Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O;r)$. Gọi đường tròn $(I;R)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. Đường tròn $(O;r)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, đường tròn $(I;R)$ tiếp xúc với $BC$ tại $E$.
a) CMR: $BC\geq 2\sqrt{Rr}$
b) CMR: đường thẳng đi qua $O$ và trung điểm của $AD$ đi qua trung điểm của $DE$

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$. Tính $f(f(x))$ và $f(f(f(\frac{1}{3})))$

Vẽ đồ thị hàm số $f(x)=||x-1|-1|$

Cho $f(x)$ thỏa mãn $f(x)+3-f(1-x)=x$. Tính $f(1)$

Đặt $(x,y,z)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
$\Rightarrow xyz=1$
BĐt đã cho được viết lại thành $x^2+y^2+z^2+3\geq 2(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ với $xyz=1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+xz)$
Nhưng trên là 1 bđt vô cùng cơ bản
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$ ?

Bạn chứng minh bất đẳng thức bạn gọi là cơ bản dùm mình được không?

Cho đường tròn $(O;R)$ tiếp xúc ngoài $(O';r)$ tại $A$. Vẽ hai tia $Ax\perp Ay$ cắt $(O;R)$ và $(O;r)$ lần lượt tại $B$ và $C$. Tính giá trị lớn nhất của $S_{ABC}$

Cho $A$ là một điểm cố định trên đường tròn $(O;1)$. $M$ là điểm sao cho $\Delta AMB$ vuông ở $M$ ($AB$ là dây của $(O;1)$). Tính $GTLN$ của $OM$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, các đường thẳng $AO, BO, CO$ cắt $BC, AC, AB$ lần lượt tại $A', B', C'$. Tìm $GTNN$ của $OA'+OB'+OC'$ theo $R$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AC\perp BD$ tại $I$ ($I\neq O$). Tìm vị trí của $ABCD$ để $S_{ICD}$ lớn nhất

Gợi ý:

Gọi E là trung điểm của AB. Đặt AE = x. Ta có: $OM \le OE + EM = x + \sqrt {{R^2} - {x^2}} \le R\sqrt 2 $

Chỗ này dùng Cauchy ngược dấu hả bạn? $x + \sqrt {{R^2} - {x^2}} \le R\sqrt 2 $
____________________________
Beautifulsunrise: Không, Bunhiacopsky

..............................................................
=> $3{R^2} = 3O{G^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}$
Do vậy: $OA' + OB' + OC' \ge \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Anh ơi, anh có thể không dùng vecto được không? Em cần cách của THCS.

Hello các anh chị e!!! Mình có bài muốn hỏi các bạn! Cùng thảo luận nhé
Bài 1:
Tính giá trị của biểu thức: M = $3a^{2}-6a\sqrt{3}+2$ với a = 3 + $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Với bài này ta có thể thay vào tính trực tiếp. Còn không thì qua từng bước một.

Ta có $a=3+\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3a^2=28+6\sqrt{3}$
$6a\sqrt{3}=6\sqrt{3}(3+\frac{1}{\sqrt{3}})=18\sqrt{3}+6$
$\Rightarrow M=3a^2-6a\sqrt{3}+2=28+6\sqrt{3}-18\sqrt{3}-6+2=24-12\sqrt{3}$
Mặt khác: $24-12\sqrt{3}=18-2.3\sqrt{2}.\sqrt{6}+6=(3\sqrt{2}-\sqrt{6})^2$
Vậy $M=(3\sqrt{2}-\sqrt{6})^2$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN TOÁN (Chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+6x=6y\\ y^2+9=2xy \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^2-1$
Câu 2 a) Cho các số $a, b, c, x, y, z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\ \frac{a}{x^3}=\frac{b}{y^3}=\frac{c}{z^3} \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
b) Tìm số nguyên $m$ để phương trình $x^2+m(1-m)x-3m-1=0$ có nghiệm nguyên.
Câu 3 Tam giác $ABC$ có góc $B, C$ nhọn, góc $A$ nhỏ hơn $45^o$, nội tiếp đường tròn tâm $O$, $H$ là trực tâm. $M$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$ ($M$ không trùng với $B, C$). Gọi $N, P$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB, AC$.
a) Chứng minh tứ giác $AHCP$ nội tiếp đường tròn và $3$ điểm $N, H, P$ thẳng hàng.
b) Tìm vị trí của $M$ để diện tích tam giác $ANP$ lớn nhất.
Câu 4 Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $abc=8$.
Chứng minh: $\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$.
Câu 5 Cho $2012$ số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_{2012}$ có tính chất tổng của $1008$ số bất kì lớn hơn tổng của $1004$ số còn lại. Chứng minh rằng trong $2012$ số thực đã cho có ít nhất $2009$ số thực dương.

cho tam giác ABC nhọn, từ I ở miền trong tam giác kẻ IH,IK,IL lần lượt vuông góc với BC,CA,AB
tìm vị trí của I để AL^2+BH^2+CK^2 nhỏ nhất

Xin lỗi bạn vì mình cũng đang bận nên chưa vẽ được hình up lên cho bạn, bạn thông cảm nha.
Bài giải:

Áp dụng định lí $Pythagore$ ta có:
$AL^2+LI^2=AK^2+KI^2 (=AI^2)$
$BH^2+HI^2=BL^2+LI^2 (=BI^2)$
$CK^2+KI^2=CH^2+HI^2 (=CI^2)$
Cộng vế theo vế của các đẳng thức trên ta được:
$(AL^2+BH^2+CK^2)+(LI^2+HI^2+KI^2)=(AK^2+BL^2+CH^2)+(LI^2+HI^2+KI^2)$
$\Rightarrow AL^2+BH^2+CK^2=AK^2+BL^2+CH^2$
$\Rightarrow 2(AL^2+BH^2+CK^2)=(AL^2+BL^2)+(BH^2+CH^2)+(CK^2+AK^2)$
Mặt khác:
$AL^2+BL^2\geq \frac{(AL+BL)^2}{2}=\frac{AB^2}{2}$
$BH^2+CH^2\geq \frac{(BH+CH)^2}{2}=\frac{BC^2}{2}$
$CK^2+AK^2\geq \frac{(CK+AK)^2}{2}=\frac{CA^2}{2}$
$\Rightarrow (AL^2+BL^2)+(BH^2+CH^2)+(CK^2+AK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}$
$\Rightarrow 2(AL^2+BH^2+CK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}$
$\Rightarrow (AL^2+BH^2+CK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} AL=BL\\ BH=CH\\ CK=AK \end{matrix}\right.$ hay $I$ là giao của ba đường trung trực, tức $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Vậy $Min_{(AL^2+BH^2+CK^2)}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}$ khi và chỉ khi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Gợi ý:

a) Ta có: $BC = a = (p-b) + (p-c) \ge 2 \sqrt{(p-b)(p-c)}=2 \sqrt{Rr}$
b) Cho DO cắt (O) tại X, kẻ $XH \bot DO,~H \in AC $ vì 2 tam giác vuông OXH và IEC đồng dạng nên A, X, E thẳng hàng => đpcm

Anh có thể giúp em làm câu b rõ hơn chút được không ạ.

I. Phân tích:
Ta cần đánh giá tích ID.IC, để làm điều này ta nghĩ ngay đến công thức đặc trưng cho tứ giác nội tiếp ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại I là: $IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=DB^2=4R^2$. Chú ý là IC.IA = IB.ID = $R^2 - OI^2$

II. Gợi ý:
Ta có: $(R^2 - OI^2 )(\frac{1}{IC^2}+\frac{1}{ID^2})+IC^2+ID^2=4R^2$
$ \Rightarrow 4S(1+ \frac{R^2-OI^2}{4S^2} \le 4R^2)$
$ \Rightarrow .... $
III. Khai thác:
Tứ giác nội tiếp có 2 đường chéo vuông góc là 1 loại tứ giác đặc biệt nên có nhiều tính chất cũng rất đặc biệt bí mật.

Anh ơi, anh làm rõ hơn được không ạ, em cũng chỉ mới hiểu sơ sơ thôi ạ.

Cho đường thẳng: $(m-2)x+(m-1)y=1 (d_1)$. Chứng minh $(d_1)$ luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị $m$

Gợi ý:

a) Ta có: $BC = a = (p-b) + (p-c) \ge 2 \sqrt{(p-b)(p-c)}=2 \sqrt{Rr}$
b) Cho DO cắt (O) tại X, kẻ $XH \bot DO,~H \in AC $ vì 2 tam giác vuông OXH và IEC đồng dạng nên A, X, E thẳng hàng => đpcm

ak bạn ơi, chỗ này là sao nhỉ $\sqrt{(p-b)(p-c)}=2 \sqrt{Rr}$?

Gợi ý:

Gọi E là trung điểm của AB. Đặt AE = x. Ta có: $OM \le OE + EM = x + \sqrt {{R^2} - {x^2}} \le R\sqrt 2 $

Chỗ này nên nói dấu $"="$ xảy ra như thế nào bạn?

Gợi ý:

Kẻ BD, CE lần lượt vuông góc với OO'. Đặt AE = x, HE = y. Dựa vào tam giác đồng dạng tính được:
$AB^2 = \frac{{2{R^2}}}{r}.y;\,\,\,AC^2 = 2rx$. Chú ý: x + y = 2r.
Ta có: $Max(S_{ABC}) = Rr. $ <=> x = y.

$AB^2 = \frac{{2{R^2}}}{r}.y$ thì c/m thế nào bạn? Bạn thông cảm tí nha, mình hơi chậm hiểu tí!

Em xin được đăng kí tham gia khóa học, mong rằng trình độ $LATEX$ sẽ được cải thiện.

Dựng $\Delta ABC$ biết $AB=2a;OH=c$ ($O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, $H$ là trực tâm), $OH//AB$.

Dựng $1$ đường tròn tiếp xúc với $1$ đường tròn cho trước tại $1$ điểm cho trước và tiếp xúc với $1$ đường thẳng cho trước không cắt đường tròn đã cho.

Cho $A$ và $B$ là hai điểm trong $\widehat{xOy}$. Dựng đường tròn đi qua $2$ điểm đó và định ra trên $Ox$ và $Oy$ $2$ dây bằng nhau.