Đọc những bài viết thật cảm động .. Ai bảo dân yêu Toán thì không có cuộc sống đầy nội tâm ..

Hàng Long Thập Bát chưởng gồm 18 chiêu sau, chủ yếu tên lấy theo các quẻ Dịch:

1. Phi long tại thiên
2. Kiến long tại điền
3. Hồng Tiệm vu lục
4. Tiềm long vật dụng
5. Kháng long hữu hối
6. Lợi thiệp đại xuyên
7. Đột như kỳ lai
8. Chấn kinh bách lý
9. Hoặc dược ư uyên
10. Song long thủ thủy
11. Ngư dược ư uyên
12. Thời thừa lục long
13. Mật vân bất vũ
14. Tổn tắc hữu phu
15. Long chiến ư dã
16. Lý sương băng chí
17. Đê dương xúc phiên
18. Thần long bái vĩ

Nghe cao nhân chỉ điểm thì ý nghĩa của một số chiêu như sau:

Tiềm long vật dụng: lời hào Sơ cửu của quẻ Kiền, có nghĩa là: "như con rồng còn đang ẩn náu; không nên dùng". Khi khí dương còn đang tiềm tàng, hoặc bản thể của tâm chưa được phát lột thì không nên hành động.

Hiện long tại điền: lời hào Cửu nhị của quẻ Kiền, có nghĩa là: "con rồng đã hiện ra trên mặt ruộng". Lúc này khí dương bắt đầu được khai mở.

Hoặc dược tại uyên: hào Cửu tứ của quẻ Kiền, có nghĩa: "hoặc nhảy vào vực thẳm". Đây là bước rẽ quyết định, con người từ bỏ thế giới rạch ròi của lý trí để đi vào thế giới huyền vi của tâm thức.

Phi long tại thiên: hào Cửu ngũ của quẻ Kiền, có nghĩa: "rồng bay lên trời". Khí dương đã phát huy rực rỡ, hoặc con người đã khai mở được bản tâm để phát huy diệu dụng.

Kháng long hữu hối: lời hào Thượng cửu của quẻ Kiền, có nghĩa: "con rồng lên cao quá sẽ có sự hối hận". Hào dương ở ngôi cao nhất của quẻ thuần dương, như để tâm chìm đắm vào chỗ lưu đãng, hư huyền xa rời mất cõi nhân sinh, ắt sẽ hối hận.

Long chiến vu dã: lời hào Thượng lục của quẻ Khôn có nghĩa: "rồng đánh nhau nơi đồng nội". Âm đã đến lúc cực thịnh nên tranh nhau với Dương.

Lợi thiệp đại xuyên: có nghĩa "có lợi trong việc lội qua sông lớn", đây là lời thường dùng trong các quái từ, hào từ của Kinh Dịch. "Đại xuyên" là sông lớn, thường được dùng để ví với sự gian nan hiểm trở.

Hồng tiệm vu lục: lời hào Cửu tam quẻ Tiệm, có nghĩa "con chim hồng dần bay đến đậu trên gò đất". Quẻ Tiện còn có tên là Phong sơn tiệm, do được tạo thành bởi quẻ Cấn (là núi) ở dưới và quẻ Tốn (là gió) ở trên. Ý nghĩa tượng trưng của Hồng tiệm vu lục là hào Cửu tam có vị trí trên cùng của quẻ Cấn, là hào dương xử ở ngôi dương, cương kiện năng tiến, do đó mới có tượng "con chim hồng dần bay lên đậu trên gò đất".

Đột như kỳ lai: tên đầy đủ là "đột như kỳ lai như", lời hào Cửu tứ quẻ Ly, có nghĩa: "thình lình ập tới". Trong hào Cửu tam thì sự đe dọa đã bắt đầu hiện ra dưới hình thức ngọn cầu vồng lấn át ánh nắng chiều, và đến hào Cửu tứ thì đột ngột chuyển thành hiện thực.

Chấn kinh bách lý: lời quái từ và lời thoán truyện của quẻ Chấn, có nghĩa: "tiếng sấm động vang xa hàng trăm dặm".

Lý sương băng chí: tên đầy đủ là "lý sương, kiên băng chí", lời hào Sơ lục quẻ Khôn, có nghĩa: "dẫm trên sương, thì biết băng dày sắp đang tới". Đây là tượng của khí âm mới sinh.

Thần long bái vĩ: có nghĩa: "rồng thần quẫy đuôi". Nguyên trong Kinh Dịch không có câu này, mà chỉ có câu "Lý hổ vĩ, điệt nhân, hung" của hào Lục tam quẻ Lý, có nghĩa "đi sau cọp, đạp đuôi cọp, bị nó quay lại cắn, nguy hiểm". Kim Dung giải thích tên chiêu này được lấy từ câu trên, để tả khí thế mạnh mẽ và hung dữ của chiêu thức. Người đời sau thấy chữ "hổ" không hợp trong môn chưởng pháp "hàng long" nên đổi thành "Thần long bái vĩ".

Song long thủ thủy: có nghĩa: "hai con rồng lấy nước". Chưa tra cứu được xuất xứ, có lẽ tác giả chỉ thuận tay dùng các thành ngữ quen thuộc trong kho tàng văn học Trung Quốc mà đặt tên, theo kiểu các chiêu "Giao long hỷ thủy", "Lưỡng long tranh châu"... thường gặp các tiểu thuyết võ hiệp chứ không phải là câu được chọn ra từ Kinh Dịch.

Goi M la` 1 n-manifold, compact va` contractible, cmr khi do´ homology cua co´ homology cua (n-1)-Sphere, tuc´ la` . Xin moi`.

QC thử xem lại định nghĩa "contractible" xem thế nào. Theo anh thì điều kiện M là compact và contractible cho phép ta "thu nhỏ" M lại thành một hình cầu mà không thay đổi homology đấy

Dinh nghia contractible thong qua cac nhom http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pi_i nhu QC co ve khong duoc tu nhien lam. Anh chi thuong thay khai niem contractible duoc dinh nghia qua khong gian cac duong di (paths space) hoac tu nhien hon nua la qua khai niem deformation retract. Chang han nhu theo cuon Algebraic Topology cua Fulton thi mot khong gian http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X duoc goi la contractible neu ton tai mot diem http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x la mot deformation retract cua http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?X. O day, neu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y la mot khong gian con cua http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X thi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y duoc goi la mot deformation retract neu nhu ton tai mot anh xa lien tuc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y vao trong http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X sao cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?r la homotopic voi anh xa don vi tren http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X.

Ve viec dung dong cau Hurewitz thi QC can de y rang http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^{n-1} chu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X thi co le homotopic voi dia http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D^n (ball chac phai dich la bo'ng chu nhi?!).

Neu QC muon chung minh http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X la dong cau (homeomorphic) voi dia http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D^n thi co le nhieu hon la doi hoi cua bai toan. De chung minh rang http://dientuvietnam...tex.cgi?S^{n-1} theo anh chi can xet cac retract ma` deform http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X ve mot dia quanh diem deformation retract roi chung minh rang gioi han cua cac anh xa nay tren http://dientuvietnam...ex.cgi?S^{n-1}.

Tại sao bây giờ thi lại có 7 bài nhỉ, thi trong mấy ngày vậy mọi người?

(tiếp theo và hết ... )

Đã hơn 3 tháng kể từ khi anh ra đi không lời từ biệt. Chuyện tình của cô và H cũng chẳng đi đến đâu. Cô hiểu ra rằng "thích được chiều chuộng" không phải là yêu. "Tại sao ngày ấy anh không nói gì khi biết H ngỏ lời với cô chứ?" - Cô băn khoăn tự hỏi.

Hơn 3 tháng rồi cô mới tìm lại nơi quán cũ, hy vọng chỗ ngồi của riêng cô và anh sẽ không bị ai chiếm hữu. Kìa, chẳng phải là anh đó sao?! Vẫn cái nhìn thu hút vào ly café trước mặt. Anh có vẻ gầy đi nhiều. Cô lặng lẽ ngồi xuống cạnh anh. Anh ngước mắt lên khẽ mỉm cười với cô - Dường như anh không ngạc nhiên trước sự xuất hiện của cô.

"Em và H đã chia tay?" - Câu hỏi thay cho lời chào của anh.

"Sao anh biết? Anh tự dưng biệt tăm đi đâu thế? Anh về lại khi nào?" - Cô ném lại anh một tràng các câu hỏi thay cho câu trả lời.

"Anh mới đi Nigeria về. Quay lại đây hơn tuần rồi mà không gặp em".

"Anh làm gì bên đó vậy?" - Cô ngạc nhiên hỏi.

"À, anh theo hội chữ thập đỏ qua đó làm từ thiện ở mấy nước nghèo ấy mà" - Anh lơ đễnh trả lời.

Rồi họ lại im lặng ngồi bên nhau nghe hoàng hôn về như chưa từng có chuyện gì xảy ra. Hoàng hôn vẫn ồn ả trong tiếng còi xe dồn dập giờ tan tầm, vẫn thảng thốt cùng tiếng reo của tia nắng chiều bùng lên trước khi tắt. Hoàng hôn trĩu nặng tiếng rao người bán bánh mì dạo khi phố xá vừa lên đèn, yểu điệu ùa theo làn gió từ phía sông Hồng thổi vào làm bụi trúc quân tử ngoài cửa sổ uốn cành xoè lá rì rào. Hoàng hôn nghiêng mình đón những giọt sương chưa rõ hình hài trên lá biếc, và đặc sánh trong ly café trước mặt anh.

Thời gian thấm thoắt trôi. Anh và cô vẫn ngồi cùng nhau sau những ngày làm việc dài. Đã có thêm một vài người con trai bước vào đời cô. Tuy nhiên cô hoàn toàn chưa giành cho ai tình cảm đặc biệt và cũng chưa nhận lời yêu ai từ sau chuyện cùng H. Anh bắt đầu "chịu khó" kể cho cô nghe nhiều hơn về bản thân. Thì ra anh là một bác sĩ làm việc cho hội chữ thập đỏ quốc tế. Thỉnh thoảng anh vẫn có những chuyến đi công tác dài ngày. Anh thường đi không báo trước và trở về một cách bất chợt. Đôi lần cô làm mặt giận đòi quà, anh chỉ cười.

"Những chỗ anh đi toàn rắn, rết và thằn lằn, không lẽ lại bắt một con về làm quà cho em?!".

Anh nói vậy, nhưng rồi một lần, sau chuyến đi dài gần 3 tháng anh mang về cho cô một gói quà .. nặng chịch. Cô háo hức mở ra. Có lẽ không có đủ từ để diễn tả nỗi kinh ngạc của cô khi bắt gặp một đống .. sỏi. Quà của anh là mấy chục viên sỏi đủ loại, đủ màu sắc, có viên trơn tru, có viên sần sùi, sứt sẹo. Cô tròn mắt nhìn anh chờ đợi.

"Mỗi nơi anh đi qua, anh nhặt về một viên sỏi" - Anh nhè nhẹ trả lời câu hỏi trong đầu cô - "Viên sỏi đen bóng này anh mang về từ chuyến đi Nigeria đấy. Viên có màu nhờ nhờ là ở Alaska. Còn viên sần sùi này anh lấy từ Li băng. Viên cháy xạm một nửa là ở Somali, anh nhặt từ một hố đạn đấy ...".

Cô ngỡ ngàng nhìn anh và chợt thấy nôn nao trong lòng. Những mảnh đời của anh đó sao?! Những gì ẩn giấu phía sau khuôn mặt bất cần và cái nhìn lơ đễnh của anh đó sao?!

"Em không cám ơn anh về món quà này sao?" - Anh nheo mắt nhìn cô. Cô mỉm cười không trả lời câu hỏi của anh.

Một tuần sau anh lại đi công tác. Những ngày anh đi xa, cô nâng niu mấy viên sỏi thô kệch, nhìn chúng mà như thấy những chặng đường anh đã qua. Những đêm đông lạnh cắt da cắt thịt nơi vùng Alaska xa xôi. Những ngày cháy bỏng vùng hoang mạc Phi châu. Những giờ phút vật lộn với thần chết, giành giật từng cuộc sống dưới làn đạn ....

"Lần này anh mang cho em viên sỏi thế nào" - Câu hỏi đầu tiên cô giành cho anh ngày anh trở về.

"Một viên sỏi rất đặc biệt" - Anh cười cười và đưa cho cô bịch giấy nhỏ.

Cô run run lần mở bịch giấy. Một phần đời anh sắp hiện ra trước mắt cô. Vừa chạm tay vào lần giấy bọc trong cùng, cô bỗng trào nước mắt. Viên sỏi anh mang về cho cô lần này không như những viên sỏi khác. Một viên sỏi vĩnh cửu ... viên sỏi sẽ gắn phần đời còn lại của anh với cô ...

Lại một câu chuyện cũ rích ...

Chuyện tình tự kê

I.

"Tuổi thơ qua mau quá
Anh ngỡ như ngày nào
Đôi mắt em như sao
Soi thấu tâm hồn nhau"

Anh vốn không phải là một tín đồ của chủ nghĩa "tình yêu sét đánh". Điều gì đến quá nhanh cũng thường ra đi rất nhanh! Anh gặp cô lần đầu tiên trong một cuộc phỏng vấn tìm việc. Vừa đặt chân xuống sân bay, anh đã đánh mất sự hưng phấn cần thiết cho cuộc phỏng vấn. Cảm giác quá ngột ngạt. Một thành phố đông người và rất xô bồ. Nhưng dù sao đã đến nơi thì cũng phải làm cho hết những việc định làm. Anh bước vào buổi phỏng vấn với trạng thái chán nản. Sau buổi phỏng vấn người ta mời anh đi ăn tối cùng công ty. Cô xuất hiện trong bữa ăn một cách tự tin và có vẻ ồn ào với chiếc váy màu đỏ nổi bật và nụ cười duyên dáng không bao giờ tắt trên môi. Có lẽ, cô cũng biết mình là trung tâm của sự chú ý, nên cô san xẻ rất công bằng nụ cười của mình cho tất cả mọi người - kể cả anh. Anh ngỡ ngàng, đắm đuối ngụp lặn trong đôi mắt đen sâu thẳm và đôi má lúm đồng tiền xinh xinh của cô. "Ta sẽ ở lại nơi này" - Anh tự nói với mình.

Việc anh nhận lời vào làm việc cho công ty có lẽ là một điều đáng ngạc nhiên đối với tất cả mọi người. Buổi phỏng vấn của anh, mặc dù trong tâm trạng chán nản, được mọi người đánh giá rất cao - Ai cũng nghĩ anh "over qualified" và có lẽ sẽ tìm được một vị trí tốt hơn vị trí ở công ty này rất nhiều. Mọi người không vì thế mà không vui mừng khi anh dọn hẳn về thành phố và bắt đầu công việc mới của mình. Cô cũng vậy - Luôn đón anh bằng nụ cười duyên dáng. Chỉ riêng anh hiểu - Anh về đây đơn giản là vì cô. Tuy nhiên, cô đã có người yêu và 2 người có vẻ khá hạnh phúc. Hơn nữa, người yêu cô cũng là một đồng nghiệp của anh trong công ty. Anh thầm lặng làm việc, hy vọng rằng một ngày nào đó cô sẽ nhìn thấy sự hiện diện của anh không chỉ đơn thuần là vì công việc.

Anh hoà đồng với mọi người, hoàn thành xuất sắc mọi công việc được giao. Công ty có thêm anh như có thêm cánh tay thứ 3 vô cùng đắc lực. Anh dần dần chiếm được sự mến yêu của tất cả mọi người trong công ty, từ bác bảo vệ khó tính, cho tới cô thư ký kiêu kỳ. Người yêu của cô, tình địch của anh cũng bắt đầu coi anh như một người bạn thân. Thấy anh không có bạn gái, bạn bè bắt đầu đòi mối lái cho anh. Những cuộc gặp gỡ liên tiếp xảy ra. Anh vui vẻ nhận lời mời của tất cả, nhưng luôn làm họ phải thất vọng khi tỏ ra quá ngây ngô và nhàm chán trong những buổi đi xem mặt. Mọi người phàn nàn còn anh chỉ cười. "Ta yêu một mình cô ấy, và ta sẽ chờ cô ấy" - Anh lại tự nói với bản thân mình.

Cô cũng là một trong những người tích cực làm mối cho anh nhất. Sau khi giới thiệu lần lượt 3 cô bạn thân, một hôm cô bước vào phòng làm việc của anh, vừa cười vừa nói: "Anh là một người tuyệt vời trong công việc, nhưng hình như không có mấy kinh nghiệm đối với phụ nữ - Hãy để em chỉ cho anh cách ứng xử khi đối mặt với một người con gái". Anh sốt sắng đồng ý ngay. Cô đề nghị 2 người đi ăn tối với nhau như một cặp trai gái lần đầu tiên xem mặtt nào đó, và việc của anh là phải tạo được cảm tình với đối tượng ....

Vừa ngồi vào bàn ăn, cô bảo:

"Anh hãy nói một câu khen bộ trang phục của em đi".

"Cái áo em mặc rất đẹp - Anh cũng có một cái y như thế" - Anh nói ngay.

Cô bật cười, chút xíu nữa thì sặc nước. Anh có vẻ ngượng ngùng - "Để anh thử lại nhé".

"Chiếc vòng đeo cổ của em thật đẹp".

Cô gật đầu "Mẹ em tặng đấy".

"Mẹ em là người có con mắt thẩm mỹ".

Cô vui vẻ khuyến khích: "Bắt đầu khá hơn rồi đấy - Bây giờ giả sử bữa ăn đã kết thúc, anh hãy nói điều gì đó thể hiện sự mong muốn được gặp lại".

"Em có một đôi mắt tuyệt đẹp. Không chỉ làm cho anh muốn được gặp em lần nữa, mà đôi mắt em như chứa cả một thế giới muôn màu ở phía sau - Một thế giới mà anh mong muốn có một phần nhỏ ở trong đó". Anh vừa nói vừa nhìn sâu vào trong mắt cô.

Cô thoáng bối rối. "Anh thực ra không cần phải học ở em điều gì cả" - Cô thừa nhận sau một vài giây im lặng. Họ ăn tối rồi đi về. Từ đó cô không còn giới thiệu anh với ai nữa. Anh cũng không nhắc lại về bữa ăn tối của 2 người. Thời gian chậm chạp trôi đi. Thêm 3 tháng anh một mình cặm cụi bên công việc. Một hôm cô vừa khóc vừa chạy vào phòng làm việc của anh. "Em vừa mới chia tay với bạn trai xong". Anh vỗ về an ủi cô. Cô vừa ra khỏi phòng anh chưa lâu thì bạn trai của cô thẫn thờ bước vào. "Cô ấy đã bỏ tớ rồi" - Khuôn mặt anh ta dài hốc hác đầy vẻ thiếu ngủ. Anh kéo người bạn, người tình địch ra quán café. Lẳng lặng hơn 2 tiếng ngồi nghe bạn kể về cuộc chia tay đầy nước mắt. Người bạn của anh, người yêu của cô, đã quá suy sụp tinh thần. Tối hôm đó anh đành vác chăn chiếu tới nhà anh ta ngủ - Vừa là để an ủi bạn, vừa là để canh chừng anh ta làm điều gì đó dại dột.

Một tuần trôi qua, ngày ngày anh an ủi cô, tối tối anh tới nhà bạn anh, người yêu của cô, ngủ. 2 người bắt đầu lấy lại được thăng bằng, còn anh thì ngày một mệt mỏi hơn với những câu hỏi, những dằn vặt trong thâm tâm. Anh khuyên cô hãy suy nghĩ thật kỹ về cuộc chia tay. Anh khuyên anh bạn hãy bình tĩnh cho cô thời gian và khoảng trống để cô có thể lựa chọn cho mình một quyết định đúng với tình cảm thực của cô. Trong những ngày cô đơn và đau khổ, cô tìm thấy ở nơi anh một chỗ dựa tinh thần, một người bạn, một người anh, và một tâm hồn đồng cảm. Cô như thấy mình gần gũi với anh hơn rất nhiều. Cô nói điều đó với anh ... Anh hoảng hốt, run rẩy. Trái tim anh nhói buốt ....

3 ngày sau, anh lặng lẽ ra đi ... Cô và bạn trai của cô cũng trở lại với nhau vài tuần sau đó - Anh nghe một người bạn thân nói vậy ... Đã hơn 5 năm rồi, nhưng đôi mắt đen sâu thẳm của cô thỉnh thoảng vẫn nhìn anh trong những giấc mơ. Đôi má lúm đồng tiền xinh xinh thỉnh thoảng vẫn làm anh giật mình giữa phố lạ đông người ....

Lâu rồi anh không viết về những người đã xa và những ngày đã qua. Kỷ niệm lùi sâu vào ký ức. Quá khứ khép lại dần phía sau. Ở miền đất phía nam này mùa đông không có tuyết. Sinh nhật em, lại thêm một năm nữa anh không về được. Bạn bè và người thân, biết có ai nhớ kết những vòng hoa tuyết cho em?

Cuộc đời anh có lẽ sắp lật sang một trang mới. Anh sẽ quên đi những mùa tuyết rơi và cả những giọt nước mắt năm xưa, những nỗi buồn man mác, những bài thơ chẳng kết bao giờ ..

"Anh viết vần thơ cuối
Cho em
và một thời nông nổi
của riêng mình
Kỷ niệm ngày xưa lấp lánh như viên sỏi
Lẫn vào ánh trăng đêm ..."

Vĩnh biệt. Thêm một lần nữa - nhé em!

Chán chán nên gõ lại một câu chuyện mà ngày xưa đã từng kể bên ttvnol.com rồi

Viên sỏi cuộc đời

Chuyện giữa anh và cô mới nghe qua tưởng chừng có mùi của những trang tiểu thuyết Quỳnh Dao. Ấy vậy mà nó vẫn tồn tại giữa đời thực mới lạ chứ ...

Anh và cô gặp nhau vào một buổi chiều cuối thu. Trời u ám, vài ba chiếc lá vàng bay lạc lõng. Vẫn như mọi ngày, anh lơ đễnh nhìn ly café đặc sánh không đường trước mặt và thả hồn tận hưởng những giây phút thanh thản sau một ngày làm việc dài.

"Xin lỗi anh, anh có thể nhường chỗ đó cho em được không?" - Tiếng con gái đột ngột vang lên cắt ngang luồng suy nghĩ của anh.

Đứng trước mặt anh là một cô gái còn rất trẻ. Mái tóc màu hung, khuôn mặt tròn trịa và đôi má lúm đồng tiền của cô chợt làm anh nhớ tới con búp bê anh vừa mua tặng đứa cháu hôm trước. Anh bật cười, dù không cố ý. Cô mím chặt môi nhìn anh chờ đợi. Anh ngồi xích vào phía trong - "xin lỗi, nếu em không ngại thì bàn hãy còn rộng". Như hiểu ra anh sẽ không rời chỗ của mình, cô nhìn quanh tìm kiếm và cuối cùng khi không thấy chỗ nào thích hợp hơn, cô đành ngồi xuống cạnh anh. Có lẽ cô đang có chuyện buồn nên sau khi gọi ly "hot chocolate" cô ngồi yên lặng mắt dõi nhìn qua khung cửa sổ trước mặt như bị hút hồn. Anh có dịp quan sát cô kỹ hơn. Cô rất đẹp. Cả bầu trời u ám như được thu gọn trong đôi mắt to tròn của cô. Những giọt nước mắt rưng rưng nơi bờ mi cứ chực trào ra.

"Nước mắt nhiều khi cũng gột hết được ưu phiền đấy!" - Anh buột miệng nói.

Trước khi anh kịp nhận ra, cô úp mặt vào hai lòng bàn tay và khóc tức tưởi. Anh im lặng ngồi nhìn cô khóc, thỉnh thoảng với tay lấy vài tờ giấy tissue đưa qua cho cô. Cô bắt đầu kể lể, như cho chính bản thân mình. Thì ra cô vừa mới chia tay với tình yêu đầu đời. Cô kể cho anh (hay cho chính cô?) nghe về những kỷ niệm, về người bạn trai cô đã gắn bó gần 3 năm - kẻ mà cô hằng tưởng không thể sống thiếu được hoá ra lại thuộc loại "có mới nới cũ". Anh vừa nghe vừa tự nhủ "ừ, mối tình đâu bao giờ chả thế, vài ba mối tình là quen ngay thôi". Khi cô vừa ngừng khóc, anh chợt lãnh đạm nói:

"Ừ, thế là đủ cho mối tình đầu rồi đấy. Để nước mắt cho những mối tình sau nữa chứ cô bé!".

Cô bàng hoàng nhìn anh như nhìn một người từ hành tinh khác. Anh cúi mặt tiếp tục nhìn ly café của mình. Hai người không nói thêm câu nào với nhau cho tới hết buổi, khi cô đứng dậy ra về.

Anh và cô quen nhau từ đó. Mỗi ngày, sau giờ làm việc họ đều tới đúng chỗ lần đầu gặp nhau, ngồi cạnh nhau vài tiếng đồng hồ nghe hoàng hôn về - Anh vẫn lặng lẽ nhìn ly café đặc sánh không đường của mình, và cô vẫn mơ hồ dõi mắt qua khung cửa sổ trước mặt. Họ không nói nhiều với nhau, nhưng cô có cảm giác anh rất hiểu những gì đang diễn ra trong đầu cô. Thỉnh thoảng anh còn mang tới cho cô khi thì một gói ô mai, khi vài chiếc kẹo dừa (để luyện răng - anh bảo).

Được khoảng 5 tháng, bỗng một hôm anh nói:

"Em gậm nhấm nỗi buồn hết chưa? Tới lúc đi tìm một chàng hoàng tử mới rồi đấy!".

Cô nheo mắt nhìn anh - "Thế anh là hoàng tử hay một ông vua già khó tính?".

Anh phá lên cười, nhưng không nói thêm lời nào về chuyện đó nữa.

Thời gian dần trôi, cô bắt đầu quên chuyện buồn trong quá khứ. Cô kể cho anh nghe về việc học hành, chuyện trường lớp, và cả về những người con trai mà cô mới gặp. Anh chỉ cười cười nghe cô kể mà không bao giờ ngắt lời cô.

Gần một năm qua đi kể từ ngày cô gặp anh. Thu lại về ngoài ngõ. Hương hoa sữa thơm nồng mái tóc cô mỗi buổi chiều về. Một hôm, vừa thấy anh, cô reo lên:

"Đố anh biết em có chuyện gì sắp kể cho anh nghe?"

"Em đã gặp được một chàng hoàng tử khó tính?" - Anh hỏi.

Cô chu môi lườm anh - "Làm gì có ai khó tính như anh. Anh H mới ngỏ lời với em hôm kia" - Cô thì thào.

"Em nhận lời yêu H chứ?" - Anh nheo mắt nhìn cô.

"Em không biết" - Cô nghênh mặt lên kiêu hãnh mà lòng thấy vui vui. H là một người tốt - anh đã từng nói thế sau 2 giờ dài ngồi nghe cô kể về H. Cô cũng không biết mình có yêu H không, chỉ thấy thích thích mỗi khi nghĩ về H.

Ngày hôm sau, khi cô tới chỗ cũ, anh không còn ngồi đó đợi cô như mọi ngày. Một chiếc lá phong lan mỏng manh không hiểu từ đâu bay lạc nằm trơ trọi trên chiếc ghế anh vẫn thường ngồi. Cô nhặt chiếc lá, nâng niu trong lòng bàn tay. Anh ra đi không lời từ biệt. Chiếc lá ấy ngày mai sẽ tàn. Còn cây phong lan ấy, biết đến bao giờ mới nở hoa ...

Nghe mọi người nói chuyện lại nhớ hồi nghe tin cô bạn gái đầu tiên lấy chồng. Oái oăm là bố chồng cô ấy làm cùng cơ quan với tớ. Hôm đó bác ý đi mời cưới con trai mà lại không mời mình (vì biết chuyện của cô con dâu với mình trước kia). Chia tay 4,5 năm rồi mà lúc nhìn thấy thiệp hồng vẫn cứ nôn nao cả lòng. Lại đúng lúc chuẩn bị làm seminar nữa chứ - cả buổi seminar tay cứ run run làm bà con tưởng ốm .. hehehe ..

Xem ca'i ket qua binh chon thi co le trong dien dan ta dan lam ve ly thuyet vanh la nhieu nhat

To anh Quantum:
Chinh xác hơn câu hỏi của em là: Với X là đa tạp có kỳ dị, chiều của X lớn hơn hay bằng 2, thì có phải mọi divisor Weil đều là divisor Cartier?

Nếu hiểu "đa tạp" là "variety" thì câu hỏi của bạn là đúng. Chính xác hơn nữa thì người ta có thể chứng minh rằng: nếu X là một lược đồ (scheme) nguyên, tách được (integral, separated) va mọi vành địa phương tại các điểm của X đều là UFD (unique factorization domain) thì Weil divisors va Cartier divisors là tương đương.

Nếu không có tính UFD của các vành địa phương thì có thể tìm phản ví dụ khá dễ dàng. Chẳng hạn xét mặt cong X = Spec k[x,y,z]/(xy-z^2) và Weil divisor Y xác định bởi phương trình y = z = 0, khi đó Y không tương đương với một Cartier divisor nào (vì Y không phải là locally principal).

Có ai đó trên này quan tâm tới các mặt Del Pezzo không nhỉ?

Anh cũng có quan tâm tới các mặt del Pezzo, đặc biệt là giả thuyết Manin. Hay QC cho một ít khái niệm cơ bản về lớp các mặt del Pezzo và một vài bài toán mở đi!

Moi nguoi lam on cho biet "no" tieng Anh la gi a? Co phai la blowup khong? Thanks.

Nổ chính là blowing up đấy!

Chủ đề này mở ra nhằm mục đích cung cấp những kiến thức và ngôn ngữ cơ bản cũng như một vài hướng nghiên cứu của chuyên ngành Hình học đại số (Algebraic Geometry). Hy vọng mọi người ủng hộ, ai biết nhiều viết nhiều, ai biết ít .. cũng viết nhiều

Với mục đích nhằm giới thiệu và phổ cập một chuyên ngành nên chủ đề sẽ tránh không đi sâu vào chi tiết cũng như các thuật ngữ mang nặng tính kỹ thuật. Cũng vì thế mà các bài viết (nếu tồn tại) sẽ không tránh khỏi đôi khi không hoàn toàn thật chính xác.

Người mở chủ đề có hy vọng sẽ điểm qua những điều sau:

(1) Đa tạp đại số, từ điển giữa hình học và đại số, định lý Nullstellensatz.
(2) Lược đồ - trừu tượng hóa và tổng quát hóa của đa tạp.
(3) Đường cong đại số.
(4) Mặt cong đại số, lược đồ nhiều chiều.
(5) Một vài hướng nghiên cứu cơ bản trong chuyên ngành.

Anh cũng mới bắt đầu tìm hiểu về mặt cong del Pezzo thôi. QC bắt đầu trước đi Hôm nào rảnh, anh sẽ viết một bài giới thiệu tổng quan về nổ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{P}^2 tại một tập điểm ở vị trí tổng quát - hồi làm luận án đọc mấy thứ này đau cả mắt, giờ không biết nhớ gì nữa không .. hehehe ..

Gần đây anh đọc bài của ông Stillman và 2 cậu học trò thấy có bài toán khá hay: khi nào thì vành Cox của mặt del Pezzo được sinh bởi các đa thức bậc 2? Đây vốn là giả thuyết của Batyev và Popov.

QC bắt đầu giới thiệu mặt cong del Pezzo đi

Đa tạp đại số:

Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là một trường đóng đại số với đặc số 0. Có thể coi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là trường số phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{C}.

I. Đa tạp affine trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k. Đặt http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n biến trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Một tập con không rỗng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được gọi là một iđêan nếu:

(a) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được định nghĩa bằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R là hữu hạn sinh (do http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành Noether) nên để xác định tập đại số của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I ta chỉ cần xác định không điểm của một tập hữu hạn các đa thức).

Nhận xét rằng hợp của 2 tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với tích 2 iđêan) và giao của một họ các tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với hợp hay tổng các iđêan). Vậy tập tất cả các tập đại số affine (tương ứng với các iđêan của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R) cho ta một Tôpô trên không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n. Các tập đóng của Tôpô này là các tập đại số affine và các tập mở được cho bởi các phần bù của chúng. Tôpô này gọi là Tôpô Zariski (theo tên nhà toán học nổi tiếng Oscar Zariski).

Tôpô Zariski có một vài tính chất đặc biệt sau:

(a) Tôpô Zariski không phải là Hausdorff.
(b) Mỗi tập mở của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n đều là trù mật trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n.

Tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n trang bị bởi Tôpô Zariski được gọi là không gian affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chiều trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k. Ta ký hiệu không gian này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n (dùng ký hiệu khác với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n để nhấn mạnh rằng ta có trang bị Tôpô Zariski).

Với mỗi tập con http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được định nghĩa như sau
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được gọi là căn nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với các iđêan căn trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R. Sứ tương ứng này được cho bởi
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là một tập đóng con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với số tự nhiên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n nào đó.

Ghi chú: Chính xác hơn thì các tập con mở của đa tạp affine cũng được coi là các đa tạp đại số (đôi khi được gọi là quasi-affine).

Đa tạp đại số (tiếp)

II. Đa tạp xạ ảnh. Đặt http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f được gọi là bậc của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?f. Ví dụ: http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I bao gồm các đa thức thuần nhất. Ví dụ: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim trên tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim thỏa mãn các tính chất sau:

(a) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim là một quan hệ tương đương trên tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim đã định nghĩa (nghĩa là nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n. Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n được định nghĩa một cách tương tự như Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n chỉ thay bằng khi xét các đa thức hay các iđêan ta xét các đa thức thuần nhất và các iđêan thuần nhất.

Nhận xét rằng mỗi đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n như với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n (vì mỗi điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n là một lớp tương đương và giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f tại điểm đó phụ thuộc vào từng đại diện của lớp tương đương đó - có nhiều đại diện của mỗi lớp tương đương). Tuy nhiên, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f xác định một hàm số trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P (trong đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f là xác định trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n.

Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_i tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P bằng 0.

Hoàn toàn tương tự như với các tập đại số affine, tập tất cả các tập đại số xạ ảnh (tương ứng với các iđêan thuần nhất của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S) tạo thành các tập đóng của một Tôpô trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n. Tôpô này được gọi là Tôpô Zariski. Từ giờ trở đi, khi viết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n ta hiểu là không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n trang bị bởi Tôpô Zariski như đã nói.

Định nghĩa. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n được gọi là không gian xạ ảnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chiều trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k.

Định nghĩa. Một đa tạp xạ ảnh là một tập con đóng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n tự nhiên nào đó.

Ghi chú: Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (lấy giao với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X) ta có Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X. Đôi khi một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh cũng được coi là một đa tạp xạ ảnh.

Bằng cách tương đương ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quy. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là bất khả quy nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X không thể viết thành hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó.

Định nghĩa. Với một đa tạp xạ ảnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được định nghĩa như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S/\mathbf{I}(X).

Nếu em nhớ không nhầm thì Homeomorphism ở nhà gọi là đồng phôi.

Trong bài tập 2 chắc ý anh là "...một đa tạp xạ ảnh http://dientuvietnam...etex.cgi?X...".

Ừ .. đúng là "đồng phôi" .. khi nãy anh nhớ là "đồng" gì đó mà chịu không nhớ ra À, bài tập (2) thì X là đa tạp xạ ảnh như Trung nói. Cám ơn Trung nhé!

Tiếng Đức Nullstellensatz có thể dịch là "không điểm", vì thế anh nghĩ "định lý không điểm của Hilbert" là đúng đấy.

Về bài tập (2) thì đúng là anh quên giả thuyết f là bất khả quy. Cám ơn noproof nhé.

Hiện tại phần lớn các kết quả (cũng như cách xây dựng lý thuyết) anh đưa lên đây đều cần http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k đóng đại số (vì sử dụng định lý không điểm của Hilbert). Sau này khi đi cụ thể vào từng vấn đề nghiên cứu, anh sẽ nói rõ hơn lúc nào thì bỏ được tính đóng đại số của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k.

Đa tạp đại số (tiếp)

Vành tọa độ của một đa tạp đại số affine. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X được định nghĩa như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{I}(X) là iđêan xác định của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X như đã định nghĩa ở trên, và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R/J ký hiệu vành thương của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R theo môdun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J, với mỗi iđêan http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J (nghĩa là vành các lớp tương đương theo môdun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J).

Đa tạp bất khả quy (irreducible). Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X, Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n giới hạn vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X sẽ cho một Tôpô trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (trong đó các tập đóng là giao của các tập đóng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X). Đa tạp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được gọi là bất khả quy nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X không phải là hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó (nghĩa là không tồn tại các tập đóng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X).

(Ghi chú: trong một vài tài liệu, chẳng hạn cuốn Hình học đại số của Hartshorne thì những đa tạp bất khả quy mới được gọi là đa tạp đại số - tuy nhiên, định nghĩa như hiện tại phù hợp hơn với phần lớn các kết quả nghiên cứu trong chuyên ngành).

Định lý. Đa tạp đại số affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là bất khả quy nếu và chỉ nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{I}(X) là iđêan nguyên tố trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d lớn nhất sao cho tồn tại chuỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (thường thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z_0 là tập gồm một điểm đóng và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(X) (định nghĩa theo độ dài lớn nhất của một chuỗi các iđêan nguyền tố).

Chứng minh: dựa vào sự tương ứng 1-1 giữa các đa tạp đại số và các iđêan căn (và sự tương ứng này đảo ngược thứ tự bao hàm), cùng kết quả rằng một đa tạp là bất khả quy nếu và chỉ nếu iđêan xác định của nó là iđêan nguyên tố. (Ghi chú: iđêan nguyên tố là iđêan căn).

Nhận xét:

(a) Mỗi một đa tạp đại số đều có thể được viết thành hợp của một số đa tạp con bất khả quy trong đó không có 2 đa tạp nào chứa nhau, và cách viết này là duy nhất (trừ việc thay đổi thứ tự các đa tạp con).
(b) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xz-x (thay bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là hợp của 3 thành phần bất khả quy. Tìm các iđêan xác định của 3 thành phần này.

(2) Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số thực. Tìm một đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^2 không phải là bất khả quy. Chú ý rằng, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k ở đây không phải là trường đóng đại số. Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số phức thì tồn tại hay không đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) với cùng tính chất?

Vì nhằm mục đích "phổ cập" và phục vụ cho diễn đàn tiếng Việt, nên anh cố gắng viết bằng tiếng Việt - từ kỹ thuật nào mà anh cảm thấy dịch chưa chuẩn thì anh sẽ mở ngoặc và để nguyên văn tiếng Anh.

Polytopied và Quantum rảnh vào viết thêm thì hay quá. Anh cũng định sẽ nói về sheaf khi nói tới lược đồ (scheme) nhưng giờ có Quantum nhận viết cho .. nhẹ cả vai Mà cũng có khi viết về cùng một chủ đề theo nhiều cách nhìn khác nhau sẽ rất hay. Anh chủ yếu nhìn theo cái nhìn đại số nên vì thế khái niệm sheaf sẽ rất trừu tượng.

Khi viết về sheaf, anh định sẽ đi sâu một chút về line bundles (invertible sheaves), các ánh xạ, các phép nhúng cho bởi các line bundles. Mục đích là để sau này giới thiệu về một vài hướng nghiên cứu về đối đồng điều Koszul của bó, giả thuyết Fujita (freeness and very ampleness) và giả thuyết Green (canonical curves). Kế hoạch thì nhiều nhưng không biết viết được bao nhiêu

PS: math0 chuyển sang unicode cho mọi người dễ đọc.Nếu bác CXR và quantum không đánh tiếng việt được thì đánh kiểu VIRQ rồi vào đây convert:
http://d1200796.u45....iet/default.asp

Lâu nay bận làm bên POW và cũng hơi lười nên bỏ bê mất mục này. Sắp tới CXR sẽ tiếp tục.

vinhspiderman: Có khá nhiều giáo trình cơ sở về Hình học đại số, nhưng kinh điển nhất vẫn là cuốn "Introduction to algebraic geometry" của R. Hartshorne. Tuy nhiên bài tập trong cuốn này rất khó (đặc biệt là chương 3), vì thế anh nghĩ là trước khi đọc Hartshorne nên bắt đầu bằng một trong 3 cuốn sau:

(1) Introduction to commutative algebra and algebraic geometry của Kunz - cuốn này có ngôn ngữ và cách nhìn rất đại số.
(2) Basic algebraic geometry của Shafarevich - cuốn này có cách tiếp cận gần với giải tích hơn.
(3) Ideals, varieties and algorithms của Cox, Little và O'shea - cuốn này đọc khá hay nhất là về cơ sở Grobner.

Ngoài ra, theo anh thì khi đọc Hartshorne nên đọc kèm theo cuốn "The geometry of schemes" của D. Eisenbud và J. Harris và cuốn "Using algebraic geometry" của Cox, Little và O'shea.

Để học Hình học đại số thì cần có một nền tảng về đại số giao hoán khá vững. Anh nghĩ trước tiên nên đọc cuốn "Introduction to commutative algebra" của Atiyah và Macdonald, sau đó đọc cuốn "Introduction to commutative algebra" của Eisenbud hay cuốn "Commutative algebra" của Matsumura. Về homological algebra thì đọc thêm cuốn của C. Weibel. Về Representation theory thì đọc cuốn của Fulton (cuốn này khá khó).

Gần đây có một số cuốn sách sau khá hay:

(4) Combinatorial Commutative Algebra của E. Miller và B. Sturmfels - rất cơ bản và dễ đọc.
(5) Geometry of syzygies của D. Eisenbud và J. Harris - hay nhưng đòi hỏi phải đọc hết Hartshorne rồi.
(6) Positivity in Algebraic Geometry của R. Lazarsfeld - rất hay cũng đòi hỏi phải biết Hartshorne và một chút về Representation theory.
(7) Resolution of singularities của S.D. Cutkosky - rất hay nhưng cũng đòi phải biết Hartshorne và một chút trong giáo trình "Commutative algebra" của Zariski và Samuel.

(Danh mục sách anh đưa ra đây chỉ là một phần rất nhỏ của các giáo trình đang có hiện tại và mang nặng thiên hướng đi sâu về mặt đại số của chuyên ngành.)

Đa tạp đại số (tiếp)

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp affine, ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quy và chiều của một đa tạp xạ ảnh. Ta cũng có thể xây dựng tương ứng 1-1 (giống như tương ứng trong trường hợp affine) giữa đa tạp xạ ảnh và iđêan căn thuần nhất. Từ tương ứng này ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S xác định tập rỗng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n.

Liên hệ giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine.

Một trong các mối liên hệ quan trọng giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine là mỗi đa tạp xạ ảnh đều có thể được xem như hợp của một số hữu hạn các đa tạp affine. Cách nhìn này sẽ là khá quan trọng cho các thảo luận kế tiếp.

Định nghĩa: giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f (hay đa tạp xạ ảnh xác định bởi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f) trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n là một siêu mặt. Trong trường hợp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là một đa thức tuyến tính thuần nhất, ta gọi tập các không điểm của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là một siêu phẳng.

Nhận xét rằng, mỗi biến http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là một đa thức tuyến tính thuần nhất. Vì thế http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i xác định một siêu phẳng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n - ta ký hiệu siêu phẳng này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_i. Theo định nghĩa thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_i là một tập con mở của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n. Dễ dàng thấy rằng, do định nghĩa, với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{\dfrac{b_j}{b_j}} có nghĩa là ta loại bỏ thành phần http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{b_j}{b_j}).

Dễ thấy rằng nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j (với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j nào đó) - nghĩa là, nếu tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j là ánh xạ xác định trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j.

Bài tập: (các bạn nên thử làm để hiểu rõ vấn đề hơn)
(1) Chứng minh rằng với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j là một homeomorphism (không biết từ này dịch thế nào nhỉ!?) - nghĩa là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j là một song ánh tương ứng các tập đóng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j với các tập đóng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n. Ở đây, tôpô trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j được cho bằng cách giới hạn tôpô Zariski trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n lên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j.
(2) Chứng minh rằng mỗi không gian xạ ảnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được phủ bởi các tập con mở http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j định nghĩa như trên.