Bài 5 cm f song ánh 
chia 2 trường hợp là f(0)=0 hoặc f(1)=0
với f(0)=0 
kì hiệu P(x,y) phép thế x y vào pt hàm ban đầu
P(x,0) => f(-f(x))= 2f(x)

P(-f(x),-f(y))=> f(2f(x)f(y)+2f(x))=4f(x)+f(x)f(y) vì f song ánh nên có thể đặt z=f(x) t=f(y)
=> f(2zt+2z)=4z+zt cho t=1 => f(4z)=5z thử lại vô lí
với f(1)=0 => f(0)=1 f(-1)=2  tính đc f(2)=-1
P(x,2)=> f(-(x+f(x)))= 2(f(x)+x)

P( f(x+f(x)) , 1) => f(x+f(x))=0 => x+f(x)=1 =>f(x)=1-x
f

Em làm sai xin sửa lại
phần a thì k=3
b) Ta cm với bảng 2nx2n thì max là nxn còn bảng 2n+1x2n+1 thì max là n(n+1) 
quy nạp n=3 4 k khó để chỉ ra đúng 
Giả sử đúng với 2nx2n 
xét bảng 2n+1x2n+1 
giả sử hàng 1 có a ô đen thì cột 1 cũng thế giả sử a >= n+1 thì cm cột cuối <= n ô đen ( ta có thể xếp cho a ô đen thành thứ tự từ dưới lên .) nếu hàng cuối có >=n+1 ô đen ta sẽ dễ dàng xác định đc toàn bảng và thấy nó < n(n+1)
nếu hàng dưới còn n ô dên theo giả thiết quy nạp có dpcm
với 2n-1x2n-1 đúng quy nạp lên 2nx2n tương tự
dpcm
PS e k vẽ đc hình nên hơi mơ hồ

 

 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

   THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

                                                                                                               Môn:Toán (Vòng 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

$\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$

 

Câu 1 (3,5 điểm)

 

1)Giải hệ phương trình:

 

$$\left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=5 & & \\ 4x^2y+8xy^2+5x+10y=1& & \end{matrix}\right.$$

 

2)Giải phương trình:

 

$$\sqrt{5x^2+6x+5}=\frac{64x^3+4x}{5x^2+6x+6}$$

 

Câu 2 (2,5 điểm)

 

1)Với $x,y$ là những số nguyên thỏa mãn đẳng thức $\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}$.Chứng minh rằng:$x^2-y^2$ chia hết cho $40$

 

2)Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đẳng thức : 

 

$$x^4+2x^2=y^3$$

 

Câu 3 (3 điểm)

 

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ . $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $AD$ của đường tròn $(O)$ và $P$ khác $A,D$ .Các đường thẳng $PB,PC$ lần lược cắt $AD$ tại $M,N$ . Đường trung trực của $AM$ cắt đường thẳng $AC,PB$ lần lượt tại $E,K$ . Đường trung trực $DN$ cắt các đường thẳng $BD,PC$ lần lượt tại  $F,L$

 

a)Chứng minh ba điểm $K,O,L$ thẳng hàng

 

b)Chứng minh đường thẳng $PO$ đi qua trung điểm của đọa thẳng $EF$

 

c)Giả sử đường thẳng $EK$ cắt đường thẳng $BD$ tại $S$, các đường thẳng $FL$ và $AC$ cắt nhau tại $T$,đường thẳng $ST$ cắt các đường thẳng $PB,PC$ lần lượt tại $U$ và $V$ .Chứng minh rằng bốn điểm $K,L,V,U$ cùng thuộc một đường tròn

 

Câu 4  (1 điểm) 

 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 3$ luôn tồn tại  một cách xếp bộ  $n$ số $1,2,3,...,n$ thành $x_1,x_2,...,x_n$ sao cho $x_j\neq \frac{x_i+x_k}{2}$ với mọi bộ chỉ số $(i;j;k)$ mà $1\leq i<j<k\leq n$

 

                                                                 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

 

giống đề sư phạm lại k có bất

anh giải thích cái chỗ từ giả thiết ta có .... được không a ?

Ta có $x_{n+2}-(x^2_{n+1}-x_{n+1}+1)=x_{n+1}-(x_n^2-x_n+1)=...=x_2-(x_1^2-x_1+1)=0$
Từ đó chứng minh được công thức $\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$
Từ đó suy ra  $b_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$
Chứng minh $x_n$ tăng $\Rightarrow \lim \frac{1}{x_{n+1}-1}=-\infty $ và chứng minh $b_n$ tăng, $b_n<\frac{1}{2}$  nên tồn tại $\lim$ và $\lim b_m =\frac{1}{2}$

Lời giải toàn copy

Lời giải bất k copy nè 
2x+y ≥ 2xy

Bài 4 

Ta có xếp 2n số thành 1 hàng thì tổng các số thứ tự của dãy là (2n+1)n
Cách 2
gọi thứ tự của cặp  số 1 2 ....... n lần lượt sẽ là
(a1,a1+2 ) ........ (ai , ai+i+1) ........... (an , an+n+1)
tổng là 2(a1+a2+......+an ) +n(n+3)/2

=> 2(a1+a2+........+an) + n(n+3)/2  =(2n+1)n
=> 3n^2 - n chia hết cho 4 hay là n^2+n chia hết cho 4

 

Theo lời giải anh Toàn e thử n=6 hoán vị 1 6 2 5 3 4 12 7 11 8 10 9

có hiệu mod 13 là 8 4 10 2 12 5 5 9 3 11 1 8 và thấy nó không thoả
cho hỏi e nhầm ở chỗ nào ạ  

bài 6 ta có thể xếp luôn 2n số lên đường tròn và cố định vị trí số 1 là 1 và 2n là n+1
ta có sắp xếp 1 , a2 , a3 ................. an , 2n
dễ gọi hiệu giữa các số ( 1 , a2 ) ( a2 a3) ........... (an 2n)
là i1 i2 .............. in

ta dễ thấy lấy trị tuyệt đối của i1 i2 ....... in thì nó là hoán vị của 1 2 .......... n và i1+i2+........+in = 1-2n
ta có thể chọn được để thoả ( nếu chọn đc thì có luôn đpcm)
ta xét 1+2+3+.....+n nếu nó đã lẻ thì ta đổi các dấu + thành - để có được 1-2n và chẵn thì ta chọn j và đổi j thành 2n+1-j sau làm như bước 1 
Lời giải khá mơ hồ và e thấy nó sai nhiều hơn là đúng 
 

Giải bài 5 

Ta chứng minh $a_{2n}=a_{i1}.a_{i2}.a_{i3}$ với $i_1 ; i_2 <=N$ với mọi n>N

Chứng minh điều này bằng quy nạp

 theo giả thiết 
$a_n=a_{i1}.a_{i2}.a_{i3} = a_{i1}.a_{i2}.a_{j1}.a_{j2}.a_{j3} <= a_{j1}.a_{j2}.a_{i1+i2+j3}$ với $j_1 , j_2$ <=N theo quy nạp 
đặt t = max căn bậc k của $a_k$

chọn m thoả như thế
ta cm m là số cần tìm 
ta đi cm $a_n= (a_m)^2.a_{n-2m}$
xét dãy $b_n = (a_m)^n / (a_n)^m$

dễ thấy  $b_n$ >=1 với mọi n
ta sẽ cm $b_n>= b_{n+2l}$

$b_{n+2l} = (a_l)^{n+2l} / )a_{n+2l})^l <= (a_l)^{n+2l} / (a_n)^l.(a_l)^{2l} = b_n $
lấy lim => dãy hằng từ 1 lúc nào đó và ta có đpcm 

lỗi latex ạ e cx k biết sửa 

sr nhầm 
2005 là số lớn nhất chia 17 dư 10 thì lúc đó 2005 là số lớn nhất
số tiếp theo <= 2005-17 cứ thế mà giảm thôi  

3 số lớn nhất < 2015 là 1965; 1982;1999 rồi mà cộng 3 số này > 999 thì làm sao mà luôn chọn đc 3 số tổng>999 đc. em k hiểu chỗ này lắm

2005 giảm 99 lần đc số bé nhất ( vì các số phân biệt mà )
98 lần đc chặn trên số bé 2 
97 lần được chặn trên số bé 3 
cộng 3 số này lại cơ
kiểu như là số lớn nhất <=2005 mà số bé thứ 3 <= số lớn nhất - 17. 97

tức là số lớn nhất là 2006 ( hình như thế ) sau đó số thứ 2 sẽ <= 2006-17 số thứ 3 <= 2006-17x2 
................ số thứ 100 <= 2006-17.99
tổng 3 số 100, 99 ,98 <999

bài 1 coi như số lớn nhất là 2015 sau đó mỗi lần giảm 17 đơn vị để có đc tổng 3 số nhỏ nhất <999

bài 2 sử dụng cái tích k snt liên tiếp chia hết cho k!
từ đó có nếu n chẵn thì A không chia hết cho 4 còn n lẻ A không chia hết cho 5
do đó k<=4 nếu k =2 thì 4A +1 là scp cái này sd kẹp số chính phương còn k=4 thì A +1 là scp nên cx tương tự
với k=3 cũng sd kẹp cuối cùng thì =>...

Bài 1 cần 100 số khác nhau 
bài 2 đề đoạn cuối là ?
bài 3 
xét a=b => a=b=1
xét a>b => a>=b+1
=> 2a>= 2b+2 >2b+1
=> 2b+1 chia hết cho a thì 2b+1  =a
thay ngược vào là ok
bài 4 xét đồng dư mod 5 là đc mà 
k đồng dư 1 -1 2 -2 đều có k²+1 hoặc k²+4 chia hết cho 5 và các số đó đều >5  => ..........

xét  n = 1 2 3
xét n>=4 ta cm nếu n+1 không nguyên tố thì n! chia hết cho n+1
xét n+1 = a.b ( a khác b ) thì đúng
xét n+1 = a^2 thì vì n >=5 nên n>2a ( dễ dàng cm )
=> n! chia hết cho a^2 = n+1
xét n+1 không nguyên tố thì
gọi d là gcd( n!+1 , (n+1)! )
=> d | (n+1)!+n+1 => d|n+1 => d|n! => d|1
xét n+1 nguyên tố thì wilson => n+1 | n!+1 => gọi gcd ( n!+1 , (n+1)! )= q chia hết cho n+1
gs q = (n+1).k => vì q |(n+1)! => k|n! mà k|n!+1 => k =1 
kết luận

làm bài mở rộng 
gs n>x ( = nhau thì xong r)
khi đó với mọi p thuộc ước x thì p thuộc ước n ( p ng tố )
giả sử trong khai triển thành thừa số ng tố thì số mũ p trong x n lần lượt là a b
=>an=bx vì n>x => b>a=> n chia hết cho x => b chia hết cho a 
=> n=x^y=> x^xy=x^(x^y)=> x^y=xy => y=x^y-1
xét x=1 => ...
xét x>=2 
ta cm 2^y-1 >y với mọi y>3 ( cái này quy nạp dễ )
=> y=2 => x=2 và n =4 

? 13^5 =5^13 hả bạn

nếu x có chứa số ng tố p thì n cũng phải có thì mới có x^n=n^x =))

Sơ cấp hay cao cấp vậy anh

Có 
sắp xếp 2013 số đó đi cho tổng của 1007 số bé nhất > tổng của 1006 số còn lại + 2012
đáp số phải là mỗi số > 2012 + 1006²

sắp xếp như sau a1<a2<a3<..................<a2013
theo giả thiết
a1+a2+...................+a1007 < a1008+............+a2013+2012
có a1008 >= a2+1006 tương tự xây dựng là đc như trên

giống dãy Fibonacci

VMO 2003 đã chỉ ra trường hợp 4 số là sai 
còn n = 3 thì 
3²+4²=4²+3²=5²+0²