Cho a₀ = 2005 và a _n+1 = a_n² / (a_n + 1) với n = 0,1,2,...
a) Với n = 1,2,3,4,5 Hãy tính [a_n] (phần nguyên của a_n , tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá a_n ).
b) Chứng minh rằng [a_n] = 2005 - n với mọi 0 <= n <= 1003
( <= là bé hơn hoặc bằng)

x^{2} + $\sqrt{x}$ = 5

 

Hix. Mình cũng thấy nghiệm lẻ. Nếu trong căn là x + 5 thì lại dễ rồi. Dù sao cũng cảm ơn 2 bạn. Mà gõ x^2 thế nào đk nhỉ? Mình là mem mới nên ko rõ lắm???

Cho hàm số $y= x^2 - 4x + 3$
Dựa vào đồ thị (P) của hàm số trên biện luận số nghiệm của phương trình: 
$$|x^2 - 4x + 3| = |m^2 - 4m + 3| $$

( || là dấu giá trị tuyệt đối)

 

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thỏa mãn các bất đẳng thức:

               

 $\frac{a^{2}}{a + b} + \frac{b^{2}}{b + c} + \frac{c^{2}}{c + a} \geq \frac{c^{2}}{b + a} + \frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} \geq \frac{b^{2}}{b + a} + \frac{c^{2}}{b + c} + \frac{a^{2}}{a + c}$ 

 

Thì $\left | a \right | = \left | b \right | = \left |c \right |$

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thỏa mãn các bất đẳng thức:

\frac{a^{2}}{a + b} + \frac{b^{2}}{b + c} + \frac{c^{2}}{c + a} \geq \frac{c^{2}}{b + a} + \frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} \geq \frac{b^{2}}{b + a} + \frac{c^{2}}{b + c} + \frac{a^{2}}{a + c}

thì \left | a \right | = \left | b \right | = \left |c \right |

Cho a,b,c >0, a+b+c = 1. Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ab}-1)}\geq 8$

 

MOD : Chú í tiêu đề

Xét $P^3=(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ca}-1)=\frac{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}{(abc)^2}$

Áp dụng AM-GM ta có $1-ab \geqslant 1-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{(2+a+b)(2-a-b)}{4}=\frac{\left [ (a+1)+(b+1) \right ](c+1)}{4}\geqslant \frac{\sqrt{(a+1)(b+1)}(c+1)}{2}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta có

     $P^3\geqslant \frac{(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}{8(abc)^2}=\frac{1}{8}\left [ \frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc} \right ]^2$

Xét $\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc} =\frac{(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)}{abc}\geqslant \frac{4\sqrt[4]{a^2bc}.4\sqrt[4]{ab^2c}.4\sqrt[4]{abc^2}}{abc}=64$

$\Rightarrow P^3 \geqslant \frac{64^2}{8}=8^3\Rightarrow P\geqslant 8$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cách giải của bạn hay lắm. Nhưng mình đang nghĩ theo một hướng khác. Kiểu như chứng minh thêm 1 bất đẳng thức phụ với căn bậc 3 oy áp dụng có nhanh hơn không nhỉ???

P/s: Bạn fan Ronaldo hả, có thích Real k@@

bạn cũng có thể giải theo cách này

$(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ca}-1)\geq (\frac{4(a+b+c)^{2}}{(a+b)^{2}}-1)(\frac{4(a+b+c)^{2}}{(b+c)^{2}}-1)(\frac{4(a+b+c)^{2}}{(a+c)^{2}}-1)$

có $\frac{4(a+b+c)^{2}}{(a+b)^{2}}-1= (\frac{2(a+b+c)}{a+b}-1)(\frac{2(a+b+c)}{a+b}+1)=(\frac{a+b+2c}{a+b})(\frac{3a+3b+2c}{a+b})\geq \frac{2\sqrt{(a+c)(b+c)}}{(a+b)^{2}}4\sqrt[4]{(a+c)(b+c)(a+b)^{2}}= \frac{8\sqrt[4]{(a+c)^{3}(b+c)^{3}(a+b)^{2}}}{(a+b)^{2}}$

tương tự, sẽ thu được 2 biểu thức còn lại lớn hơn hoặc bằng $\frac{8\sqrt[4]{(a+b)^{3}(b+c)^{3}(a+c)^{2}}}{(a+c)^{2}}$; $\frac{8\sqrt[4]{(a+b)^{3}(a+c)^{3}(b+c)^{2}}}{(b+c)^{2}}$

suy ra VT lớn hơn hoặc bằng $\sqrt[3]{8^{3}\frac{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}}=8$

Hì, cái này có vẻ hơi thiếu tự nhiên tí đoạn đầu bạn nhỉ? Nghĩ ra hướng này cx khá khó, bạn chỉ mình cách suy nghĩ đk k?

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$

 

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z:

$\left | x+y-z \right |+\left | y+z-x \right |+\left | x+z-y \right | \left +| x+y+z \right | \geqslant 2(\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |)$

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z:

$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$

Dấu "=" xảy ra khi nào?

 

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z thì:

$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$

 

Xét $f(x)=\left | x \right |$ là một hàm lồi.

Ta cần chứng minh

$f(x+y-z)+f(y+z-x)+f(z+x-y)+f(x+y+z)\geq f(2x)+f(2y)+f(z)+f(z)$

Giả sử $x\geq y\geq z$. Xét hai bộ $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^{*}$ và $(2x,2y,z,z)^*$

Rõ ràng $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^*\gg (2x,2y,z,z)^*$. Do đó theo bất đẳng thức Karamata ta có đpcm

Hix. Chỉ dùng đến kiến thức thông thường có giải đk ko bạn??? Hàm lồi mình chưa học à; cả bđt Karamata bạn ns nữa. 

cái này thực ra làm thường thì phải liệt kê từng trường hợp thôi mà cái đó thì mình lười lắm, bạn xem quyển sáng tạo bất đẳng thức ấy

Hix. Mình đâu có mà đọc bạn. Liệt kê từng trường hợp là ntn vậy, bạn thử ns hướng mình vs? Mình đag làm theo hướng này:

Đặt x+y-z = a; x+z-y= b; z+y-x= c ==> C/m:

$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | a+b+c \right |\geqslant \left | a+b \right |+\left | b+c \right |+\left | a+c \right |$

Nhưng chứng minh cái này cx chưa ra đk

Đúng hướng rồi, cái này liệt kê ra đơn giản mà(chỉ cần trâu bò một chút thôi) còn sách thì trên mạng có e-book mà

Mình vẫn ko hiểu liệt kê ntn??? Mình áp dụng mãi mấy cái bđt dấu gttđ mà nó cứ sai dấu chỗ /a+b+c/. Mà nếu tìm đk sách thì bài này ở phần nào vậy bạn???

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 4\sqrt{abc}$. Chứng minh:

$a+b+c\geqslant \frac{9}{4}\sqrt{abc}$

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác, chứng minh rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc< \frac{1}{2}$

 

Giải hệ phương trình:

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác đều ABC. Một đường thẳng d tiếp xúc với (I) và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng  $\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}$

Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp đường tròn (O;r) cho trước. Tìm tam giác có diện tích nhỏ nhất

Cho a,b,c là các số dương sao cho a+b+c = abc. Chứng minh rằng: 

$\sum \sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}\geq 2\sqrt{3}$