Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho trục của khối trụ là trục $Oz$, tâm $I$ của khối cầu thuộc trục $Ox$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ của khối cầu đến trục của hình trụ. Khi đó $I(d;0;0)$. Phần chung $\mathcal{H}$ của khối trụ và khối cầu là một thể trụ nên có thể tích là:

$$v=\iiint_{\mathcal{H}}dxdydz=\iint_{\mathcal{D}}\sqrt{R^2-(x-d)^2-y^2}dxdy,$$
trong đó $\mathcal{D}$ là hình chiếu của $\mathcal{H}$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Dễ thấy $\mathcal{D}$ là hình tròn tâm $O$, bán kính $r$. Do đó:

$$v=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-(\lambda \cos \varphi -d)^2-\lambda^2\sin^2 \varphi} d\lambda=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$$

Về mặt lý thuyết thì có thể tính được tích phân $\int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$ bằng cách đổi biến và tách thành hai tích phân dạng $\int_{m}^{n}\sqrt{a^2-x^2}dx$, $\int_{m_2}^{n_2}\sqrt{a^2-x^2}xdx$. Nhưng rõ ràng là nó chả dễ tẹo nào.

Anh Thanh giúp em mở mang tầm mắt với, hic hic 

Nghĩa là tính ra đc hẳn số đo của $\angle MFB$ luôn ấy ạ?

Đúng rồi, là tính số đo góc đó

Cho điểm $M$ không thuộc đường thẳng $d$. Một đường tròn $(c)$ tâm $M$ với bán kính bất kỳ sao cho $(c)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $C$ là giao điểm của đường tròn $(B, BM)$ và đường tròn $(c)$ ($C$ thuộc cung nhỏ $AB$. Gọi $D$ là giao điểm của $d$ và $(B,BM)$. Gọi $E$ là giao điểm của đường tròn $(C,CD)$ và đường tròn $(c)$, $E$ thuộc cung $AC$ nhỏ. Đường thẳng $ME$ cắt $d$ tại $F$. Tính góc $\widehat{MFB}$.

$y'=\dfrac{-x^{2}+6x+5}{\left(x^{2}+x+2\right)^{2}}$

$y'=0 \Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{14}$

Vẽ bảng biến thiên của $y$ ta thấy $\dfrac{-7-2\sqrt{14}}{7}\leq y\leq \dfrac{-7+2\sqrt{14}}{7}$

Nên các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ nguyên $y=-2;-1;0$

Từ đó tìm đc các điểm $A(-1;-2)$ ; $B\left(\frac{-1}{2};-1\right)$ ; $C\left(-1-\sqrt{2};-1\right)$ ; $D\left(-1+\sqrt{2};-1\right)$ ; $E(3;0)$

Phần màu đỏ có thể làm bằng cách sơ cấp hơn là 

$$y=\frac{x-3}{x^{2}+x+2} \Leftrightarrow yx^2 + (y-1)x+2y+3 = 0 \quad (1)$$

Ta cần tìm $y \in \mathbb{Z}$ để phương trình (1) có nghiệm. Xét hai trường hợp

*TH1: $y=0$

*TH2: $y \neq 0$ thì $\Delta \geq 0$.

Ta có $u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}\Leftrightarrow u_n-u_{n-1}=n(u_{n-1}-u_{n-2}). $

Nếu đặt $u_n-u_{n-1}=v_{n-1}$ thì ta được $v_n=nv_{n-1} .$

Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_2-u_1=2$ và $q=n.$

 

Cấp số nhân thì $q$ phải là hằng số bạn nhé.

Từ $v_n=nv_{n-1}, \forall n \geq 1$ ta suy ra $v_n=n!, \forall n \geq 1$. Khi đó

$$u_n-u_{n-1}=v_{n}=n!\Leftrightarrow u_n=u_{n-1}+n!, \forall n \geq 2$$

Do đó

$$\begin{align*} u_1&=1 \\ u_2 &= u_1 + 2! \\ u_3 &= u_2 + 3! \\ ... & ... \\   u_n &= u_{n-1} + n! \end{align*}$$

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được $u_n= \sum_{k=1}^{n} k!, \forall n \geq 1$.

Rất tiếc là không thể biểu diễn $u_n$ qua các hàm số sơ cấp.

$$\sum_{k=0}^{n}k!=\dfrac{i\pi}{e}+\dfrac{Ei (1)}{e}-\dfrac{(-1)^n \Gamma [n+2]\Gamma [-n-1,-1]}{e},$$

với

$$Ei(x) = -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t dt, \quad \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}dt; \quad \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}dt$$

Xem ở đây: https://diendantoanh...psilon-mathbbr/

Có thể người ta xấp xỉ hàm ngược này bằng chuỗi
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+…$
Chỉ lấy $2$ số hạng đầu ta được xấp xỉ:
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{3!}$
Nên $\text{sinc}^{-1}x \approx \sqrt{6(1-x)}$
 

Ban đầu em cũng làm như anh Thanh là dùng chuỗi hàm đề xấp xỉ. Tuy nhiên sai số lớn quá so với yêu cầu của bạn em. Họ yêu cầu sai số không vượt quá 5mm đối với 100m. Do vậy em giải phương trình bằng phương pháp Newton
 

Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình

$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x  = 0$$

Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:

$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$

Ta lập dãy

$$\begin{cases}x_0 = \dfrac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\dfrac{\sin(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$

Sau đó chỉ cần dùng 1 file Excel là có thể cho ra kết quả với sai số tùy ý, thường thì các số liệu thực tế sẽ cho kết quả ở bước 6.

p/s: Hình như Diễn đàn không cho up file Excel

Trong thực tế sản xuất mái vòm cuốn bằng kim loại, người ta gặp bài toán sau:

Tìm bán kính của đường tròn $R$ và chiều cao $h$ của hình viên phân có độ dài cung là $l$ và độ dài dây cung là $w$. 

Bạn hãy giúp nhà sản xuất giải bài toán trên.

Cho 2 đường thẳng $d_1: mx + (m-1)y - 2m +1= 0$ và $d_2: (1- m)x + my - 4m + 1 =0.$

b) Chứng minh $d_1$; $d_2$ luôn cắt tại 1 điểm cố định là $I$. Khi $m$ thay đổi thì $I$ chạy trên đường nào.

c) Tìm GTLN của diện tích tam giác $IAB$ với $A$; $B$ là các điểm cố định mà $d_1$; $d_2$ đi qua.

Ta chỉ ra các điểm cố định của $d_1, d_2$. Với $d_1$, ta có:

$$ mx + (m-1)y - 2m +1= 0, \quad \forall m \Leftrightarrow  m(x+y-2)-y+1=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+y-2=0 \\ -y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow  x=y=1$$

Vậy điểm cố định của $d_1$ là $A(1;1)$.

$$(1- m)x + my - 4m + 1 =0, \quad \forall m \Leftrightarrow  x + 1 +m(y-x-4)=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+1=0 \\ y-x-4=0 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$$

Vậy điểm cố định của $d_2$ là $B(-1;3)$.

Dễ thấy 

$$m(1-m) + (m-1)m = 0, \quad \forall m$$

Do đó $d_1 \perp d_2$. 

Vậy giao điểm $I$ của $d_1,d_2$ là điểm luôn nhìn $AB$ dưới 1 góc vuông. Do đó khi $m$ thay đổi, $I$ chạy trên đường tròn đường kính $AB$.

Diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ $I$ đến $AB$ lớn nhất, khi đó $IAB$ là tam giác vuông cân. Tìm được $I(-1;1)$ hoặc $I(1;3)$

Có một điều anh cũng không hiểu là những SKKN được đánh giá khá, tốt là những SKKN kiểu như: phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn, phương pháp giải phương trình vô tỉ, tìm cực trị số phức bằng phương pháp hình học, phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc ba, ...

Theo anh hiểu thì SKKN cũng như một luận văn hay NCKH nói chung, phải có tính mới, tính sáng tạo. Theo anh hiểu những nội dung kia, sao người ta vẫn tìm được cái mới trong nó nhỉ? Tra google những nội dung đó thì có thể thấy hàng tá các bài báo, sáng kiến. Họ làm thế nào mà vẫn tìm ra được cái mới ở một rừng các phương pháp giải của toán sơ cấp đã phổ biến. Liệu có phải cái nhìn của anh quá phiến diện không? Hay là họ tìm được một thứ mới thật nhỉ? Anh xin các SKKN đó để đọc mà chưa được.

Nếu không bắt buộc thì anh Thế cứ làm đại cho xong là được, để sức sáng tạo viết bài đăng chỗ khác, như các tạp chí Toán hay đăng lên VMF chắc là hữu ích hơn

Khuê khuyên thật đúng, những năm tới anh không đầu tư vào cái SKKN này nữa, mất thời gian mà chuốc bực mình vào người

SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài toán tổ hợp tạo số  bằng lập trình PASCAL 

Tuyệt vời! Không cho ra trang chủ hơi phí anh Thế à!

 

P/s: Chúc mừng anh Thế xong Thạc sỹ   

Thật ra anh đã xong thạc sỹ từ năm 2018 rồi. Luận văn của anh về Tối ưu trên đa tạp Riemann, không phải cái SKKN này đâu.

Cái SKKN này chỉ được người chấm của Sở GD đánh giá loại TB (59đ/100đ) thôi. Nhưng anh thấy công sức mình bỏ ra, dù là không được đánh giá cao, vẫn nên chia sẻ với mọi người bằng một chút tự hào nho nhỏ, của nhà trồng được mà.

Nhớ hơn 10 năm trước mình từng rất sôi nổi trên diễn đàn, đã từng điều hành diễn đàn. Giờ sau 10 năm quay lại, không biết những người bạn chung có còn gắn bó diễn đàn hay không, không biết diễn đàn có còn hoạt động sôi nổi như xưa hay không?...
Nhớ quá, diễn đàn với một thời vàng son!

Chào mừng thầy Định quay trở lại. Thầy có ý tưởng gì cho nhóm giáo viên toán trên diễn đàn không, như hồi xưa từng làm với thầy An ý

Cho em hỏi nguyên tắc thi đấu này đã được xây dựng như thế nào?—

https://diendantoanh...ều-lệ-mhs-2013/

Mình cũng là một trong những người tham gia xây dựng luật chơi. Nguyên tắc chung có thể kể với mấy gạch đầu dòng như sau:

- Sau mỗi trận, phải có một số người chơi bị loại.

- Số người bị loại ở trận sau không ít hơn số người bị loại ở trận trước

- Đến trận đấu cuối cùng, chỉ còn đúng 10 người.

- Thứ tự ưu tiên bị loại: người ít sôi nổi phải bị loại trước người ít điểm

Thật ra MHS, MSS, MO rất hấp dẫn, nó cũng góp phần xây dựng thế hệ min, mod ngày nay. Tuy nhiên, các cuộc thi này không tiếp tục được do khủng hoảng công tác trọng tài ở thời điểm đó

Kỳ thi Olympic Toán Quốc tế lần thứ 64 đang diễn ra tại Chiba, Nhật Bản. Tham dự kỳ thi có 618 học sinh đến từ 112 quốc gia và vùng lãnh thổ. Đội tuyển Việt Nam gồm 06 học sinh

1. Phạm Việt Hưng (12A1, Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội) - người đoạt HCV IMO 2022 tại Na Uy.
2. Nguyễn An Thịnh (12 Tin, Trường THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng). 
3. Hoàng Tuấn Dũng (12 Toán 1, Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội). 
4. Khúc Đình Toàn (12 Toán, Trường THPT Chuyên Bắc Ninh). 
5. Trần Nguyễn Thanh Danh (12 Toán, Trường PTNK, TP.HCM). 
6. Nguyễn Đình Kiên (11 Toán, Trường THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng).

Kết quả, đội tuyển của chúng ta đã đã giành được 02 HCV, 02 HCB và 02 HCĐ, đạt tổng số điểm 180.

Với kết quả này Việt Nam xếp thứ 7 toàn đoàn (sau Trung Quốc, Mỹ, Hàn Quốc, Rumani, Canada, Nhật Bản).

Cùng thảo luận về đề thi tại đây

Phải dùng gradient descent như thế thì bài toán này có nghiệm giải tích chính xác không anh?

Hic, rất tiếc là không có nghiệm giải tích chính xác.

Một lời giải cho bài toán trên được trình bày từ trang 47 trong tài liệu này ạ   The-luanvan-2018.pdf   798.17K   205 Số lần tải

Số cực trị của hàm số $f(x)$ không phụ thuộc vào số nghiệm của $f(x)=0$. Với giả thiết của bạn, hàm số $y=f(x)$ có thể có $0, 1, 2, ....$ đến vô số cực trị trong $(x_1,x_2)$.
 

Hình thứ nhất: không có cực trị

Hình thứ hai: có 1 cực trị

Hình thứ ba: có nhiều cực trị

https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/

Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.

Đối với hàm số đa thức thì đúng.

Mệnh đề. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ bậc $n$. Nếu $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt thì nó có đúng $n-1$ cực trị. 

Chứng minh: Vì $y=f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $y=f(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt là $x_1<x_2<...<x_n$. Ta chứng minh trong khoảng $(x_1;x_2)$, hàm số có ít nhất 1 cực trị. Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(x_1;x_2)$, $f(x_1)=f(x_2)=0$ và $f(x) \neq 0, \quad \forall x \in (x_1;x_2)$ nên tồn tại ít nhất một hằng số $c \in (x_1;x_2)$ sao cho trong hai khoảng $(x_1;c), (c;x_2)$, hàm số  $f(x)$ đồng biến trong khoảng này và nghịch biến trong khoảng kia. (nếu không, hàm số đơn điệu 1 chiều trên $(x_1;x_2)$ thì $f(x_1) \neq f(x_2)$).

Vậy $x=c$ là một cực trị của hàm số $y=f(x)$

Từ đó suy ra hàm số $y=f(x)$ có ít nhất $n-1$ cực trị. 

Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cực trị là nghiệm của $f'(x)=0$. Nhưng $f'(x)=0$ là đa thức có bậc $n-1$ nên có tối đa $n-1$ nghiệm. 

Vậy $f(x)$ có đúng $n-1$ cực trị
 

1) $f(x)=\begin{cases} \begin{matrix}  x^2 & khi  & x \leq 1 \\   x & khi & 1 <x \leq 2 \\  2 & khi & 2 \leq x \leq 3\\ -2x+8 & khi & x > 3\end{matrix} \end{cases}$

TỔNG KẾT CUỘC THI GIẢI TOÁN "MỪNG XUÂN GIÁP THÌN, MỪNG VMF TRÒN 20 TUỔI"

Như các bạn đã biết, Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi" đã diễn ra thành công. Đây là hoạt động đầu tiên trong chuỗi hoạt động chào mừng Kỷ niệm 20 năm ngày thành lập Diễn đàn toán học VMF. Tuy chỉ diễn ra trong 5 ngày tết nguyên đán Giáp Thìn, nhưng cuộc thi đã thu hút được nhiều lượt thành viên quan tâm. Bảng số liệu dưới đây (tính đến 20h19 ngày 17/02/2024) là một minh chứng cho nhận định đó:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Bài thi}& \textbf{Số lượt xem} & \textbf{Số lượt trả lời} & \textbf{Số thí sinh đạt giải}\\ \hline \text{Bài 1}& 6339 & 25 & 3\\ \hline \text{Bài 2}& 6164 & 21 & 3\\ \hline \text{Bài 3}& 4617 & 10 & 1\\ \hline \text{Bài 4}& 4174 & 17 & 3\\ \hline \end{array}$$

Ban Tổ chức đã xếp giải cho 10 lượt thí sinh đạt giải. Tuy nhiên, có 03 lượt thí sinh từ chối nhận giải. Các thí sinh còn lại sẽ được BTC vinh danh trên fanpage. 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Bài thi} & \textbf{Giải} & \textbf{Họ và tên} & \textbf{Lớp} & \textbf{Trường} & \textbf{Huyện (TP)} & \textbf{Tỉnh} \\ \hline 1  & \text{ Nhất } & \text{ Nguyễn Bảo Khánh } & \text{ 9C } & \text{ THCS Nhữ Bá Sỹ } & \text{ Hoằng Hóa } & \text{ Thanh Hóa} \\ \hline 1 & \text{ KK } & \text{ Lê Trung Tấn Huy } & 9/6 & \text{ THCS Nguyễn Tri Phương } & \text{ Huế } & \text{ Thừa Thiên - Huế} \\ \hline  2 & \text{ Nhất } & \text{ Nguyễn Bảo Khánh } & \text{ 9C } & \text{ THCS Nhữ Bá Sỹ } & \text{ Hoằng Hóa } & \text{ Thanh Hóa} \\ \hline 2 & \text{ KK } & \text{ Trịnh Bá Hiếu } & \text{ 9A } & \text{ THCS Lê Hồng Phong } & \text{ Hưng Nguyên } & \text{ Nghệ An} \\ \hline 4 & \text{ Nhất } & \text{ Lê Trung Tấn Huy } & 9/6 & \text{ THCS Nguyễn Tri Phương } & \text{ Huế } & \text{ Thừa Thiên - Huế} \\ \hline  4 & \text{ KK } & \text{ Nguyễn Huy Gia Bảo } & \text{ 9A6 } & \text{ THCS Phạm Văn Đồng } & \text{ Cư Jut } & \text{ Đăk Nông} \\ \hline 4 & \text{ KK } & \text{ Nguyễn Bảo Khánh } & \text{ 9C } & \text{ THCS Nhữ Bá Sỹ } & \text{ Hoằng Hóa } & \text{ Thanh Hóa} \\ \hline \end{array}$$

b) Cách tính điểm
- Bài trả lời lần đầu của thí sinh được tính theo thang điểm 10.

- Các trả lời sau của cùng thí sinh đó thì được tính là cách giải khác.


a) Khen thưởng.
- Sau khi kết thúc cuộc thi, BTC sẽ trao 01 giải Chính thức, 02 giải KK cho mỗi bài thi.
+ Giải chính thức: 200.000VND
+ Giải KK: 50.000VND/giải

- Nếu 03 thí sinh được giải trên mà có thêm cách giải khác thì mỗi cách giải đúng khác được +10.000VND.
- Hình thức thưởng: chuyển khoản

- Thí sinh có lời giải đúng mà có thêm cách giải khác thì mỗi cách giải đúng khác được +10.000VND.