Tìm GTLN của $P=(a+b+c)\left( {\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \right)$

Cho $a,b,c \in [1,2]$. Tìm GTLN của $P=(a+b+c)\left( {\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-11-2022 - 01:15
Tiêu đề + LaTeX

Cho $a,b,c \in [1,2]$. Tìm GTLN của $P=(a+b+c)\left( {\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \right)$

Tính chất. Xét hàm số bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ trên đoạn $[u,v]$. Khi đó

• Nếu $a>0$ thì $f(x)\le \max\{f(u),f(v)\}$ với mọi $u\le x\le v$.
• Nếu $a<0$ thì$f(x)\ge \min\{f(u),f(v)\}$ với mọi $u\le x\le v$.

Quay lại bài toán. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(2,2,1)$ hoặc $(a,b,c)=(2,1,1)$ cùng các hoán vị, do vậy ta sẽ chứng minh

\[(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le 10.\]

Bất đẳng thức trên tương đương $(a+b+c)(ab+bc+ca)-10abc\le 0$. Xét hàm số

\[f(a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-10abc\]

với $1\le a\le 2$. Thấy rằng hàm số này là tam thức bậc hai với hệ số cao nhất dương, áp dụng tính chất trên thì chỉ cần chứng minh

\[f(1)=(1+b+c)(b+c+bc)-10bc\le 0 \quad \text{và}\quad f(2)=(2+b+c)(2b+2c+bc)-20bc\le 0.\]

Thấy rằng $f(1),f(2)$ đều là tam thức bậc hai. Lại một lần nữa sử dụng tính chất là ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 22-11-2022 - 15:04