Giải hệ :
$\left\{\begin{matrix} 2y^2-x^2=1&&\\2x^3-y^3=2y-x&&\end{matrix}\right.$

Giải hệ :$\left\{\begin{matrix} y^2+2(x^2+1)=2y(x+1)&&\\\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{2}{x}}=2&&\end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm :
$\left\{\begin{matrix} (x+y)^8=256&&\\x^8+y^8=m+2&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} |x^2+y^2-2xy+3x-2y-1|+4=2x-|x^2-3x+2|&&\\x^2+2y^2+79z^2=1997&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^4+y^2=\frac{698}{81}&&\\x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0&&\end{matrix}\right.$

Từ $(1) \Rightarrow \left[\begin{array} x+y=2 \\\ x+y=-2 \, \end{array}\right.$
Với $x+y=2$ thế và (2) ta được:
$(2-y)^8+y^8=m+2$
Xét hàm $f(y)=(2-y)^8+y^8$
$f’(y)=8(y-2)^7+8y^7$
$f’(y)=0 \Leftrightarrow y=1$
Vẽ bảng biến thiên hệ có 2 nghiệm khi $m+2 >2 \Leftrightarrow m>0$
Tương tụ với TH còn lại,đều thu được $m>0$

Dùng cách cấp II được không ạ?

$\left\{\begin{matrix} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0&&\\4x^2+2y+2\sqrt{3-4x}=7&&\end{matrix}\right.$

ồ đâu, nếu làm chi tiết thì cách tui ngắn hơn cách bạn

nói lại đi bạn à
ai ngắn hơn ai chưa biết đâu

Sao hai bạn không trình bày bài giải đầy đủ ra rồi mọi người cùng so sánh?

$\left\{\begin{matrix} 1+xy+\sqrt{xy}=x&&\\\frac{1}{x\sqrt{x}}+x\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{y}&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}+\sqrt{1-y}=\sqrt{y}&&\\2\sqrt{xy-y}-\sqrt{y}=-1&&\end{matrix}\right.$

Giải hệ :
$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0&&\\x^2+x^2y^2-2y=0&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=\frac{1}{2}&&\\4x(x^3-x^2+x-1)+2=2xy+y^2&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}xy+x+1=7y&&\\x^2y^2+xy+1=13y^2&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y}&&\\\sqrt{x}+\sqrt{5y}=3&&\end{matrix}\right.$

1, $\left\{\begin{matrix}xy^2-2y+3x^2=0&&\\y^2+x^2y+2x=0&&\end{matrix}\right.$
2, $\left\{\begin{matrix}y+xy^2=6x^2&&\\1+x^2y^2=5x^2&&\end{matrix}\right.$

Giải hệ sau :
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y&&\\y(x+y)^2=2x^2+7y+2&&\end{matrix}\right.$

( đk : $0\leq x\leq 32$ )
Cộng cả 2 pt lại, tách thành pt sau :
$(\sqrt{x}-4)+(\sqrt[4]{32-x}-2)+(\sqrt[4]{x}-2)+(\sqrt{32-x}-4)=(y^2-6y+9)$
$\leftrightarrow \frac{x-16}{\sqrt{x}+4}+\frac{16-x}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{x-16}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}+\frac{16-x}{\sqrt{32-x}+4}=(y-3)^2$
$\leftrightarrow (x-16)(\frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4})=(y-3)^2$ (**)
* Xét trường hợp $16\leq x\leq 32$
$\Rightarrow x-16\geq 0$ và $x\geq 32-x (1)$
Từ (1) $\Rightarrow \sqrt{x}\geq \sqrt{32-x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}\leq \frac{1}{\sqrt{32-x}+4}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4}\leq 0$
Tương tự ta được $\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4}\leq 0$
Như vậy, vế trái của (**) $\leq 0$ mà vế phải là $(y-3)^2\geq 0$
$\Rightarrow$ cả 2 vế bằng 0 $\Rightarrow x=16;y=3$
* Xét trường hợp $0\leq x\leq 16$
Tương tự như trường hợp trên, ta sẽ xét $VT\leq 0$ mà $VP\geq 0$ ...
Tóm lại, phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(16;3)$

Đặt vế trái là $a\Rightarrow a=x$
Bình phương 2 vế không âm, ta thu được
$x+2a=x^2$
Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a=x&&\\x+2a=x^2&&\end{matrix}\right.$
Giải hệ, thu được $x=0;3$

Có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+x$
$\Rightarrow xy+yz+zx=x+y+z$
Do $0<x,y,z\leq 1\Rightarrow xy,yz,zx\leq 1\Rightarrow xy\leq \sqrt{xy}, yz\leq...$
Áp dụng bđt Cauchy : $x+y\geq 2\sqrt{xy}\geq 2xy$
Tương tự $y+z\geq 2yz$; $z+x\geq 2zx$
Cộng vế theo vế 3 bđt trên ta được : $x+y+z\geq xy+yz+zx$
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=1$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=x^{13}+y^{13}+x^{13}$
Vậy bài toán đã được chứng minh xong.

Sao lại được $x+2a=x^{2}$ vì số dấu căn là hữu hạn ma

Thấy bạn ghi "..." tưởng vô hạn
Hữu hạn ở đây có cụ thể không vậy?

sai rồi bạn ơi, tích bằng 1 nhưng chưa chắc nhỏ hơn 1 đâu, bạn thay 50 ; 0,1 và 0,2 vào mà xem

Ờ ha, mình quên ;P

Mình rất thích phương pháp dùng lượng liên hợp khi đã biết trước nghiệm, nó giúp ích nhiều trong cả giải phương trình vô tỉ và bất đẳng thức. Thích nhất kiểu liên hợp như trong bài này http://diendantoanho...ht/#entry390948, hay như nếu nghiệm là $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thì sẽ liên hợp cho ra nhân tử $x^2-x-1$. Tuy nhiên mình rất băn khoăn trong với trường hợp nhẩm nghiệm ra là $x=0$. Mình không biết liệu có liên hợp được không, và nếu có, mong mọi người cho mình ví dụ.

Nếu bạn học về giới hạn thì sẽ hiểu rõ hơn về bài này.

Mới lớp 9 thôi mà ==

dùng bunhia:$VT\geq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab)}=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2}$
và từ bdt cơ bản $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ và $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$ ta có đpcm

Dùng Cauchy-Shwar ngược dấu rồi kìa ==

Cho $\Delta ABC$ thuộc đường tròn tâm $O$ đường kính AB. Tìm max $AC.CD$