Giải

- Hàm số có điểm bất thường: x = 0

- Khi $x \rightarrow 0 $ thì: $\ln{(x + 1 + \sqrt{x^2 + x})} \sim x + \sqrt{x^2 + x} \sim \sqrt{x} > 0$

Mà $\int_{0}^{1}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$ hội tụ.

Do đó tích phân ban đầu hội tụ.

Giải

Giải

Vì đường thẳng $x = m$ không phải là tiếp tuyến của (C) nên:

Đường thẳng cần tìm có dạng là d: $y = kx + m$.

Gọi A$(x_o; y_o)$ là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, (d) là tiếp tuyến của (C) khi:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_o^4}{4} + \dfrac{x_o^2}{2} + 2 = kx_o + m\\x_o^3 + x_o = k\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m = - \dfrac{3}{4}x_o^4 - \dfrac{1}{2}x_o^2 + 2 \\ k = x_o^3 + x_o\end{matrix}\right. $

Theo giả thiết: $d_{(A; d)} = \dfrac{9}{4\sqrt{5}} \Leftrightarrow \dfrac{|m - 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \dfrac{9}{4\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left | - \dfrac{3}{4}x_o^4 - \dfrac{1}{2}x_o^2 + 2\right |}{\sqrt{x_o^2(x_o^2 + 1)^2 + 1}} = \dfrac{9}{4\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3x_o^4 + 2x_o^2 + 4}{\sqrt{x_o^2(x_o^2 + 1)^2 + 1}} = \dfrac{9}{\sqrt{5}}$

Đặt $x_o^2 = t \geq 0$, quy đồng và bình phương hai vế, ta có:

$5(3t^2 + 2t + 4)^2 = 1 + 81t(t + 1)^2$
 

$\Leftrightarrow 45t^4 - 21t^3 - 22t^2 - t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1)(45t^3 + 24t^2 + 2t + 1) \Leftrightarrow t = 1$
 

$\Rightarrow x = \pm 1 \Rightarrow \left[\begin{matrix}(d): y = 2x + \dfrac{3}{4}\\(d): y = - 2x + \dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.$

Giải

Gọi phương trình tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: (d): $y = kx + m$

Tọa độ tiếp điểm của (d) và (C) là: $M(x_o; y_o)$, ta có:

$\left\{\begin{matrix}k = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}\\kx_o + m = \dfrac{2x_o}{x_o + 2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}\\m = \dfrac{2x_o^2}{x_o + 2}\end{matrix}\right.$

Khi đó: (d) có phương trình: $y = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}x + \dfrac{2x_o^2}{(x_o + 2)^2}$

Khoảng cách từ A đến (d) được xác định bằng:
$d_{(A; (d))} = \dfrac{|-2k - 2 + m|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

$\Rightarrow d^2_{(A; (d))} = \dfrac{(2k - m + 2)^2}{k^2 + 1} = \dfrac{\left ( \dfrac{8}{(x_o + 2)^2} - \dfrac{2x_o^2}{(x_o + 2)^2} + 2\right )^2}{\dfrac{16}{(x_o + 2)^4} + 1}$

$\Leftrightarrow \dfrac{192}{25} = \dfrac{64(x_o + 2)^2}{(x_o + 2)^4 + 16}$

Đặt $a = (x_o + 2)^2$, ta được:
$\dfrac{3}{25} = \dfrac{a}{a^2 + 16} \Leftrightarrow 3a^2 - 25a + 48 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = \dfrac{16}{3}\\a = 3\end{matrix}\right.$

Việc còn lại là thay vào Bạn thử kiểm tra lại kết quả cái nhé.

Tớ thử làm theo cách khác nhé.
Dễ dàng tính được $BC = SA = 2a$

Đặt

$\vec{CA} = \vec{a}$; $\vec{CB} = \vec{b}$; $\vec{CS} = \vec{c}$

 
Suy ra:
$\bullet \,\, \overrightarrow{b}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\overrightarrow{c} = 0$

$\bullet \,\, \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = a\sqrt{2}.2a.\cos{45^o} = 2a^2$

$\bullet \,\, \left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{c} \right | = a\sqrt{2}; \left | \overrightarrow{b} \right | = 2a$

Ta có:

Từ đó suy ra:
$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}$

$\,\,\,\,\,\,\,\, = (\dfrac{x}{2a} - 1)\vec{a} + \dfrac{x}{2a}\vec{b} - \dfrac{x}{2a}\vec{c}$

Đặt $\dfrac{x}{2a} = k$, ta sẽ có:
$MN^2 = (k - 1)^2 (\vec{a})^2 + k^2(\vec{b})^2 + k^2(\vec{c})^2 + 2(k - 1).k\vec{a}\vec{b}$

$\,\,\,\,\, = (k - 1)^2.2a^2 + k^2.4a^2 + k^2.2a^2 + 2k(k - 1)2a^2$

$\,\,\,\,\, = 2a^2(6k^2 - 4k + 1) = 2a^2[(\sqrt{6}k - \dfrac{2}{\sqrt{6}})^2 + \dfrac{1}{3}] \geq \dfrac{2a^2}{3}$

Vậy: $MN_{min} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $k = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{2a}{3}$

Giải

Giải

Coi phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn là $\sqrt{x}$ và y là tham số. Khi đó, ta có:
$\Delta' = (2 + y)^2 - 5(y^2 + 1) = -4y^2 + 4y - 1 = - (2y - 1)^2 \leq 0$

Để tồn tại giá trị $\sqrt{x}$ thì $\Delta \geq 0$.

Vì vậy $\Delta = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}$

Từ đó suy ra được x.

Giải

Giải

Trường hợp 1. BO // CD

Qua M, dựng MK song song với BO . Suy ra: MK //CD.

Suy ra: K $\in$ (MCD)

Vậy: CDK chính là thiết diện của (CDM) với hình chóp.

Trường hợp 2. BO cắt CD

Trên mặt phẳng (BCD)¸ gọi H = BO $\cap$ CD

Trên mặt phẳng (BAH), kéo dài HM cắt AB tại K. (K thuộc đoạn thẳng AB)

Nối K với C và D, tam giác CDK chính là thiết diện tạo bởi (CDM) với hình chóp.

Thật vậy:

Vì H $\in$ CD nên H $\in$ (CDM) mà M $\in$ (CDM)

Vì vậy K = MH $\cap$ AB $\in$ (CDM)

Do đó: CKD chính là thiết diện cần tìm.

Chú ý rằng: Ở cả 2 TH, nếu K nằm ngoài đoạn AB thì (CDM) có thiết diện với hình chóp là đoạn CD

Giải

Giải

Gọi x là số lớp ($x \in N^*$).

Số lượng thông cần trồng là: 25x - 20

Số lượng bạch đàn cần trồng là: 40x + 20

Theo đề bài, số cây thông và bạch đàn được giao số lượng bằng nhau. Do đó:
$25x - 20 = 40x + 20 \Leftrightarrow x = - \dfrac{8}{3}$

?! Sao vậy nhỉ?

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là $X = \bar{ab}$.

Theo giả thiết: $X$ $\vdots$ $(a.b)$

Tức là $10a + b$ $\vdots$ $(a.b)$

Do đó, ta phải có: $b$ $\vdots$ $a$ và $10a$ $\vdots$ $b$

Đặt $b = ka$, $k \in N$, $k \in [1; 9]$.

Suy ra $10a$ chia kết cho $ka$. Khi đó, k nhận các giá trị 1, 2, 5.

- Nếu k = 1, thử lại các số 11, 22, 33 ... 99. Ta nhận nghiệm: X = 11

- Nếu k = 2, thử lại các số 12, 24, 36, 48. Ta nhận nghiệm X = 12, 24, 36

- Nếu k = 5. Suy ra X = 15 (thỏa mãn)

Vậy có 5 số thỏa mãn đề bài là 11, 12, 15, 24 và 36

Giải

Ta có:
$S = \cos{3A} + 2\cos{A} + \cos{2B} + \cos{2C}$

$S = \cos{3A} + 2\cos{A} + 2\cos{\left ( B + C\right )}\cos{\left ( B - C\right )}$

$S = \cos{3A} + 2\cos{A}\left [1 - \cos{\left ( B - C\right )} \right ]$ (Vì $A + B + C = 180^o$ nên $\cos{\left (B + C \right )} = -\cos{A}$)

Do tam giác ABC nhọn nên $\cos{A} > 0 \Rightarrow S \geq - 1$.

Vậy: $Min_S = -1$. Dấu "=" xảy ra khi: $\cos{3A} = -1; \cos{\left (B - C\right )} = 1 \Leftrightarrow A = B = C = 60^o$

Giải

Bài 14. Không biết đề có đúng không nhỉ? Nếu hệ số tự do của phương trình thứ hai  là + 30 thì có thể xem qua ý tưởng sau.

Bài 132: $\sqrt[6]{6x-5}=\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}$

Giải

ĐK: $\left\{\begin{matrix} x \geq \dfrac{5}{6}& \\8x^2 - 10x + 3 \neq 0 & \end{matrix}\right.$

Nhận thấy:
$VT = \sqrt[6]{6x - 5} \leq \dfrac{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6x - 5}{6} = x$

Vì vậy, để phương trình ban đầu có nghiệm thì:

$\dfrac{x^7}{8x^2 - 10x + 3} \leq x $

$\Leftrightarrow x^6 - 8x^2 + 10x - 3 \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 - 7x + 3) \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)^2(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3) \leq 0 \, (\bigstar)$

Nhận thấy:
$x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3 = (x^2 + x)^2 + 2(x + 1)^2 - 5 > 0 \, \forall \, x \geq \dfrac{5}{6}$
Vì vậy, $\bigstar$ xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Thử lại, ta nhận giá trị này.

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

@HaManhHuu:
Do $S^2 = P(S + 3)$ nên $S > 0 \Rightarrow P > 0$

Giải

Anh không giỏi phần này lắm đâu! Có sai thì thôi nhé