Bài 8: Giải hệ phương trình: $\begin{cases} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y=4 \\
x(x+y+1)+y(y+1)=2 \end{cases}$
Đề thi thử ĐH trường Hậu Lộc - Thanh Hóa

Hệ đã cho tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=4\\ x^{2}+y^{2}+x+y+xy=2 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}+(x+y)-2xy=4\\ xy=-2 \end{matrix}\right.$$
Suy ra
$$\left\{\begin{matrix} x+y=0\\ xy=-2 \end{matrix}\right.$$
hoặc $\left\{\begin{matrix} x+y=-1\\ xy=-2 \end{matrix}\right.$
\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 \\
y = - \sqrt 2 \\
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt 2 \\
y = \sqrt 2 \\
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \\
y = - 2 \\
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2 \\
x = 1 \\
\end{array} \right.
\]
Vậy hệ có 4 nghiệm $(x;y)=(\sqrt 2;- \sqrt 2 );(- \sqrt 2 ; \sqrt 2 );(1;-2);(-2;1)$
____
Bạn giải ra tận cùng nhé vì topic này sẽ tổng hợp lại

Bài 1:Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x^2 - y(x + y) + 1 = 0\\(x^2 + 1)(x + y - 2) + y = 0 \end{cases}$$
Đề thi thử Đại học THPT Chuyên ĐH Vinh-Lần 2

do $x^{2}+1\neq 0$ nên chia cho $x^{2}+1$ ta được hệ
$\left\{\begin{matrix}
1-\frac{y(x+y)}{x^{2}+1}=0\\
x+y+\frac{y}{x^{2}+1}-2=0
\end{matrix}\right.$
đặt x+y=a; $\frac{y}{x^{2}+1}=b$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a+b=2\\
ab=1
\end{matrix}\right.$
giải hệ trên tìm được x,y
hệ có nghiệm $\left ( 0;1 \right )$ và $\left ( -1;2 \right )$

Bài 65: Cho x,y,z là 3 số thực dương. Tìm GTLN của
$P=\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{(y+z)(z+x)}}$

áp dụng Cauchy-Schwarz:
${(x+y)(x+z)}\geq \left ( \sqrt{xy} +\sqrt{xz}\right )^{2}$
$\Rightarrow \sqrt{{(x+y)(x+z)}}\geq \left ( \sqrt{xy} +\sqrt{xz}\right )$
$\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$
Tương tự
$\Rightarrow P\leq 1$
ĐTXR khi x=y=z

Bài 82: Cho 2 số thực dương x,y thay đổi thỏa mãn $3x+y\le1$. Tìm GTNN của biểu thức.
$$A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$$

Đề thi Cao đẳng năm 2010

Áp dụng AM-GM
$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{x+y}$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{x+y}\geq 2\sqrt{\frac{2}{x(x+y))}} \Rightarrow A\geq \frac{4}{\sqrt{2x\left ( x+y \right )}}\geq \frac{8}{2x+x+y}\geq 8$
đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{4}$

hihi, mọi người viết như viết văn ý, dài quá
mình đến vs diễn đàn qua cuốn sáng tạo bất đẳng thức

có ai làm được phần 2 bài hình chưa?

mình không hiểu cách giải này lắm

áp dụng bất đẳng thức trên phải suy ra
vế trái $\geq \dfrac{16a^2}{(a^2+2)^2(b^2+2)^2}+\dfrac{16b^2}{(b^2+2)^2(c^2+2)^2}+\dfrac{16c^2}{(c^2+2)^2(a^2+2)^2}$
chứ

sr bạn nha mình xem sai đề
mà hình như đề của bạn sai rồi, dưới mẫu có căn ko z? nếu có căn thì làm được theo cách của mình

uh. mình chép nhầm đề.

nhưng mình không hiểu chỗ

áp dụng AM-GM ta CM được

$(1+2x)(1+2y)(1+2z) \geq 3^3$

suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

cái này cm kiểu gì vậy bạn? giải thích giúp mình với!

uhm, đơn giản thôi
áp dụng AM-GM ta có:
$1+2x= 1+x+x \geq 3\sqrt[3]{x^{2}}$
tương tự với 1+2y, 1+2z thì ta có $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=$3^{3}$$ vì xyz=1

còn chứng minh $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ thì ta áp dụng AM-GM cho 9 số xy, yz, xz, xy, yz, xz, x, y, z và có xyz=1 => đpcm

Nhưng như thế VT và VP đều lớn hơn 3 nên đâu so sánh được đâu bạn?

vừa rồi mình viết nhầm đúng phải là $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
dùng tính chất bắc cầu
$x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq \frac{1}{3}\times 3^{3}=9$

cho $a, b, c$ là các số dương và abc=8. CMR:

$\dfrac{a^2}{(1+a^3)(1+b^3)}+\dfrac{b^2}{(1+b^3)(1+c^3)}+\dfrac{c^2}{(1+c^3)(1+a^3)} \geq \dfrac{4}{3}$

ta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
áp dụng bất đẳng thức trên suy ra
vế trái $\geq \frac{4a^{2}}{\left ( 2+a^{2} \right )\left ( 2+b^{2} \right )}+\frac{4b^{2}}{\left ( 2+b^{2} \right )\left ( 2+c^{2} \right )}+\frac{4c^{2}}{\left ( 2+c^{2} \right )\left ( 2+a^{2} \right )}$
đặt $x=\frac{a^{2}}{4}; y=\frac{b^{2}}{4}; z=\frac{c^{2}}{4}$ khi đó $xyz=1$
ta phải chứng minh $\frac{x}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )}+\frac{y}{\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )}+\frac{z}{\left ( 1+2z \right )\left ( 1+2x \right )}\geq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$
áp dụng bdt AM-GM ta chứng minh được $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

Hiz Bạn làm gần ra thì lại gặp một lỗi sai, đó là đi sai đường ở đoạn sau.
Phải là
$$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + x + y + z \ge 8xyz + 1$$ $$ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + (x + y + z) \ge 9$$
Cái này chỉ cần áp dụng $AM-GM$ thôi.

mình k hiểu lắm, bạn có thể nói rõ mình sai như thế nào ko?

Kết quả thì giống của mình nhưng bạn giải thích rõ hơn đi. A4 lơn nhất chứ sao lại nhỏ nhất, và tại sao a4 = 6? Không hiểu!

trong 7 số thì a4 lớn nhất
chỗ a4 nhỏ nhất bằng 6 vì trong 7 số a4 lớn nhất mà các chữ số khác nhau nên từ các số từ 0->9, a4 phải là một số có ít nhất 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn => a4 = 6,7,8,9 ( tức là giá trị nhỏ nhất của a4 bằng 6). Chẳng hạn như 6 thì có 6 số thuộc khoảng từ 0->9 nhỏ hơn là 0,1,2,3,4,5; 7 thì có 7 số 0,1,2,3,4,5,6, tương tự vs 8, 9
Mình giải thích vậy bạn có hiểu k?

, cách của bạn hay và dễ hiểu hơn!

anh Trọng viết hay quá , cảm xúc dâng trào

Vì các chữ số khác nhau nên $a_{4}$ nhỏ nhất =6
$a_{4}=6$
Chọn $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$ có $C_{5}^{3}$ cách ( trừ chữ số 0 vì $a_{1}\neq 0$)
Chọn $\overline{a_{5}a_{6}a_{7}}$ có $C_{3}^{3}$ cách ( gồm chữ số 0 và 2 chữ số còn lại)
=> TH này có $C_{5}^{3} \times C_{3}^{3}$ số
Tương tự với $a_{4}\epsilon \left \{ 7,8,9 \right \}$
Đáp số: 1560 số

mình làm kém lắm. Còn bạn? 

mình cũng vậy, chán!

Câu 1: Giải pt

1) $cos^{4}x+2cos2x-2sin^{2}x=3$

2) $sin2xcos2x+4sinxcos^{2}x-3sin2x-cos2x-2cosx+3=0$

 

Câu 3:

1) Cho dãy $(x_{n})$ được xác định như sau

 

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+\frac{2013}{x_{n}}), n\geq 1 \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm $lim x_{n}$

Đề thi HSG 11 tỉnh Bắc Giang 2012-2013

Ngày thi 31/3/2013

 

Hôm nay mình cũng thi, bạn làm đc bài k?

trừ 2 pt ta được
$x^3-y^3+y-x=0 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0 \Leftrightarrow x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2=1$
đến đây bạn tự giải được nhé

bạn giải cho mình pt $x^{2}++xy+y^{2}=1$được không? mình bị mắc ở pt đó, còn đoạn trên mình cũng làm được ra đến đó rồi

PT đã cho tương đương với:
$(x+2y-2)^2+\frac{(3y+2)^2(3y-4)^2}{27}+\frac{(9y-7)^2}{81}+\frac{2}{81}=0$
PT này vô nghiệm

sao bạn lại nghĩ ra biến đổi như thế để chứng minh vô nghiệm?

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y=2\\ y^{3}+x=2 \end{matrix}\right.$

Giải hpt:

1.$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+xy-y^{2}-5x+y+2=0\\x^{2}+y^{2}+x+y-4=0 \end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\ y(\sqrt{x^{2}+1}-1)=\sqrt{3(x^{2}+1)} \end{matrix}\right.$

3.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{6-y}=3\\ \sqrt{y-1}+\sqrt{6-x}=3 \end{matrix}\right.$

P/S: Mọi người xem lại bài 3 cho mình nhé, lúc đầu mình post nhầm đề

Làm nào:
Nhận xét:2 PT của hệ có các biến chia đều ở 2 PT.Ta chỉ cần giải từng PT rồi giao chúng lại với nhau.
DKXD:$1\leq x,y\leq 6$
$\sqrt{x-1}+\sqrt{6-x}=3\Leftrightarrow 5+2\sqrt{-x^2+7x-6}=9\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+7x-6}=2\Leftrightarrow -x^2+7x-6=4\Leftrightarrow x^2-7x+10\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2 \\x=5 \end{bmatrix}$
Tưng tự GIải (2),ta được:
$\begin{bmatrix} y=2 \\ y=5 \end{bmatrix}$
Giao lại,ta có hệ có nghiệm: $\begin{bmatrix} x=2,y=2 \\ x=5,y=5 \\ x=2,y=5 \\ x=5,y=2 \end{bmatrix}(Q.E.D)$

oh, sorry mình nhầm đề

Mình nghĩ ở PT đầu là $\frac{y}{x}$.Chứ nếu không thì cùng mẫu việc gì phải để tách ra nhỉ?
DKXD: $x > 0$
PT (1) cho ta: $\frac{y+\sqrt{x}}{x}=\frac{2(y+\sqrt{x})}{y}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y+\sqrt{x}=0 \\ y=2x \end{bmatrix}$$\frac{y+\sqrt{x}}{x}=\frac{2(y+\sqrt{x})}{y}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y+\sqrt{x}=0 \\ y=2x \end{bmatrix}$
Đến đây thay y vào PT 2 ta được x => y

có lẽ mình chép sai đề , nếu cứ như thế mình thấy đề nó là lạ nhưng ko có đề gốc nên ko xem lại được

Câu 1: Có vấn đề (sai đề hoặc nhầm đề)
Từ giả thiết ta có:
$$2x^3+xy-y^2-5x+y+2-(2x-2)(x^2+y^2+x+y-4)=0$$
$$\Rightarrow -xy+y^2+5x+3y-6-2xy^2=0$$
$$\Rightarrow x=\frac{y^2+3y-6}{2y^2+y-5}$$
Thay vào phương trình:
$$x^{2}+y^{2}+x+y-4=0$$
$$\Rightarrow 2\,{\frac { \left( y-1 \right) \left( 2\,{y}^{5}+6\,{y}^{4}-8\,{y}^{3
}-24\,{y}^{2}+13\,y+17 \right) }{ \left( y-5+2\,{y}^{2} \right) ^{2}}}=0$$
$$y \in \{1;1,35872920025512;1,39474032928349;-0,699602211918315\}$$
Thử lại thấy $\{x = 1, y = 1\}, \{x = 0,453917755672023; y = 1,39474032928358\}$ thỏa mãn !
____________________________________
Nếu đề là $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+xy-y^{2}-5x+y+2=0\\x^{2}+y^{2}+x+y-4=0 \end{matrix}\right.$ thì làm như sau:
$2x^{2}+xy-y^{2}-5x+y+2=(x+y-2)(2x-y-1)$ nên dễ dàng làm tiếp !

chắc mình chép nhầm đề đấy, k biết mắt mũi thế nào chép sai mấy câu liền