cho a,b >0 thõa mãn a+b=1
CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\geq 9$
ta có
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\geq 1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^{2}}=9$
Có 461 mục bởi trieutuyennham (Tìm giới hạn từ 27-04-2020)
Đã gửi bởi trieutuyennham on 17-08-2017 - 19:58 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b >0 thõa mãn a+b=1
CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\geq 9$
ta có
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\geq 1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^{2}}=9$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 03-11-2017 - 21:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là hai số không âm thỏa mãn:a+b=ab.Cmr:
$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq \frac{21}{4}$
Từ gt $\Rightarrow a+b\geq 4$
Ta có
$VT\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2(a+b)}+1+ab=\frac{4}{(a+b)^{2}}+1+b+a=\frac{4}{(a+b)^{2}}+\frac{a+b}{16}+\frac{a+b}{16}+\frac{7}{8}(a+b)+1\geq \frac{21}{4}$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 08-11-2017 - 17:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c\geq 0$ Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2ab+2bc+2ac$
Tại đây
https://diendantoanh...-đẳng-thức-phụ/
bđt 15
Đã gửi bởi trieutuyennham on 22-07-2017 - 21:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
Do $\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}$ nên $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=\frac{b-c}{bc} & \\ b-c=\frac{c-a}{ca} & \\ c-a=\frac{a-b}{ab} & \end{matrix}\right.$(1)
$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(abc)^{2}}$
Do $abc\neq 1;-1$ nên $(a-b)(b-c)(c-a)=0$
$\begin{bmatrix} a=b & \\ b=c & \\ c=a & \end{bmatrix}$
Thay vào (1) ta có đpcm
Đã gửi bởi trieutuyennham on 03-11-2017 - 21:07 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $0\leq a,b,c\leq 3$ và a+b+c=4.Cmr:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 10$
BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3$
Không giảm tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow \frac{4}{3}\leq a\leq 3$
Ta có $ab+bc+ca=bc+a(b+c)=bc+a(4-a)=bc+3+(a-1)(3-a)\geq 3$
suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(3,1,0)$ và các hoán vị
Đã gửi bởi trieutuyennham on 22-07-2017 - 21:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có
$2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{3}+y^{3})(x+y)$
$\Rightarrow VT\geq x+y+z=2008$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 23-11-2017 - 21:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^2}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^2}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^2}+1}$
Bạn xem lại đề đi BĐT sai rồi
Đã gửi bởi trieutuyennham on 06-09-2017 - 15:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Giúp mình bài này với!
Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn (a+1)(b+1)\geq 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=a+b.
Ta có
$64\leq (a+1)(b+1)=ab+a+b+1\Rightarrow 63\leq ab+a+b\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}+a+b\Rightarrow (a+b)^{2}+4(a+b)-252\geq 0\Leftrightarrow (a+b-14)(a+b+18)\geq 0\Rightarrow a+b\geq 14$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 15-09-2017 - 20:49 trong Số học
Mọi ngưòi chỉ giúp:Tìm số tự nhiên n được viết bởi 1 số 1, 2 số 2,..., 9 số 9 và n là lập phương 1 số tự nhiên.
Tổng các chữ số của n là $1^{2}+2^{2}+...+9^{2}=285$ chia 9 dư 6 nên n chia 9 dư 6
Mà lập phương của 1 số tự nhiên không chia 9 dư 6 nên không tồn tại số n thỏa mãn
Đã gửi bởi trieutuyennham on 24-07-2017 - 14:23 trong Số học
ta có
$n^{5}-11n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)-10n\vdots 5$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 12-08-2017 - 20:52 trong Đại số
help me
tính $P=\sqrt{6+\sqrt{24}+\sqrt{12}+\sqrt{8}}-\sqrt{3}$
Ta có
$\sqrt{6+\sqrt{24}+\sqrt{12}+\sqrt{6}}=\sqrt{1+2+3+2\sqrt{1.2}+2\sqrt{2.3}+2\sqrt{3.1}}=\sqrt{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}}=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$
nên $P=\sqrt{2}+1$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 17-12-2017 - 21:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho 1$\leq$a,b,c$\leq$2. Chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$. < kỳ thi chuyên Trần phú 2013-2014>
tại đây
Đã gửi bởi trieutuyennham on 11-11-2017 - 17:29 trong Chuyên đề toán THPT
Bài toán số 5 ( sưu tầm) : Tìm giới hạn : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt[4]{x^4-x+1}-2\sqrt[3]{x^3-x+1}}{x}$
Ta có
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt[4]{x^{4}-x+1}-2\sqrt[3]{x^{3}-x+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x^{2}-x+1}-1)+(\sqrt[4]{x^{4}-x+1}-1)-2(\sqrt[3]{x^{3}-x+1}-1)}{x}$
=$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+1}+\frac{x^{3}-1}{(\sqrt[4]{x^{4}-x+1}+1)(\sqrt[4]{(x^{4}-x+1)^{2}}+1)}-\frac{2(x^{2}-1)}{\sqrt[3]{(x^{3}-x+1})^{2}+\sqrt[3]{x^{3}-x+1}+1})=\frac{-1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{-1}{12}$ (nhân liên hợp)
Đã gửi bởi trieutuyennham on 08-11-2017 - 20:48 trong Chuyên đề toán THPT
Mình xin đóng góp 1 bài cho topic
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $0< x\leq y\leq z\leq 3$, $yz\leq 6,xyz\leq 6$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x+y+z$
ta có
$6=1+2+3=x(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})+(y-x)(\frac{2}{y}+\frac{3}{z})+(z-y).\frac{3}{z}\geq x.3\sqrt[3]{\frac{6}{xyz}}+y.2\sqrt{\frac{6}{yz}}+(z-y).\frac{3}{z}\geq 3x+2(y-x)+z-y=x+y+z$
$\Rightarrow maxP=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2\\ z=3 \end{matrix}\right.$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 14-12-2017 - 21:09 trong Chuyên đề toán THPT
Bài toán số 31 (sưu tầm ) : Cho tam giác ABC , Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn $MA^2+2MB^2-3MC^2=k$ ( k là số thực tùy ý )
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có
$VT=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IB})^2-3(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{IC})^2$
=$IA^2+2IB^2-3IC^2=k$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 13-11-2017 - 21:08 trong Chuyên đề toán THPT
Bài toán số 8(sưu tầm)
Cho A;B là các góc nhọn thỏa mãn $sinB=2005cos(A+B).sinA$
Tìm max tanB.
P/s mong mọi người ủng hộ topic
1 cách giải khác như sau
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng ta có
$sinB=2005cos(A+B).sinA=\frac{2005}{2}(sin(2A+B)+sin(-B))$
$\Rightarrow \frac{2007}{2}sinB=\frac{2005}{2}sin(2A+B)\Rightarrow sinB\leq \frac{2005}{2007}$
$\Rightarrow cosB\geq \sqrt{1-(\frac{2005}{2007})^{2}}$
Ta có
$tanB=\frac{sinB}{cosB}\leq \frac{\frac{2005}{2007}}{\sqrt{1-(\frac{2005}{2007})^{2}}}=\frac{2005\sqrt{2006}}{4012}$
Đẳng thức xảy ra $2A+B=90$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 11-11-2017 - 21:17 trong Chuyên đề toán THPT
Bài toán số 8(sưu tầm)
Cho A;B là các góc nhọn thỏa mãn $sinB=2005cos(A+B).sinA$
Tìm max tanB.
P/s mong mọi người ủng hộ topic
Đã gửi bởi trieutuyennham on 27-06-2017 - 14:11 trong Toán Tiểu học
kết quả là 160 đúng rồi
Đã gửi bởi trieutuyennham on 29-04-2018 - 09:32 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 41:GHPT
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=x^{2}+y^{2}+2 \end{matrix}\right.$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 05-05-2018 - 20:25 trong Tài liệu - Đề thi
$\boxed{\text{Bài 78}}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{(1-y)(1-x^2)}}+\frac{y}{\sqrt{(1-x)(1-y^2)}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{(1-x^2)(1-y^2)}}\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\sqrt{\frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)}} \end{matrix}\right$.
ĐK $-1< x;y< 1$
HPT tương đương
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \end{matrix}\right.$
Ta sẽ cm x;y đều dương
thật vậy nếu x;y cùng âm thì vô lý
nếu x;y có 1 số âm . Giả sử x dương;y âm
Ta có$x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}< x\leq 1$ (vô lý)
Vậy x;y cùng dương
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có
$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\leq \frac{x^{2}+y^{2}+2-x^{2}-y^{2}}{2}=1$
Dấu = xảy ra khi $x^{2}+y^{2}=1$ $\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$
Lại áp dụng cauchy-Schwarz ta có
$\sqrt{2+\sqrt{2}}=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(x+y+2)}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 18-05-2018 - 18:56 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 6: Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất với nó. CMR: Qua 1 điểm có không quá 5 đoạn thẳng
Đã gửi bởi trieutuyennham on 18-07-2017 - 21:06 trong Tài liệu - Đề thi
Ta có
$(5x^{2}+4y^{2}+3z^{2})(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3})\geq (x+y+z)^{2}$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 03-08-2017 - 21:09 trong Tài liệu - Đề thi
$\boxed{\textrm{Chuyên Đề 2}}$ $\boxed{\textrm{BĐT Cô Si}}$
$\boxed{\textrm{Bài 1}}$ Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$
a) Tìm min $a^{2}+b^{2}+c^{2}$
b) Tìm min $a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}$
$\boxed{\textrm{Bài 2}}$ Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$
CMR $\sum \frac{a}{b}\geq \sum a$
$\boxed{\textrm{Bài 3}}$ Cho a,b,c>0
Tìm Min $\frac{(a+b+c)^{6}}{ab^{2}c^{3}}$
Bài 1
a)
ta có$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\geq 2(a+b+c)=6$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
b)
ta có
$a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}+3.2015\geq 2016.(a+b+c)=2016.3$
$\Rightarrow VT\geq 3$
Bài 2
Ta có
$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=3a$
tương tự rồi cộng vế suy ra đpcm
Đã gửi bởi trieutuyennham on 20-07-2017 - 19:54 trong Tài liệu - Đề thi
Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn$x+y=2$. Tìm giá trị lớn nhất của
P = $x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$
Ta có
$P=x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=(x+y)^{2}-3xy(x+y)+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\geq (x+y)^{3}-3\frac{(x+y)^{2}}{2}+\sqrt{(x+y)^{2}}=4$
Đã gửi bởi trieutuyennham on 19-07-2017 - 20:24 trong Tài liệu - Đề thi
Ta có
$\sqrt{(a^{2}+\frac{1}{b^{2}})(\frac{1}{4}+4)}\geq \frac{a}{2}+2b$
$\Rightarrow P.\frac{\sqrt{17}}{2}\geq \frac{a+b+c}{2}+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{a+b+c}{2}+\frac{18}{a+b+c}$
$=\frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{8(a+b+c)}+\frac{135}{8(a+b+c)}\geq \frac{51}{4}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học