Giúp mình bài này với!

Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn (a+1)(b+1)\geq 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=a+b.

Ta có

$64\leq (a+1)(b+1)=ab+a+b+1\Rightarrow 63\leq ab+a+b\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}+a+b\Rightarrow (a+b)^{2}+4(a+b)-252\geq 0\Leftrightarrow (a+b-14)(a+b+18)\geq 0\Rightarrow a+b\geq 14$

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^2}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^2}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^2}+1}$

Bạn xem lại đề đi BĐT sai rồi

Ta có

$2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{3}+y^{3})(x+y)$

$\Rightarrow VT\geq x+y+z=2008$

ta có

$n^{5}-11n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)-10n\vdots 5$

Mọi ngưòi chỉ giúp:Tìm số tự nhiên n được viết bởi 1 số 1, 2 số 2,..., 9 số 9 và n là lập phương 1 số tự nhiên.

Tổng các chữ số của n là $1^{2}+2^{2}+...+9^{2}=285$ chia 9 dư 6 nên n chia 9 dư 6

Mà lập phương của 1 số tự nhiên không chia 9 dư 6 nên không tồn tại số n thỏa mãn

Cho 1$\leq$a,b,c$\leq$2. Chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$. < kỳ thi chuyên Trần phú 2013-2014>

tại đây

https://diendantoanh...rac1cleq-10036/

Bài 41:GHPT

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=x^{2}+y^{2}+2 \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 78}}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{(1-y)(1-x^2)}}+\frac{y}{\sqrt{(1-x)(1-y^2)}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{(1-x^2)(1-y^2)}}\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\sqrt{\frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)}} \end{matrix}\right$.

ĐK $-1< x;y< 1$

HPT tương đương

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \end{matrix}\right.$

Ta sẽ cm x;y đều dương

thật vậy nếu x;y cùng âm thì vô lý

nếu x;y có 1 số âm . Giả sử x dương;y âm

Ta có$x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}< x\leq 1$ (vô lý)

Vậy x;y cùng dương

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\leq \frac{x^{2}+y^{2}+2-x^{2}-y^{2}}{2}=1$

Dấu = xảy ra khi $x^{2}+y^{2}=1$ $\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$

Lại áp dụng cauchy-Schwarz ta có

$\sqrt{2+\sqrt{2}}=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(x+y+2)}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn$x+y=2$. Tìm giá trị lớn nhất của 

P = $x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

Ta có

$P=x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=(x+y)^{2}-3xy(x+y)+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\geq (x+y)^{3}-3\frac{(x+y)^{2}}{2}+\sqrt{(x+y)^{2}}=4$

Ta có

$\sqrt{(a^{2}+\frac{1}{b^{2}})(\frac{1}{4}+4)}\geq \frac{a}{2}+2b$

$\Rightarrow P.\frac{\sqrt{17}}{2}\geq \frac{a+b+c}{2}+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{a+b+c}{2}+\frac{18}{a+b+c}$

$=\frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{8(a+b+c)}+\frac{135}{8(a+b+c)}\geq \frac{51}{4}$

$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

Ta có

$(5x^{2}+4y^{2}+3z^{2})(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3})\geq (x+y+z)^{2}$

Giả sử $a,b$ là các số thực dương thỏa điều kiện $a+b\geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b^{3}}{(a+1)^{2}}$

ta có

$\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự rồi cộng vế ta được

$VT+\frac{a+b+2}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b)$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}$

$\boxed{\textrm{Chuyên Đề 2}}$   $\boxed{\textrm{BĐT Cô Si}}$

$\boxed{\textrm{Bài 1}}$ Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$

a) Tìm min $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

b) Tìm min $a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}$

$\boxed{\textrm{Bài 2}}$ Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$

CMR $\sum \frac{a}{b}\geq \sum a$

$\boxed{\textrm{Bài 3}}$ Cho a,b,c>0

Tìm Min $\frac{(a+b+c)^{6}}{ab^{2}c^{3}}$

Bài 1

a)

ta có$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\geq 2(a+b+c)=6$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

b)

ta có

$a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}+3.2015\geq 2016.(a+b+c)=2016.3$

$\Rightarrow VT\geq 3$

Bài 2

Ta có

$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=3a$

tương tự rồi cộng vế suy ra đpcm

Ta có

$\frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}=\frac{a^{2}b}{4a^{2}+b^{2}+4ab}\leq \frac{a^{2}b}{3a^{2}+6ab}=\frac{ab}{3a+6b}\leq \frac{1}{27}(a+2b)$

Tương tự rồi cộng vế ta được 

$P\leq \frac{1}{9}(a+b+c)=\frac{1}{3}$

Cho  $a,b,c\geq 0$ Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2ab+2bc+2ac$

Tại đây

https://diendantoanh...-đẳng-thức-phụ/

bđt 15

Cho a,b,c là hai số không âm thỏa mãn:a+b=ab.Cmr:

$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq \frac{21}{4}$

Từ gt $\Rightarrow a+b\geq 4$

Ta có

$VT\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2(a+b)}+1+ab=\frac{4}{(a+b)^{2}}+1+b+a=\frac{4}{(a+b)^{2}}+\frac{a+b}{16}+\frac{a+b}{16}+\frac{7}{8}(a+b)+1\geq \frac{21}{4}$

cho a,b >0 thõa mãn a+b=1

CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\geq 9$

ta có

$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\geq 1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^{2}}=9$

Cho $0\leq a,b,c\leq 3$ và a+b+c=4.Cmr:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 10$

BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3$

Không giảm tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \frac{4}{3}\leq a\leq 3$

Ta có $ab+bc+ca=bc+a(b+c)=bc+a(4-a)=bc+3+(a-1)(3-a)\geq 3$

suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(3,1,0)$ và các hoán vị

Do $\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}$ nên $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=\frac{b-c}{bc} & \\ b-c=\frac{c-a}{ca} & \\ c-a=\frac{a-b}{ab} & \end{matrix}\right.$(1)

$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(abc)^{2}}$

Do $abc\neq 1;-1$ nên $(a-b)(b-c)(c-a)=0$

$\begin{bmatrix} a=b & \\ b=c & \\ c=a & \end{bmatrix}$

Thay vào (1) ta có đpcm

help me 

tính $P=\sqrt{6+\sqrt{24}+\sqrt{12}+\sqrt{8}}-\sqrt{3}$

Ta có

$\sqrt{6+\sqrt{24}+\sqrt{12}+\sqrt{6}}=\sqrt{1+2+3+2\sqrt{1.2}+2\sqrt{2.3}+2\sqrt{3.1}}=\sqrt{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}}=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$

nên $P=\sqrt{2}+1$

Bài toán số 5 ( sưu tầm) : Tìm giới hạn : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt[4]{x^4-x+1}-2\sqrt[3]{x^3-x+1}}{x}$

 

Ta có

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt[4]{x^{4}-x+1}-2\sqrt[3]{x^{3}-x+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x^{2}-x+1}-1)+(\sqrt[4]{x^{4}-x+1}-1)-2(\sqrt[3]{x^{3}-x+1}-1)}{x}$

=$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+1}+\frac{x^{3}-1}{(\sqrt[4]{x^{4}-x+1}+1)(\sqrt[4]{(x^{4}-x+1)^{2}}+1)}-\frac{2(x^{2}-1)}{\sqrt[3]{(x^{3}-x+1})^{2}+\sqrt[3]{x^{3}-x+1}+1})=\frac{-1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{-1}{12}$ (nhân liên hợp)

Bài toán số 8(sưu tầm)

Cho A;B là các góc nhọn thỏa mãn $sinB=2005cos(A+B).sinA$

Tìm max tanB.

P/s mong mọi người ủng hộ topic

Bài toán số 31 (sưu tầm ) : Cho tam giác ABC , Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn $MA^2+2MB^2-3MC^2=k$ ( k là số thực tùy ý ) 

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Ta có

$VT=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IB})^2-3(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{IC})^2$

=$IA^2+2IB^2-3IC^2=k$

Mình xin đóng góp 1 bài cho topic 

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $0< x\leq y\leq z\leq 3$, $yz\leq 6,xyz\leq 6$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x+y+z$

ta có

$6=1+2+3=x(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})+(y-x)(\frac{2}{y}+\frac{3}{z})+(z-y).\frac{3}{z}\geq x.3\sqrt[3]{\frac{6}{xyz}}+y.2\sqrt{\frac{6}{yz}}+(z-y).\frac{3}{z}\geq 3x+2(y-x)+z-y=x+y+z$

$\Rightarrow maxP=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2\\ z=3 \end{matrix}\right.$

Bài toán số 8(sưu tầm)

Cho A;B là các góc nhọn thỏa mãn $sinB=2005cos(A+B).sinA$

Tìm max tanB.

P/s mong mọi người ủng hộ topic

1 cách giải khác như sau

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng ta có

$sinB=2005cos(A+B).sinA=\frac{2005}{2}(sin(2A+B)+sin(-B))$

$\Rightarrow \frac{2007}{2}sinB=\frac{2005}{2}sin(2A+B)\Rightarrow sinB\leq \frac{2005}{2007}$

$\Rightarrow cosB\geq \sqrt{1-(\frac{2005}{2007})^{2}}$

Ta có

$tanB=\frac{sinB}{cosB}\leq \frac{\frac{2005}{2007}}{\sqrt{1-(\frac{2005}{2007})^{2}}}=\frac{2005\sqrt{2006}}{4012}$

Đẳng thức xảy ra $2A+B=90$