Câu4

a)Ta có AE.AB=AH²=AF.AC

Suy ra tứ giác BEFC nội tiếp

b)Gọi P là giao của BM và AC suy ra M là trung điểm của BP 

suy ra MC đi qua trung điểm của AH mà EF đi qua trung điểm của AH 

suy ra MC;AH;EF đồng quy

c) Theo công thức tính tiếp tuyến chung ta có $\sqrt{r₁.R₁}$+$\sqrt{r₁.R₂}$=$\sqrt{R₁.R₂}$

chia cả 2 vế cho $\sqrt{r₁.R₁.R₂}$ta được đpcm

Bài 5

Ta có abc+ab+bc+ca+a+b+c=(a+1)(b+1)(c+1)-1

Như vậy nếu cộng mỗi số với 1 thì xóa đi 3 số a;b;c thì số mới sẽ là (a+1)(b+1)(c+1)

Cứ như vậy cho tới khi trên bảng còn số k thì: k+1=(a+1)(b+1)(c+1).........

suy ra số còn lại trên bảng là 100!-1 

Câu 5

Thu nhỏ đường tròn bán kính 21 đơn vị thành đường tròn đồng tâm có bán kinh 20 đơn vị

Diện tích đường tròn đó là S₁=$400\pi$ 

Lấy 399 điểm làm tâm dựng đường tròn bán kinh 1

Diện tích lớn nhất của 399 đường tròn là S₂=$399\pi$

$\Rightarrow$ S₁>S₂ nên tồn tại vô số điểm O nằm ngoài các đường tròn bán kính 1 

Vậy tồn tại vô số đường tròn (O) bán kính 1 đơn vị không chứa điểm nào trong 399 điểm đã cho

b(câu hình)

Ta có

$\widehat{DHF}=\widehat{BAH}=\widehat{FEH}$

⇒ΔFDH∼ΔFHE(g−g)

⇒FD.FE=FH²

Do tứ giác BDCE nội tiếp nên FB.FC=FE.FD

nên FB.FC=FH²

Do tổng diện tích của 399 đường tròn bán kính 1 không phủ kín được đường tròn thu nhỏ

câu b hình phải thay F bởi K

Câu bất

a) (1)$\Leftrightarrow$ 6/a²+6/b²+6/c²$\leq$1/a+1/b+1/c+1

$\Leftrightarrow$ 2(1/a+1/b+1/c)²-(1/a+1/b+1/c)-1$\leq$0

$\Leftrightarrow$ (1/a+1/b+1/c-1)(2/a+2/b+2/c+1$\leq$)0

$\Leftrightarrow$1/a+1/b+1/c$\leq$1

b)

M$\leq$1/12.(1/a+1/b+1/c)$\leq$1/12

Gọi G là giao của BE và CF

Đặt EG=x;FG=y

Ta có AB²=4BF²=16x²+4y²

AC²=16y²+4x²

BC²=4x²+4y²

suy ra điều phải chứng minh

ĐK$x\geq -1/2$

Ta có $\sqrt{2x+1}.\sqrt[3]{1-3x}$$\leq 1-x^{2}$

$\Rightarrow 2x^{3}+2x^{2}\leq 1-x^{2}$

$\Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}.(2x+3)\leq 0$

Mà 2x+3>0 $x^{2}\leq 0$ nên x=0 là nghiệm của phương trình

Ta có $\sqrt{2x-1}.\sqrt{1-3x}$$= 1.\sqrt{2x+1}.1.1.\sqrt[3]{1-3x}$ $\leq$(x+1)(1-x)=1-x²

Chữ số thứ 2017 là số 6

Từ 1 đến 9 có 9 chữ số

Từ 10 đên 99 có 180 chữ số 

Còn lại 2017-9-180=1828 chữ số 

Ta có 1828:4=457

Nên chữ số thứ 2017 của dãy là số 6 của số 1456

Dựng tam giác BCE đều (A;E cùng phía với BC)

suy ra $\widehat{EAB}=\widehat{EAC}$=10⁰

$\widehat{EBA}=\widehat{ECA}$=20⁰

nên $\widehat{ECA}=\widehat{DAC}$

suy ra tam giác ADC=tam giác CEA(g-c-g)

nên AD=CE=2 cm

Do x+y=z nên x+y-z=0

Ta có $\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}$=$\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})^{2}-2(\frac{1}{xy}-\frac{1}{yz}-\frac{1}{xz})}$

=$\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})^{2}}$=$\left | \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right |$

Ta có DC.AB=BD.AC (1)

Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEP nên $\frac{BD}{EP}=\frac{AB}{AE}$$\Rightarrow BD=\frac{AB.EP}{AE}$

Tương tự $DC=\frac{AC.QE}{AE}$

Thay vào (1) ta được QE=PE $\Rightarrow$ đpcm

B2 

Tam giác BED đồng dạng với tam giác ABC nên$\sqrt{S_BED/S_ABC}$=BD/BC

tương tự $\sqrt{S_CFD/S_ABC}$=CD/BC

Nên $\sqrt{S_BED+S_CFD}$/$\sqrt{S_ABC}$=1

Nên S_ABC=$(a+b)^{2}$

Do $\sqrt{A^{2}}=A$ nếu A$\geq 0$

                         =-A nếu $A< 0$

Do vậy viết $\sqrt{A^{2}}=\left | A \right |$

Do abc=1 nên $a+b+c\geq 3$

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

$\Rightarrow$ BĐT $\Leftrightarrow$ $(a+b+c)^{3}+3(a+b+c)^{2}\geq 54$

Đúng do $a+b+c\geq 3$

b)Tam giác ABK đồng dạng với tam giác DKE nên AB/DE=BK/EK hay AB/BC=BK/EK

Tương tự AD/BD=KD/KE

Mà AB/BC=AD=BD(dễ dàng cm) nên K là trung điểm của BD

c)

Ta có MB.MD=MA²=MH.MO

Nên tứ giác BHOD nội tiếp suy ra góc MBH=góc BDO=góc OBD=góc OHD

nên góc BHA=góc DHA

suy ra đpcm 

Bài 4

1) $\bigtriangleup OAM\sim \bigtriangleup OBQ(g-g)$

$\Rightarrow \frac{OM}{OQ}=\frac{OA}{OB}$

Tương tự $\frac{ON}{OP}=\frac{OA}{OB}$

$\Rightarrow OP.OM=ON.OQ$

$\Rightarrow$ 4 điểm M;N;P;Q cùng thuộc 1 đường tròn

Phương trình còn có nghiệm (7;3)

a) ta có $a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}$$\Rightarrow a+\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}$

$\Rightarrow (2a+\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\frac{1}{8})$

$\Leftrightarrow 4a^{2}+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0$

b) Đặt S=$a^{2}+\sqrt{a^{4}+a^{2}+1}$

Từ a ta có $a=1-2\sqrt{2}a^{2}$

Thay vào S ta được $S=a^{2}+\left | a^{2}-\sqrt{2} \right |$

Dễ dàng chứng minh $a^{2}< \sqrt{2}$ nên $S=\sqrt{2}$

ta có $(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{2}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$< 3+\sqrt{5}$ nên $\sqrt{3+\sqrt{5}}>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

ta có $\sqrt{7-\sqrt{4}+4\sqrt{5}}=\sqrt{5+4\sqrt{5}}$=$\sqrt{5+4\sqrt{5}}> \sqrt{5-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1$

Cho $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ thì ta thấy bđt sai