Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp ($O;R$), $M$ là một điểm thay đổi trên đường tròn. Đặt $S=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$

a) Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình chữ nhật khi và chỉ khi $S$ là một hằng số

b) Khi $ABCD$ không phải là hình chữ nhật hãy xác định vị trí điểm $M$ sao cho $S_{Max}$ và $S_{Min}$

Cho $BC$ là dây cung cố định của đường tròn $(O;R)$ ($BC\neq 2R$). $A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$. $M$ là điểm trên dây $AC$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AC$. Vẽ $MN\perp AB$ tại $N$. Xác định vị trí điểm $A$ để $CN$ lớn nhất

Cho hình vuông $ABCD$ và điểm $M$ bất kì trên cạnh $CD$. Đường phân giác của góc $ABM$ cắt $AD$ tại $N$. Xác định vị trí của điểm $M$ sao cho tỉ số $\frac{BN}{MN}$ lớn nhất

 

<Trích đề thi chọn HSG lớp 9 TP. Thanh Hóa _ 2007 - 2008>

Cho (O) đường kính AB=2R, C là trung điểm của OA, dây MN vuông góc với OA tại C. K là là môyj điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, AK giao MN tại H

a) c/m tứ giác BCHK nội tiếp.

b) tính tích AH.AK theo R.

c) xác định vị trí của K để tổng (KM+KN+KB) đạt GTLN và tính GTLN đó?

 

cảm ơn nha ! mình làm được phần a, b rồi giúp mình phần c nhé!

--

MOD:Ối dồi ôi,chữ nhỏ thôi

c) Trước tiên ta cần chứng minh $\Delta BMN$ đều

Từ giả thiết suy ra: $CO=\frac{ON}{2}=\frac{OM}{2}$ và $OC\perp MN$

$\Rightarrow \widehat{NOC}=\widehat{MOC}=60^o\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{NBA}=30^o\Rightarrow \widehat{MBN}=60^o$            ($1$)

Ta lại có: $CO\perp MN (2) \Rightarrow CM=CN (3)$

Từ ($2$) và ($3$) $\Rightarrow \Delta BMN$ cân  ($4$)

Từ ($1$) và ($4$) $\Rightarrow \Delta BMN$ đều

 

Trên đoạn $KN$ lấy điểm $E$ sao cho $MK=KE$ ($5$)

Ta có: $\widehat{MKE}=\widehat{MBN}=60^o\Rightarrow \Delta MKE$ đều $\Rightarrow MK=ME$

Ta còn có: $MN=BM$ và $\widehat{NME}=\widehat{BMK}$ (cùng hợp với $\widehat{EMB}$ một góc $60^o$)

$\Rightarrow \Delta MNE=\Delta MBK (c-g-c) \Rightarrow EN=KB$  ($6$)

Từ ($5$) và ($6$) suy ra: $KM+KN+KB=2KN$

Do đó $KM+KN+KB$ lớn nhất khi và chỉ khi $KN$ lớn nhất, điều đó xảy ra khi $KN$ là đường kính của đường tròn tức $KN=2R$

Vậy $Max_{(KM+KN+KB)}=4R$ khi $K$ là giao của $NO$ và đường tròn $(O)$

Cho mình hỏi với x = 809.4 thì R(x) = 3238.6 chứ

 

Ủa, vậy đó là dấu phẩy ak. Mình tưởng là dấu nhân...        sr bạn nha...

1/Xác định phần dư $r(x)$ khi chia đa thức $1 + x + x^{9} + x_{49} + x^{81}$ cho đa thức $x^{3} - x$

2/Tính giá trị của đa thức $r(x)$ tại $x = 809.4$

 

1) Đặt $f(x)=x^{81}+x^{49}+x^{9}+x+1$

 

Gọi $Q(x)$ là đa thức thương và $R(x)=ax^2+bx+c$ là đa thức dư của phép chia $f(x)$ cho $x^3-x$

 

Ta có: $f(x)=(x^3-x).Q(x)+R(x)\Rightarrow f(x)=x(x-1)(x+1).Q(x)+ax^2+bx+c$

 

Từ đó ta có: $\left\{\begin{matrix} f(0)=c=1\\ f(-1)=a-b+c=-3\\ f(1)=a+b+c=5 \end{matrix}\right.$

 

                   $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=4\\ c=1 \end{matrix}\right.$

 

Vậy $R(x)=4x+1$

 

b) Với $x=809,4$ ta có $R(x)=3238,6$

Cho lục giác đều $ABCDEF$. $K$ là giao điểm của $BD$ và $CF$. $M$ là trung điểm của $EF$. Xác định dạng của $\Delta AKM$

Ai có đề thi học sinh giỏi toán 11 tỉnh Hà Tĩnh không có mình với! (hoặc link)

Vẽ đồ thị hàm số $f(x)=||x-1|-1|$

Xin được đóng góp cho topic một phương pháp: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ

* Cách 1. Tìm một nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Thí dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$ $(1)$
Lời giải : Điều kiện $x<2$
Với phương trình dạng này ta thường dự đoán nghiệm là các giá trị của $x$ mà biểu thức dưới căn nhận giá trị là một số chính phương. Nhận thấy nghiệm của $(1)$ phải lớn hơn $1$. Bằng cách thử ta thấy rằng $(1)$ có một nghiệm là $x=\frac{3}{2}$. Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của $(1)$. Thật vậy:
- Với $x< \frac{3}{2}$ ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}<2$ và $\sqrt{\frac{8}{2-x}}<4$. Do đó $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}<6$
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( -\infty ;\frac{3}{2} \right )$
- Với $\frac{3}{2}<x<2$, chứng minh tương tự ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}>6$.
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( \frac{3}{2};2 \right )$
Vậy PT $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{3}{2}$
* Muốn giải phương trình bằng cách đánh giá thì điều quan trọng là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán nghiệm ta nên chỉ ra khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm trong đó.
* Cách 2. Đánh giá hai vế
Xét phương trình $f(x)=g(x)$ xác định trên $D$.
Nếu $\left\{\begin{matrix} f(x)\geq m(x)\\ g(x)\leq m(x) \end{matrix}\right. \forall x\in D$ thì $f(x)=g(x)$ với $x\in D\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=m(x)\\ g(x)=m(x) \end{matrix}\right.$
Trong cách đánh giá này ta thường dùng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá hai vế. Sau đây là một thí dụ minh họa.
Thí dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$ $(2)$
Lời giải: Điều kiện: $0\leq x\leq 2$. Đặt $t=(x-1)^2$, ta có $0\leq t\leq 1$. PT $(2)$ trở thành
$$\sqrt{1+\sqrt{1-t}}+\sqrt{1-\sqrt{1-t}}=2t^2(2t-1)$$
Nhận thấy: $2t-1\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{1}{2}$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được:
$$1+\sqrt{t}=2t^4(2t-1)^2\Leftrightarrow \frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}=2(2t-1)^2$$
Vì $t\leq 1$ nên $\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}\geq 2$. Từ đó suy ra $t=1\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn ĐK).
Vậy nghiệm của phương trình $(2)$ là $x=2$.
Thí dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$ $(3)$
Lời giải: Điều kiện là $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Gọi vế trái và vế phải của $(3)$ thứ tự là $A$ và $B$.
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ cho hai bộ số $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$ ta có:
$$A\leq \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$. Do $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $5x^2-x>0$. Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có:
$$B=\frac{1}{2\sqrt{2}}[5x^2-x+2(x^2+2)]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^2-x)2(x^2+2)}=\sqrt{(5x^2-x)(x^2+2)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$ và $x=\frac{4}{3}$.
Vậy nghiệm của PT $(3)$ là $x=-1$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:x-y=0$ , đường tròn ($C$) có bán kính $R=\sqrt{10}$ cắt $d$ tại $2$ điểm $A,B$ sao cho $AB=4\sqrt{2}$. Tiếp tuyến của ($C$) tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $1$ điểm thuộc tia $Oy$. Viết pt đường tròn ($C$)

Chào các bạn, hiện tại mình đang có một số quyển sách tham khảo toán phổ thông không dùng đến (vì không có thời gian đọc, toàn lo bài vở trên lớp với đi chơi ). Mà sách vở cứ để không như thế thì phí phạm tri thức quá. Vậy nên mình xin được được tặng lại cho anh em trong diễn đàn, hy vọng nó sẽ giúp ích cho mọi người

Danh sách các quyển sách gồm:

- Sáng tạo bất đẳng thức, của anh Phạm Kim Hùng
- Phân loại phương pháp giải toán bất đẳng thức của anh Cẩn và anh Quốc Anh.
- Vẻ đẹp của Bất đẳng thức trong các kì thi Olympic toán học của anh Cẩn và anh QA.
- Các quyển sách của thầy Nguyễn Hữu Điển: sáng tạo trong giải toán phổ thông, những pp điển hình trong giải toán phổ thông, một số chuyên đề hình học tổ hợp.
- Phương trình nguyện nguyên của thầy Phan Huy Khải.
- Cuối cùng là 2 cuốn tuyển tập tạp chí THTT hai năm 2006, 2007 (đóng 12 số thành một cuốn lớn có bìa nhìn chất lắm :x)


Mọi người ai muốn những quyển nào có thể đưa cho mình địa chỉ rồi mình sẽ gửi qua đường bưu điện. Các bạn có thể gửi địa chỉ trong topic này hoặc qua PM đều được

 

Mình đang tìm mấy cuốn có trong danh sách này, bạn có thể để lại cho mình k?

Tìm x,y nguyên thỏa mãn $\sqrt{xy}= 2\left ( y-\sqrt{x}-1 \right )$ ($1$)

ĐK: $x=0,y\in \mathbb{Z}$ hoặc $x>0,y\geq 0$.

- Nếu $x=0$, thay vào ta có $y=1$ thỏa mãn.

- Nếu $x>0,y\geq 0$,ta có:

$(1)\Rightarrow xy=4(y-\sqrt{x}-1)^2=4y^2+4x+4-8y\sqrt{x}+8\sqrt{x}-8y$

$\Leftrightarrow (8y-8)\sqrt{x}=4y^2-8y+4x-xy+4$  ($2$)

Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên ($2$) chỉ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} 8y-8=0\\ 4y^2-8y+4x-xy+4=0 \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm được $y=1$ thay vào phương trình dưới ta có $x=0$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $(x;y)=(0;1)$

Cho một đa giác lồi có chu vi bằng $1$.Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính $\frac{1}{4}$ chứa toàn bộ đa giác đó.

 

Gọi $A, B$ là hai điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho $A,B$ chia biên đa giác thành hai đường gấp khúc có độ dài bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}$.

 

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Vẽ hình tròn tâm $O$ bán kính $R=\frac{1}{4}$

 

Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho.

 

Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm $M$ thuộc cạnh đa giác và $M$ nằm ngoài hình tròn $\left ( O;\frac{1}{4} \right )$

 

Khi đó $MA+MB\leq \frac{1}{2}$ (độ dài đường gấp khúc chứa điểm $M$)   ($1$)

 

Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$. Ta có: $MA+MB=MA+AN\geq MN> 2R=\frac{1}{2}$   ($2$)

 

Vì ($1$) và ($2$) mâu thuẫn, suy ra điều phải chứng minh.

Cho một đa giác lồi có chu vi bằng $1$.Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính $\frac{1}{4}$ chứa toàn bộ đa giác đó.

 

Lấy điểm $A$ trên biên của đa giác. Lấy điểm $B$ trên biên đa giác sao cho $AB$ chia chu vi đa giác thành hai phần có độ dài mỗi phần bằng $\frac{1}{2}$.

 

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Giả sử $M$ là một điểm tùy ý thuộc biên hoặc miền trong đa giác, lấy $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$.

 

Tứ giác $AMBM'$ là hình bình hành và $AM+MB<\frac{1}{2}$ mà $MM'<AM+MB \Rightarrow MM'<\frac{1}{2} \Rightarrow OM<\frac{1}{4}$ nên $M$ nằm trong đường tròn tâm $O$ bán kính $r=\frac{1}{4}$, suy ra $đpcm$

Một tứ giác có bốn cạnh là 4 số tự nhiên sao cho tổng của 3 số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại.Chứng minh tứ giác này có hai cạnh bằng nhau.

 

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là $a,b,c,d(a,b,c,d\in \mathbb{N}^*)$ với $a>b>c>d$   ($*$)

 

Do tứ giác lồi nên $a<b+c+d<3a$ suy ra $2a<a+b+c+d<4a$

 

Từ giả thiết ta thấy $a+b+c+d$ chia hết cho các số $a,b,c,d$ nên $a+b+c+d=3a$   ($1$)

 

Đặt $a+b+c+d=mb$   ($2$) và $a+b+c+d=nc$   ($3$) với $m,n\in \mathbb{N}^*$

 

Do $a>b>c$ nên $n>m>3 \Rightarrow n\geq 5,m\geq 4$

 

Cộng vế theo vế ($1$), ($2$), ($3$) ta được

 

$3(a+b+c+d)=3a+mb+nc\geq 3a+4b+5c\Rightarrow (b-d)+2(c-d)\leq 0$ mẫu thuẫn với ($*$)

 

Vậy tứ giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

Cho mình hỏi các pro cái nha! Thanhs very much...

1. Cho    f_(x) +f_{($\left ( \frac{1}{1-x} \right )$) = x   ($1$)}

     _{Xác định công thức tính giá trị}  f_(x) theo x.

 

Đặt $\frac{1}{1-t}=x\Rightarrow \frac{t-1}{t}=\frac{1}{1-x}$

 

Khi đó từ ($1$) ta có:

 

$f\left ( \frac{1}{1-t} \right )+f\left ( \frac{t-1}{t} \right )=\frac{1}{1-t}$    ($2$)

 

Đặt $\frac{t-1}{t}=z\Rightarrow \frac{1}{1-t}=\frac{ z-1}{z}$

 

Khi đó từ ($2$) ta có:

 

$f\left ( \frac{ z-1}{z} \right )+f(z)=\frac{z-1}{z}$    ($3$)

 

Từ ($1$) ($2$) ($3$) suy ra ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

 

$\left\{\begin{matrix} f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x}\right )=x(4)\\ f\left ( \frac{1}{1-x} \right )+f\left ( \frac{x-1}{x} \right )=\frac{1}{1-x}(5)\\ f(x)+f\left (\frac{x-1}{x}\right )=\frac{x-1}{x}(6)\\ \end{matrix}\right.$

 

Lấy ($4$) cộng theo vế với ($6$), rồi trừ vế theo vế với ($5$), ta có:

 

$2f(x)=x+\frac{x-1}{x}-\frac{1}{1-x}$

 

$\Rightarrow f(x)=\frac{x^3-x+1}{x(x-1)}$    ($7$)

 

Thử lại ta thấy $f(x)$ xác định bởi ($7$) thỏa mãn ($1$), suy ra ($7$) là dạng của hàm số $f(x)$ cần tìm. Đó là hàm duy nhất cần tìm.

Cho mình hỏi các pro cái nha! Thanhs very much...

3. Cho f_(x) +3f_{($\frac{1}{x}$)} =$x^{2}$  (1)  xác định với x$\neq$0.

           Tính f₍₅₀₎ ; f₍₁₀₀₎

 

Đặt $x=\frac{1}{t}$ khi đó từ ($1$) ta có:

 

$f\left ( \frac{1}{t} \right )+3f(t)=\frac{1}{t^2}$

 

Vậy ta đi đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $f(x)$ và $f\left ( \frac{1}{x} \right )$ sau:

 

$\left\{\begin{matrix} f(x)+3f\left ( \frac{1}{x} \right )=x^2 (2)\\ 3f(x)+f\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{1}{x^2}(3) \end{matrix}\right.$

 

Nhân phương trình ($3$) với $3$ rồi trừ theo vế với ($2$) ta có:

 

$f(x)=\frac{3-x^4}{8x^2}$    ($4$)

 

Thử lại ta thấy ($4$) thỏa mãn ($1$), vậy nó là hàm số duy nhất cần tìm

a) SGK

b) ...

c) Định lí ptoleme

d) Đường thẳng Pascal.

 

Bạn có thể chứng minh luôn câu $d)$ được không?

Cho em hỏi bài này sao lại bị khóa ạhttp://diendantoanho...-endmatrixrigh/

 Cho em hỏi luôn bài này bị ai khóa và làm thế nào để mở lại được ạ

 

Bài bị khóa là vì cái tiêu đề đó bạn, nếu muốn mở thì liên hệ với ban quản trị, họ sẽ mở cho bạn.

Mình thấy đúng như thông báo... số lượng tham gia rất là ít, nhưng theo mình, BTC cũng nên thông cảm tí cho mọi nguời. Vì:
- Thứ nhất là bài học số hai xuất lò vào lúc 20h tối qua (12/1/2013) nên rất nhiều bạn vẫn còn chưa chưa kịp vào bài học, với lại đây cũng là thời gian rất muộn.
- Thứ hai là vì đây là bài học đầu tiên với $Latex$ ... nhiều người mới làm quen, nên cày mãi vẫn chưa xong bài thực hành chứ chưa hẳn là họ không tham gia. Đồng thời bài thực hành dài, nên soạn thảo xong cũng hoa cả mắt... làm cho nhiều người cũng thấy nản.
- Thứ ba là hoàn cảnh của mỗi người một khác nên có thể không chạy theo được, tức là không thể cứ ra bài học là vào học liền và làm bài thực hành liền được.

Phía trên là một số ý kiến đóng góp của mình (nói giúp cho mọi người tí), mong khóa học diễn ra thành công tốt đẹp để không phụ công lao của Nhóm hướng dẫn.
Đối với mình thì thấy bước đầu làm quen rất tốt lại hào hứng với bài thực hành. Mong rằng sau mỗi bài học sẽ có kèm theo bài thực hành nữa để nâng cao trình độ $LATEX$.
Chân thành cảm ơn!

Tất cả mọi người đăng ký đều mong nâng cao trình độ latex tuy nhiên vì đây là khóa học ngoài nên không thể để gây ảnh hưởng đến việc học tập và lao động được vậy nên em đề nghị BTC giảm bớt độ dày lịch học xuống. Một tuần có thể chỉ nên học khoảng 2 bài thui như vậy mọi người có điều kiện tham gia dễ hơn.

$LATEX$ rộng lớn lắm bạn ak, mình cũng có ý giống bạn, chỉ có điều mình nghĩ là ngoài việc tuần học 2 tiết thì nên học thêm 3 tiết thực hành. Có như thế bài học mới chắc được, vì bây giờ ta đang copy là chính, mà chỉ học qua loa, không thực hành, đến mấy cái lệnh cơ bản cũng không nhớ, đồng thời nếu không thực hành nhiều thì học trước quên sau mà thôi và chẳng khác gì nước đổ lá khoai...

Cảm ơn những ý kiến đóng góp của bạn.

Mong là các bạn sẽ tiếp tục góp ý hay phản hồi cho BTC về giờ giấc cũng như độ khó và kiến thức của bài thực hành để BTC điều chỉnh cho hợp lí (bài thực hành 1 thì nhiều bạn góp ý là hơi dài).



BTC ra bài học và bài thực hành lúc 20h không có nghĩa là họ post bài xong rồi ngồi đó để đợi câu hỏi của các bạn Bạn đi học về 22h thì cứ vào học lúc 22h thôi, có câu hỏi thì cứ post lên đó, sáng hôm sau (biết đâu đấy) sẽ có câu trả lời. Tóm lại là bạn muốn vào học lúc nào cũng được, nhưng đừng để trễ quá không hay vì khi nhiều người đã qua bài khác rồi thì người hướng dẫn sẽ tập trung vào bài đó, còn những câu hỏi của bạn cho bài cũ có thể sẽ được trả lời chậm hơn một chút.




Không cần đăng kí, cứ vào học và nộp bài.

Chính xác là bài thực hành 1 hơi dài nếu xét theo khía cạnh trực quan, nhưng mình thấy mỗi đoạn trong bài là một phần kiến thức đã học ở bài 2. Chính vì thế nếu xét theo khía cạnh khác thì bài thực hành đó là rất hợp lí, không dài chút nào hết. Thậm chí như vậy vẫn còn ngắn đối với kiến thức được học.
Mình rất thích thực hành sau khi học nên mong rằng sẽ có nhiều bài thực hành hơn nữa...

Tôi thấy dơn giản nên không có gì để hỏi.
Làm xong rồi thì có cần phải nộp bài lại không vậy?
...............................................
Khóa học thật sự rất bổ ích.

Anh có thể nộp bài ở đây anh ak. Chỉ cần nộp file .tex

Em xin được đăng kí tham gia khóa học, mong rằng trình độ $LATEX$ sẽ được cải thiện.