Lời giải toàn copy

Lời giải bất k copy nè 
2x+y ≥ 2xy

 

 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

   THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

                                                                                                               Môn:Toán (Vòng 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

$\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$

 

Câu 1 (3,5 điểm)

 

1)Giải hệ phương trình:

 

$$\left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=5 & & \\ 4x^2y+8xy^2+5x+10y=1& & \end{matrix}\right.$$

 

2)Giải phương trình:

 

$$\sqrt{5x^2+6x+5}=\frac{64x^3+4x}{5x^2+6x+6}$$

 

Câu 2 (2,5 điểm)

 

1)Với $x,y$ là những số nguyên thỏa mãn đẳng thức $\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}$.Chứng minh rằng:$x^2-y^2$ chia hết cho $40$

 

2)Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đẳng thức : 

 

$$x^4+2x^2=y^3$$

 

Câu 3 (3 điểm)

 

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ . $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $AD$ của đường tròn $(O)$ và $P$ khác $A,D$ .Các đường thẳng $PB,PC$ lần lược cắt $AD$ tại $M,N$ . Đường trung trực của $AM$ cắt đường thẳng $AC,PB$ lần lượt tại $E,K$ . Đường trung trực $DN$ cắt các đường thẳng $BD,PC$ lần lượt tại  $F,L$

 

a)Chứng minh ba điểm $K,O,L$ thẳng hàng

 

b)Chứng minh đường thẳng $PO$ đi qua trung điểm của đọa thẳng $EF$

 

c)Giả sử đường thẳng $EK$ cắt đường thẳng $BD$ tại $S$, các đường thẳng $FL$ và $AC$ cắt nhau tại $T$,đường thẳng $ST$ cắt các đường thẳng $PB,PC$ lần lượt tại $U$ và $V$ .Chứng minh rằng bốn điểm $K,L,V,U$ cùng thuộc một đường tròn

 

Câu 4  (1 điểm) 

 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 3$ luôn tồn tại  một cách xếp bộ  $n$ số $1,2,3,...,n$ thành $x_1,x_2,...,x_n$ sao cho $x_j\neq \frac{x_i+x_k}{2}$ với mọi bộ chỉ số $(i;j;k)$ mà $1\leq i<j<k\leq n$

 

                                                                 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

 

giống đề sư phạm lại k có bất

giống dãy Fibonacci

Sai đề r phải là <= 4 
PS cho b=2 a= 0,9 c = 0,1

Ta có $x_{n+2}-(x^2_{n+1}-x_{n+1}+1)=x_{n+1}-(x_n^2-x_n+1)=...=x_2-(x_1^2-x_1+1)=0$
Từ đó chứng minh được công thức $\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$
Từ đó suy ra  $b_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$
Chứng minh $x_n$ tăng $\Rightarrow \lim \frac{1}{x_{n+1}-1}=-\infty $ và chứng minh $b_n$ tăng, $b_n<\frac{1}{2}$  nên tồn tại $\lim$ và $\lim b_m =\frac{1}{2}$

anh giải thích cái chỗ từ giả thiết ta có .... được không a ?

xét  n = 1 2 3
xét n>=4 ta cm nếu n+1 không nguyên tố thì n! chia hết cho n+1
xét n+1 = a.b ( a khác b ) thì đúng
xét n+1 = a^2 thì vì n >=5 nên n>2a ( dễ dàng cm )
=> n! chia hết cho a^2 = n+1
xét n+1 không nguyên tố thì
gọi d là gcd( n!+1 , (n+1)! )
=> d | (n+1)!+n+1 => d|n+1 => d|n! => d|1
xét n+1 nguyên tố thì wilson => n+1 | n!+1 => gọi gcd ( n!+1 , (n+1)! )= q chia hết cho n+1
gs q = (n+1).k => vì q |(n+1)! => k|n! mà k|n!+1 => k =1 
kết luận

Sơ cấp hay cao cấp vậy anh

làm bài mở rộng 
gs n>x ( = nhau thì xong r)
khi đó với mọi p thuộc ước x thì p thuộc ước n ( p ng tố )
giả sử trong khai triển thành thừa số ng tố thì số mũ p trong x n lần lượt là a b
=>an=bx vì n>x => b>a=> n chia hết cho x => b chia hết cho a 
=> n=x^y=> x^xy=x^(x^y)=> x^y=xy => y=x^y-1
xét x=1 => ...
xét x>=2 
ta cm 2^y-1 >y với mọi y>3 ( cái này quy nạp dễ )
=> y=2 => x=2 và n =4 

dễ thấy a b c đều lẻ và khác 5  => a b c thuộc 1 3 7 9
đến đây thì 
xét 4 cặp thôi 

Bài 1 cần 100 số khác nhau 
bài 2 đề đoạn cuối là ?
bài 3 
xét a=b => a=b=1
xét a>b => a>=b+1
=> 2a>= 2b+2 >2b+1
=> 2b+1 chia hết cho a thì 2b+1  =a
thay ngược vào là ok
bài 4 xét đồng dư mod 5 là đc mà 
k đồng dư 1 -1 2 -2 đều có k²+1 hoặc k²+4 chia hết cho 5 và các số đó đều >5  => ..........

Bài 1 chia hết cho 5 thì thêm dễ r 
chia hết cho 7 thì có 579000 chia 7 dư 2 nên tìm các số có 3 chữ số chia 7 dư 5 sau làm tương tự với 9
Bài 2 thì gs có k chữ số 1
=> 1111..1=10^k-1/9 tức là tìm k để 10^k-1 chia hết cho 41 
tự tìm :V 
 

? 13^5 =5^13 hả bạn

nếu x có chứa số ng tố p thì n cũng phải có thì mới có x^n=n^x =))

bài 2 sử dụng cái tích k snt liên tiếp chia hết cho k!
từ đó có nếu n chẵn thì A không chia hết cho 4 còn n lẻ A không chia hết cho 5
do đó k<=4 nếu k =2 thì 4A +1 là scp cái này sd kẹp số chính phương còn k=4 thì A +1 là scp nên cx tương tự
với k=3 cũng sd kẹp cuối cùng thì =>...

bài 1 coi như số lớn nhất là 2015 sau đó mỗi lần giảm 17 đơn vị để có đc tổng 3 số nhỏ nhất <999

tức là số lớn nhất là 2006 ( hình như thế ) sau đó số thứ 2 sẽ <= 2006-17 số thứ 3 <= 2006-17x2 
................ số thứ 100 <= 2006-17.99
tổng 3 số 100, 99 ,98 <999

với x= 1 2 3 4 tự thử đc 

chặn bình phương thôi 

(x^2-4x+3)^2=x^4-8x^3+22x^2-24x+9=y^2-(x-1)^2<=y^2
(x^2-4x+5)^2=x^4-8x^3+26x^2-40x+25=y^2+3x^2-14x+15 > y^2 với x >= 5 
vì x khác 1 nên => y^2=(x^2-4x+4) = x^4-8x^3+24x^2-32x+16 => x^2-6x+6=0 => ...

sr nhầm 
2005 là số lớn nhất chia 17 dư 10 thì lúc đó 2005 là số lớn nhất
số tiếp theo <= 2005-17 cứ thế mà giảm thôi  

3 số lớn nhất < 2015 là 1965; 1982;1999 rồi mà cộng 3 số này > 999 thì làm sao mà luôn chọn đc 3 số tổng>999 đc. em k hiểu chỗ này lắm

2005 giảm 99 lần đc số bé nhất ( vì các số phân biệt mà )
98 lần đc chặn trên số bé 2 
97 lần được chặn trên số bé 3 
cộng 3 số này lại cơ
kiểu như là số lớn nhất <=2005 mà số bé thứ 3 <= số lớn nhất - 17. 97

chọn tam giác có diện tích nhỏ nhất

Có 
sắp xếp 2013 số đó đi cho tổng của 1007 số bé nhất > tổng của 1006 số còn lại + 2012
đáp số phải là mỗi số > 2012 + 1006²

cm đc n có 3 chữ số 
sau đó có S(n) là ước lớn nhất của n thì n/S(n) là ước  nguyên tố nhỏ nhất của n Có S(n) <= 27 
và  S(n) là số nguyên tố >= n/S(n) hoặc là tích của các số nguyên tố >= n/S(n)
Nếu n là số có 3 chữ số thì n/S(n) >=4 ( là số nguyên tố nên >=5 )
có S(n)^2 >= n nên giảm dần dần thì có n <= 441
cái này thử đc n/S(n) cho =  5 7 11 13 17 19 ( hơi nhiều nhưng mà k dài )
xét có 2 chữ số thì cũng tương tự
1 chữ số thì loại

P(x,y) là phép thế x y vào phương trình đã cho 
P( $x$ , $f(x)$) => $($0$) = f$(x^{2002}$-f($x$)) - $2001$ f²($x$) 
P( $x$ , $x^{2002}$ ) => f( $x^{2002}$ - f($x$) ) = f($0$) - $2001$ $x^{2002}$ f($x$)

Cộng theo vế
=> 2001 f($x$) ( f($x$) + $x^{2002}$ ) = 0
do đó f(x) = 0 với x nào đó hoặc = - $x^{2002}$
ta sẽ cm f(x) trùng 0 hoặc   - $x^{2002}$ 
giả sử đồng thời tồn tại a b sao cho ( a,b khác 0 ) f(a) =0 và f(b) = - $b^{2002}$ 

P(a,b) => f(b) = f( $a^{2002}$ - $b$ )
=>   -($a^{2002}$ - $b$ ) ^ {$2002$} = - $b^{2002}$  do đó 2b= $a^{2002}$
cố định a là sẽ có b tồn tại duy nhất sau đó thay đổi a sẽ chỉ ra điều vô lí ( biểu thức ràng buộc giữa a và b )
=> f(x) trùng 0 hoặc  - $x^{2002}$ 

VMO 2003 đã chỉ ra trường hợp 4 số là sai 
còn n = 3 thì 
3²+4²=4²+3²=5²+0²