Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A,B là tiếp điểm ) và một đưởng thẳng qua M cắt đường tròn tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E,F,K lần lượt là các giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO,MD,OI.
1) Chứng mình rằng $R^2 = OE.OM = OI.OK$
2) Chứng minh rằng 5 điểm M,A,B,O,I cùng thuộc một đường tròn
3) Khi CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh rằng $\widehat{DEC}=2\widehat{DBC}$
Mượn hình của em BlackSelena nên làm câu a, b thôi nhé (câu c vẽ lại hình nữa =.=")
a) Trong tam giác $MBO$ vuông tại $B$ có $BE$ là đường cao ứng với cạnh huyền $MO$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:
$OB^2=OE.OM$ hay $R^2=OE.OM$
Ta có 2 điểm $B$ và $I$ cùng nhìn đoạn $MO$ cố định dưới một góc $90^o$ không đổi nên tứ giác $BIOM$ nội tiếp.
$\rightarrow \widehat{IBO}=\widehat{IMO}$ $(1)$
Chứng minh tương tự ta được tứ giác $IKME$ nội tiếp.
$\rightarrow \widehat{IKE}=\widehat{IME}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat{IKE}=\widehat{IBO}$
$\rightarrow \Delta OBI\sim \Delta OKB$
$\rightarrow \frac{OB}{OI}=\frac{OK}{OB}$
$\rightarrow OB^2=OI.OK$ hay $R^2=OI.OK$.
b) Chứng minh tương tự như câu a ta được $Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-07-2012 - 10:51