

 $\Rightarrow P\leq 137$

Dấu = xảy ra khi a=b=1 và c=3

cho mình hỏi làm sao bạn phân tích được ra cái này vậy

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Chứng minh 

Ta có $n-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$

Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên $p-1$ chẵn ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod 3 )$

Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$

Do đó $n-1\vdots 2p$

Từ đó suy ra : $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$

Mà theo cách chọn  $n$ thì $2^{2p}-1\vdots n$ nên suy ra : $2^{n-1}-1\vdots n$

tức là $2^n-2\vdots n$        $\square$

Cho mình hỏi tại sao $n-1\vdots 2p$ thì $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$ vậy

Cho $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=16 & & \\ y^2+yz+z^2=3 & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh $xy+yz+xz\leq 8$

ta chứng minh bổ đề quen thuộc: $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$

 gọi G,G' là trọng tâm $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$

$3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}$

                                   $=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$

bổ đề đc cm.

 

trở lại bài toán, $\Delta ABC$ và $\Delta XYZ$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=\overrightarrow{0}$

gọi $\overrightarrow{e_{a}};\overrightarrow{e_{b}};\overrightarrow{e_{c}} là các vectow đơn vị hướng ra ngoài $\Delta ABC$ và vuông góc với BC,CA, AB.

Hạ $XH\perp BC;YK\perp CA;ZL\perp AB$

Ta có: $\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=\alpha$ 

           $\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=\beta$   

 

suy ra: $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}$

            $=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LZ}$

            $=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})$$+(\overrightarrow{HX}$$+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})$

            $=$$\alpha.(\overrightarrow{BC}$$+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+ $$\beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}$$+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$

            $= \beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$

            $\overrightarrow{0}$  (ĐỊNH LÍ CON NHÍM)

 

Suy ra đpcm.

Cho mình hỏi tại sao $\overrightarrow{HX}=\beta.BC.\overrightarrow{e_{a}}$ vậy

Đây là định lí con nhím.

mình biết nó là định lí con nhím nhưng xem cách giải mình không hiểu nên đăng lên có gì mình hỏi cho tiện ý mà

Giải phương trình $19+10x^4-14x^2=(5x^2-38)\sqrt{x^2-2}$