[quote name="Wendy Sayuri" post="574648" timestamp="1437558411"]Cho 2 vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ thoả mãn: $\left | \vec{a} \right |=1,\left | \vec{b} \right |=2, \left | \vec{a} - 2\vec{b} \right |=\sqrt{15}$
Xác định k thuộc $\mathbb{R}$ để góc giữa $(\vec{a}+\vec{b}), (2k\vec{a}-\vec{b})$ bằng 60⁰.[/quote
Ta có:$\left | \vec{a} - 2\vec{b} \right |^2=15\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{b}=\frac{1}{2}$
$\left | \vec{a} + \vec{b} \right |=\sqrt{6}$
$|2k\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{4k^2-2k+4}$
$( \vec{a} + \vec{b} )(2k \vec{a} -\vec{b})=3k-\frac{9}{2}$
Lại có:$cos60^0=\frac{1}{2}=\frac{( \vec{a} + \vec{b} )(2k \vec{a} -\vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} |.| 2k \vec{a} -\vec{b} |}$
$\Leftrightarrow 6k-9=\sqrt{24k^2-12k+24}$
$\Rightarrow k=...$

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:

1)$B=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3u}+\frac{1}{u}$
$<=>B=\frac{1-2u}{u(1-3u)}<=>3Bu^2-(B+2)u+1=0$
$\Delta=(B+2)^2-12B\geqslant 0<=>B\geqslant 4+2\sqrt{3}$

Giúp em với ạ tập đính kèm ở dưới thanks mọi người

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ có $A(-1;-3)$ đường trung trực của $AB : 3x + 2y – 4 = 0, G( 4;-2)$ là trọng tâm $\Delta ABC$
Viết phương trình cạnh $BC$. Tìm $B, C$
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ qua $M(4;1)$ cắt $Ox, Oy$ tại
$A, B$ theo các trường hợp sau:
a). Diện tích $\Delta OAB$ nhỏ nhất
b). $OA + OB$ nhỏ nhất


p/s: ghi lên đây cho mọi người dễ làm

2/
a)Ta có $OA>4,OB>1$ nên ta đặt $u,v$ sao cho $OA=v+4;OB+u+1$ và $Ox_1=4;Oy_1=1$ (giả thiết)
$S=_{OAB}=OA.OB.\frac{1}{2}=(v+4)(u+1).\frac{1}{2}$
$\Delta By_1M \sim \Delta Mx_1A=>\frac{u}{4}=\frac{1}{v}<=>u=\frac{4}{v}$
$=>(v+4)(u+1)=(v+4)(\frac{4}{v}+1)<=>\frac{S_{OAB}}{v}=\frac{1}{2}(\frac{4}{v}+1)^2\geqslant \frac{8}{v}$
$=>S_{OAB}\geqslant 8$.Dấu "=" xảy ra khi $v=4;u=1<=>OA=8;OB=2$
$=>y=\frac{1}{4}x$

b)$S=OA+OB=v+u+5=\frac{v^2+5v+4}{v}<=>v^2+(5-S)v+4=0$
$\Delta \geqslant 0<=>S\geqslant 9$ hay $OA+OB\geqslant 9$
Dấu "=" xảy ra khi $v=2;u=2<=>OA=6;OB=3$
$=>y=x-3$
P/S: em mới học cấp 2 nên sai thì thông cảm

Bài 1: Cho $n\in \mathbb{Z^+}$ và kí hiệu $U(n)={d_1,d_2,...,d_m}$ là tập hợp các ước nguyên dương của $n$.

Chứng minh rằng: $d_1^2+d_2^2+...+d_m^2\leq n^2\sqrt{n}$

 

Bài 2: Cho $a.b.c>0$.Chứng minh:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z\in (0;1)$.Chứng minh:

$\frac{1}{x(1-y)}+\frac{1}{y(1-z)}+\frac{1}{z(1-x)}\geq \frac{3}{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}$

 

Bài 4: Tìm giá trị của $k$ để phương trình sau có nghiệm

             $(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+5k^2-6k+3]=2x+1$

 

Bài 5: Giải phương trình: $x+1=\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1)}}}$

 

Bài 6: Giải bất phương trình: $\sqrt{x^4+x^2+1}+\sqrt{x(x^2-x+1)}\leq \sqrt{\frac{(x^2+1)^3}{x}}$

 

Bài 7: Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thỏa $1\leq a_1\leq...\leq a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_i,a_j(1\leq j\leq i\leq n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=3$.Chúng minh rằng:

               $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa: $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1$

 Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

Bài 3: Cho $x_1,x_2,...,x_n>0$ thỏa $x_1+x_2+...+x_n=k$

Tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=x_1x_2...x_n$

 

Bài 4: Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$.Gọi $m$ là trung bình cộng của tất cả các ước số của $n$.

 Chứng minh rằng: $\sqrt{n}\leq m\leq \frac{n+1}{2}$

 

Bài 5: Cho $a,b>0$.Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa:

  $\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$

 

Bài 6: Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$.Chứng minh\

               $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$

Thêm vài bài:

Bài 7: Cho $a,b,c$ thỏa $a\geq b\geq c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh rằng:

            $[m(a+b-c)-ab][m(b+c-a)-bc][m(c+a-b)-ca]\leq \frac{a^2b^2c^2}{8}$

Bài 8: Tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $f=\frac{mn}{mu^2+nv^2}$ trong đó $m,n,u,v\in \mathbb{Z^+}$ thỏa:

                         $u+v=20$ và $m+n=10$

Bài 9: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ sao cho bất đẳng thức luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$:

                              $(x+1)(x+2)^2(x+3)\geq m$

Bài 3:
Đổi biến $\left ( \frac{a}{a+b},\frac{b}{b+c},\frac{c}{c+a} \right )\rightarrow (1-x,1-y,1-z)$
Dễ thấy $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\iff 2xyz=1+\sum x-\sum xy$
BĐT$\iff \sum (1-x)^2+4xyz\geqslant 3-(x+y+z)+\frac{1}{4}$
$\iff x^2+y^2+z^2+4xyz\geqslant x+y+z-\frac{1}{4}$
Thay $2xyz=1+\sum x-\sum xy$
$\iff x^2+y^2+z^2+2+2(x+y+z)-2(xy+yz+zx)\geqslant x+y+z-\frac{1}{4}$
$\iff (x+y+z)^2-3(x+y+z)+\frac{9}{4}\geqslant 0\iff [2(x+y+z)-3]^2\geqslant 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $\sum \frac{a}{a+b}=\frac{3}{2}\iff ....$

Bài 5: Tìm các số $p,n $ thoả $p$ nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho

$p^3 -2p^2 + p +1= 3^n $

Giải theo kiểu này:

$\iff (p+1)(p^2-3p+4)=3(3^{n-1}+1)$

Đặt $d=\gcd(p+1,p^2-3p+4)\Longrightarrow d=\gcd(p+1,-5p+3)=\gcd(p+1,8)\iff d\mid 8$

Dễ thấy $\gcd(3,3^{n-1}+1)=1$ nên ta có các trường hợp sau:

$d=1\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} p^2-3p+4=3^{n-1}+1\\ p+1=3 \end{matrix}\right.\iff (n,p)=(1,2)$

 

$d=2\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{p^2-3p+4}{2}=\frac{3^{n-1}+1}{4}\\ \frac{p+1}{2}=3 \end{matrix}\right.\iff (n,p)=(4,5)$

 

$d=4\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{p^2-3p+4}{4}=\frac{3^{n-1}+1}{16}\\ \frac{p+1}{4}=3 \end{matrix}\right.\iff PT$ vô nghiệm

 

$d=8\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{p^2-3p+4}{8}=\frac{3^{n-1}+1}{64}\\ \frac{p+1}{8}=3 \end{matrix}\right.\iff PT$ vô nghiệm

 

Vậy $(n,p)=(1,2);(4,5)$

5/

Từ điều kiện đề bài, ta thấy số cách chọn tối đa tuân theo quy luật dãy số Fibonacci:$\left\{\begin{matrix}F_1=1;F_2=2\\F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \end{matrix}\right.$

$\implies$ Với $10$ người thì có tối đa $89$ cách sắp xếp theo chuẩn thứ tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2;5), B(-1;-1) và C(4;9).
a. Viết phương trình đường thẳng BC.
b. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
c. Chứng minh rằng ba đường thẳng BC; $3x-y-1=0$ và $x-2y+8=0$ đồng quy.

a.Do $B,C$ thẳng hàng nên ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} -1=-a+b & \\ 9=4a+b & \end{matrix}\right.$
Giải hệ này suy ra pt đường thẳng $BC: y=2x+1$
b.Thay toạ độ điểm $A$ vào pt đường thẳng $BC$ thoả mãn nên $A\in $ đt $BC$ (đpcm)
c.3 đt đồng quy nên tồn tại $x$ thoả 3 pt: $2x+1=3x-1=\frac{x+8}{2}\Leftrightarrow x=2,y=5$
Vậy 3 đường thẳng đồng quy tại $M(2;5)$ (đpcm)

Tiếp theo: 

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\le \frac{3}{2}$

 

Ta xét mẫu số của 3 phân thức:

Dự đoán $a=b=c=1$ thì DBXR

Chú ý rằng: 

  $b^2-2b+3=(b-1)^2+2\geqslant 2$

  

  $c^3+a^2-2a-3c+7=(c-1)^2(c+2)+(a-1)^2+4\geqslant 4$

 

  $a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11=(a^2-1)^2+3(a-1)^2+(b^2-1)^2+6\geqslant 6$

 

$\Longrightarrow VT\leqslant \frac{a^3}{2}+\frac{2b^3}{4}+\frac{3c^3}{6}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh: 
 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{13}{a+b+c+1}\ge \frac{25}{4}$

Mình làm lại bài 1 như sau:

Đổi biến $(a,b,c)\rightarrow \left (\frac{x^2}{yz},\frac{y^2}{zx},\frac{z^2}{xy}\right )$
Giả sử $x\leqslant y\leqslant z\Longrightarrow z^2\geqslant xy$

BĐT$\iff \sum \frac{xy}{z^2}+\frac{13xyz}{x^3+y^3+z^3+xyz}\geqslant \frac{25}{4}$

$\iff \frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}\geqslant \frac{13(x^3+y^3+z^3-3xyz)}{4(x^3+y^3+z^3+xyz)}$

Ta có: $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\left [(x-y)^2+(z-x)(z-y)\right ]$
Và $z^2\geqslant xy\Longrightarrow x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2$
$=(xy+yz+zx)\left [z^2(x-y)^2+xy(z-x)(z-y)\right ]\geqslant xy(xy+yz+zx)\left [(x-y)^2+(z-x)(z-y)\right ]$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{xy(xy+yz+zx)\left [(x-y)^2+(z-x)(z-y)\right ]}{x^2y^2z^2}\geqslant \frac{13(x+y+z)\left [(x-y)^2+(z-x)(z-y)\right ]}{4(x^3+y^3+z^3+xyz)}$

$\iff 4(xy+yz+zx)(x^3+y^3+z^3+xyz)\geqslant 13xyz^2(x+y+z)$

Do tính thuần nhất nên ta chuẩn hóa $x+y=2\Longrightarrow xy\leqslant 1\leqslant z$ và $x^3+y^3\geqslant 2$

$\iff 4(2z+xy)(2+z^3+xyz)\geqslant 13xyz^2(z+2)$
$\iff (8z^4-9z^3-18z^2+20z+8)+(1-xy)(9z^3+18z^2-4z-4xyz-8)\geqslant 0$
Chú ý rằng với $z\geqslant 1$, ta luôn có
$8z^4-9z^3-18z^2+20z+8>0$

$9z^3+18z^2-4z-4xyz-8\geqslant 9z^3+18z^2-4z-4z^3-8=5z^3+18z^2-4z-8>0 $

Vậy ta có đpcm, dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Từ đó ta thu được $1\leqslant t< 2\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leqslant xy< 1$

 

Mình có cách ngắn hơn cho phần này: 

Đặt $t=xy$

Từ giả thiết chú ý rằng: $\sqrt{2xy}\leqslant \frac{1}{2}+xy$

$\Longrightarrow x^4+y^4\leqslant 2-\frac{1}{xy}+xy\iff 2x^2y^2\leqslant 2-\frac{1}{xy}+xy$

$\iff 2t^3-t^2-2t+1\leqslant 0\iff (t+1)(t-1)(2t-1)\leqslant 0\iff \frac{1}{2}\leqslant t \leqslant 1$

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{13}{a+b+c+1}\ge \frac{25}{4}$

Chém bài 1 :
Biến đổi $(a,b,c)\Rightarrow \left (\frac{x^2}{yz},\frac{y^2}{xz},\frac{z^2}{xy}\right )$

BĐT$\iff \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}+\frac{13xyz}{x^3+y^3+z^3+xyz}\geqslant \frac{25}{4}$

$\iff \frac{x^3+y^3+z^3+xyz}{xyz}+\frac{13xyz}{x^3+y^3+z^3+xyz}\geqslant \frac{29}{4}$

Ta đặt $t=\frac{x^3+y^3+z^3+xyz}{xyz}$
$\iff t+\frac{13}{t}\geqslant \frac{29}{4}\iff (t-4)(4t-13)\geqslant 0\iff t\geqslant 4$
Điều này luôn đúng vì $t\geqslant 4\iff x^3+y^3+z^3\geqslant 3xyz$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13$.

Có thể mở rộng bài toán: Tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng:

                           $a^2+b^2+c^2+kabc\geqslant 3+k$

P/s: Chọn $k=\frac{4}{3}$ ta có bài toán trên

Chỗ màu đỏ bạn biến đổi như thế nào

Mình biến đổi sai rồi bạn ơi

Thứ nhất: sau khi mình check thì đề có chút nhầm lẫn:

Lại là:

Bài 176: Tìm $x\in \left [ 0;3 \right ]$ thỏa mãn:

$x\sqrt{5-x}+\left ( 3-x \right )\sqrt{2+x}=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$

Thứ hai: Lời giải của bác cũng có nhầm lẫn:

$18-6x(x-3)<(\frac{63}{2})^2 (?????)$ lưu ý điều kiện $x\in \left [ 0;3 \right ]$

P/S: $x=\frac{3}{2}$ là Max xảy ra

P/S lần nữa: Mời mọi người! Xin hết ~!

$VT^2=18-6x(x-3)\leqslant \frac{63}{2}<=>-(2x-3)^2\leqslant 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra nên $x=\frac{3}{2}$

Bài 175: Tìm nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình

             $\left\{\begin{matrix}2^x-|y^2-y|=1\\2^x+|y-1|<1 \end{matrix}\right.$

Bài 171: Giải phương trình (bài khá hay )
$\frac{1001x^4+x^4\sqrt{2x^2+2002}+4x^2}{999}=2002$

Bài 172: Giải phương trình: $\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+17x^2-8x+22$

Bài 253:Giải hệ phương trình $(n$ là số tự nhiên và $n\geqslant 2)$

     $\left\{\begin{matrix}x_1^2=x_2+1\\x_2^2=x_3+1\\.................. \\ x_{n-1}^2=x_n+1\\x_n^2=x_1+1\end{matrix}\right.$

Bài 'chế' từ BĐT của phương trình trên là min còn một phương trình nữa là max như sau.

Bài 176: Tìm $x\in \left [ 0;3 \right ]$ thỏa mãn:

$x\sqrt{5-x}+\left ( 3-x \right )\sqrt{2+x}=\frac{63}{2}$

Tương tự thì $VT^2=18+x(x-3)+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(x+2)}\leqslant 18+x(x-3)+7x(3-x)=18-6x(x-3)<(\frac{63}{2})^2$
=>PT vô nghiệm

Bài 282: Tìm $a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất:

       $\left\{\begin{matrix} x^2+|a+1|x\leqslant x^5-7x^2+x+2\\ x^4+x^3+(a^2-3)x^2=4x+4+4a^2\end{matrix}\right.$

Giải phương trình $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

ĐKXĐ: $\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$
Ta có đánh giá sau:
$VT=1.\sqrt{\frac{1}{x}-1}\leqslant \frac{1}{2x}$ (theo AM-GM)
Mặt khác: $VP- \frac{1}{2x}=\frac{2x^3+3x^2-1}{2x(x^2+1)}=\frac{(x+1)^2(2x-1)}{2x(x^2+1)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra nên. $x=\frac{1}{2}$

Bài 203: Giải phương trình:

                $\frac{|x|\sqrt{x^2+1}-x^2-3+2\sqrt{2}}{|x|\sqrt{x^2+1}+x^2+3-2\sqrt{2}}=x^2$