Chủ đề này có 5 trả lời

[namvk]

Từ một điểm $P$ ở ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $PE,PF$ tới đường tròn ($E,F$ là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua $P$, cắt đường tròn tại hai điểm $A,B$ ($A$ nằm giữa $P$ và $B$) và cắt $EF$ tại $Q$.
a) Khi cát tuyến đi qua $O$, Chứng minh : $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{QA}{QB} \textbf{ (1)}$

b) Đẳng thức $(1)$ có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm $O$?
Hãy chứng minh điều đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-03-2013 - 00:19

[ilovemath97]

a) Khi cát tuyến qua O.

Ta có: $PE^{2}=PQ.PO=PA.PB$, lại do $O$ trung điểm $AB$, suy ra

$(PQAB)=-1$ nên có $\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

b) Khi cát tuyến ko qua O, giả sử cát tuyến này cắt $(O)$ tại $A', B'$, cắt $EF$ tại $Q'$, vẽ $OK$ vuông góc $PB'$

Ta có lần lượt các hệ thức: $PE^{2}=PQ.PO==PQ'.PK$, $PE^{2}$ cũng bằng $PA'.PB'$, để ý $K$ trung điểm $A'B'$, nên $(PQ'A'B')=-1$

Từ đó $\frac{PA'}{PB'}=\frac{Q'A'}{Q'B'}$
Nên cát tuyến ko qua tâm thì bài toán vẫn đúng

Hình gửi kèm

• 

[ilovelife]

a) Khi cát tuyến qua O.

Ta có: $PE^{2}=PQ.PO=PA.PB$, lại do $O$ trung điểm $AB$, suy ra

$(PQAB)=-1$ nên có $\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$.

b) Khi cát tuyến ko qua O, giả sử cát tuyến này cắt $(O)$ tại $A', B'$, cắt $EF$ tại $Q'$, vẽ $OK$ vuông góc $PB'$

Ta có lần lượt các hệ thức: $PE^{2}=PQ.PO==PQ'.PK$, $PE^{2}$ cũng bằng $PA'.PB'$, để ý $K$ trung điểm $A'B'$, nên $(PQ'A'B')=-1$

Từ đó $\frac{PA'}{PB'}=\frac{Q'A'}{Q'B'}$
Nên cát tuyến ko qua tâm thì bài toán vẫn đúng

Anh có thể đưa về lời giải = kiến thức THCS không ạ ? Và giải thích giúp em đoạn $(PQAB)=-1$

[nhatquangsin]

Đây là cách THCS khá đơn giản.
Gọi bán kính (O) là R
Ta có: $\frac{PA}{PB}=\frac{PO-R}{PO+R}$
$\frac{QA}{QB}=\frac{R-OQ}{R+OQ}$
Ta cần CM:$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$$\Leftrightarrow \frac{OP-R}{OP+R}=\frac{R-OQ}{R+OQ}$
Dùng phép biến đổi tương đương ta được điều cần chứng minh là:
OP.OQ=R²(điều này đúng)
$\Rightarrow$$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

[nhatquangsin]

Cho mình mượn tạm hình
Biến đổi tương tự câu a thì điều phải chứng minh là:KB'²=KQ'.KP
Vì $\Delta PQQ'\sim \Delta PKO$
$\Rightarrow$PQ.PO=PQ'.PK
Mà PQ.PO=PE² $\Rightarrow$ PE²=PQ'.PK
Ta có: KQ'.KP=PK²-PQ'.PK=PK²-PE²=PK²-PO²+R²=R²-OK²=KB'²(đpcm)
Vậy với PAB là cát tuyến bất kì thì$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

[PSW]

Chấm bài: 

nhatquangsin 10 điểm