BÀI 54: Chứng minh rằng trong các tam giác nội tiếp 1 đường tròn thì tam giác đều có diện tích lớn nhất

Hatnang

25 tới chỗ mk thi lo quá trời luôn đề này các bạn làm nhiều chứ

bạn ở tỉnh nào thế

câu 6 http://diendantoanho...y-1x1y1fraczz4/

                          Đề thi HSG tỉnh NAM ĐỊNH năm học 2014-2015

                          Ngày thi:25-3-2015

                          Thời gian:150 phút 

Bài 1

a,Tính giá trị biểu thức $A=\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(y-1)^{2}}$ với $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2};y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

b,Cho $x;y;z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ và $xyz$ khác $0$

Chứng minh $\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}=0$

Bài 2

a,Giải pt $\sqrt{x+1}+\sqrt{7-x}=3-x$

b,Giải hệ pt $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-4x^{2}+3y^{2}+8x+4y-16=0 & \\ \sqrt{x-1}-\sqrt{y+3}=-1 & \end{matrix}\right.$

Bài 3

a,Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $3n^{3}+2n^{2}+17n+6$ chia hết cho $n^{2}+4$

b,Tìm các số nguyên $x;y$ thỏa mãn $x^{2}+5y^{2}+4xy+6x+12y+8=0$

Bài 4

Cho 2 đường tròn (O;r) và (O';r') với $r>r'$ cắt nhau tại $A;B$.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O') tại E.Tiếp tuyến tại A của (O') cắt (O) tại C. N là trung điểm của $CE$.M là giao của $AB$ với $CE$. Trường hợp B nằm giữa A và M

a, Chứng minh $AB^{2}=BE*BC$ và $BC*ME=BE*MC$

b, Chứng minh $\widehat{CAN}=\widehat{EAM}$

Bài 5

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) và (O';r').Chứng minh $R\geq R'\sqrt{2}$

Bài 6

cho $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$; $x+1>0$;$y+1>0$ và $z+4>0$

Tìm GTLN của $A=\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{z}{z+4}$

  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                   KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

          QUẢNG NGÃI                                                                          Ngày thi : 24/3/2015

                                                                                                         Môn : Toán

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                            Thời gian làm bài : 150 phút

 

 

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}xy+x+y=3 \\ \frac{1}{x^{2}+2x}+\frac{1}{y^{2}+2y}=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

 

 

$(1)\Leftrightarrow xy+x+y+1=4\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=4\Leftrightarrow (x^{2}+2x+1)(y^{2}+2y+1)=16$

đặt $x^{2}+2x=a;y^{2}+2y=b$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} (a+1)(b+1)=16 & \\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3} & \end{matrix}\right.$

giải hệ trên ra $a=3;b=3$ => $x;y$

Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Tứ giác $AFHE$ nội tiếp nên $\widehat{FAD}=\widehat{FEB}$

tương tự ta có $\widehat{FAD}=\widehat{FCB};\widehat{FCB}=\widehat{BED}\rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{BED}$

từ đó có đpcm

Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2n^{2}$

Chứng minh $n^{2}+m$ không là số chính phương

Cho tam giác $ABC$ có độ dài đường cao là các số nguyên,bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

Chứng minh tam giác ABC đều

Giải Hệ Pt

1,$\left\{\begin{matrix}2x^{2}+y^{2}-3xy+3x-2y+1=0&\\ 4x^{2}-y^{2}+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}&\end{matrix}\right.$

nôi dung định lí Brocard

   Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AD giao BC tại M. AB giao CD tại N. AC giao BD tại I thì O là trực tâm tam giác IMN

( Cách CM hỏi Gu gồ -Sama)

 

AB'HC' nội tiếp đường tròn tâm K 

C'B' cắt AH tại I

AC' cắt B'H tại B

AB' cắt C'H tại C

 

 theo định lí thì CI vuông góc BK .... vậy I là trực tâm

bạn ơi mình không tìm được cách c/m. bạn post lên đây được không?

cho tam giác ABC không vuông. đường cao BB' và CC' cắt nhau ở H. K là trung điểm của AH, AH cắt B'C' ở I. chứng minh I là trực tâm tam giác KBC

cái này bạn áp dụng định lí Brocard  
nếu cần thiết thì mình sẽ post cách giải  chi tiết 

bạn giải giùm mình đi

Giải pt $sin^{2016}x+cos^{2017}x=1$

Giải PT

$2sin2x+cos2x + 2\sqrt{2}sinx-4=0$

 

b) góc TCB=góc IDK

 

 

GÓC $\widehat{TCB}$ ở đâu v bạn?

Tam giác ABC cân ở A, (O) t xúc với AB,AC => O là trung điểm BC.

PQ là tiếp tuyến của (O) => góc EOP= góc POG. 

có  góc COF + góc FOQ + góc POG = góc BOE + góc EOD + góc GOQ

=> góc POQ + góc QOC = góc GOQ + góc BOD

mà góc POG+ góc GOC =90 độ 

=>  góc POG + góc QOC =90 độ

lại có góc OPG + góc POG =90 độ

=> góc OPG = góc QOC , góc BPO = góc QOC

=> tam giác PBO đồng dạng OCQ

=> BP*QC= BO*OC = (BC/2)*(BC/2)=  (BC^2)/4

  máy mình hư latex nên bạn thông cảm nhé!!!!!

Các bạn ơi câu a cách giải rất hay.Các bạn làm tiếp câu b giúp mình với nhé!

Đề :ngược lại, chứng minh rằng nếu $BC^{2}$=4BP.CQ thì PQ tiếp xúc với đường tròn(O), (P thuộc AB,Q thuộc AC)

 từ P kẻ PQ' tiếp xúc với (O)  ( Q' thuộc AC) 

 khi đó giống như phần trên mình đã giải thì PB*CQ'= (BC^2)/4

 mà PB*CQ = (BC^2)/4  => CQ=CQ'

 từ đố => Q trùng với Q'

=> điều phải chứng minh

$k$ là tâm ngoại tiếp $MCID$ nên $K$ là trung điểm $IM$

dễ dàng cm tứ giác $MCHB$ nội tiếp nên $\widehat{CMH}=\widehat{CBA}$

mà $\widehat{CMH}=\widehat{KCM}$ (tam giác KCM cân ở K)

nên $\widehat{KCM}=\widehat{CBA}$

mà $\widehat{CBA}+\widehat{ACO}=90$ nên $\widehat{KCM}+\widehat{ACO}=90\rightarrow \widehat{KCO}=90\rightarrow \widehat{KCO}=\widehat{KHO}=90\rightarrow$ đpcm 

hơi tắt tí nhé,nếu không hiểu thì hỏi mình 

Cám ơn bạn nhiều!

like cho mình phát

cái điểm $H$ ở đâu ra thế bạn?

ý họ là $\bigtriangleup AHK$ đồng dạng với $\bigtriangleup AOI$ do có góc K=góc I=90,chung góc A

từ 2 tam giác đồng dạng trên rút ra tỉ số rồi nhân tích chéo thôi

mình chưa hiểu vì sao bạn chứng minh được tứ giác MCHB nội tiếp đường tròn,bạn giải thích rõ cho mình được không

$\widehat{MCB}=\widehat{MHB}=90$

Ta có $AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}=1+BC^{2}+CP^{2}-2BC.CP.cosBCP=AC^{2}+2BC.1.cosBCA=AC^{2}+2BC.\frac{BC}{AC}=AC^{2}+2.\frac{AC^{2}-1}{AC}$

Vậy $AC^{2}+2.\frac{AC^{2}-1}{AC}=AD^{2}=AC^{2}+CP^{2}+2AC.CP=AC^{2}+1+2AC$

Từ đây tính AC 

P ở đâu thế bạn?

Cho tam giác ABC vuông ở B.Kéo dài AC về phía C một đoạn CD=AB=1 và góc CBD=30 độ. Tính AC

Ta có $AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}$  

chỗ này sai nè