Chủ đề này có 12 trả lời

[QUANVU]

a)Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{a_n\}_{n=1}^\infty là dãy các số nguyên lớn hơn http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?1. Chứng minh rằng nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x>0 là số vô tỉ thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n,ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_n là phần lẻ của http://dientuvietnam...a_{n-1}...a_1x.

b)Tìm tất cả dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{a_n\}_{n=1}^\infty các số nguyên dương, sao cho tồn tại vô hạn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x\in(0;1) thỏa mãn http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?n.

Nhìn lại các bài toán của Bulgaria TST 2006

[emvaanh]

a) Giả sử ngược lại có số vô tỉ x>0 và có N>0 sao cho x_n<=1/a_{n+1} với mọi x>=N.
Vì x vô tỉ nên dấn <= có thể thay bằng <. Nghĩa là ta có x_n<1/a_{n+1} với mọi x>=N.
Do vậy a_{N+1}x_N <1=>a_{N+1}{a_1...a_Nx}={a_{N+1}a_1...a_Nx}x_{N+1}<1/a_{N+2}, suy ra x_N<1/(a_{N+1}.a_{N+2})
Bằng quy nạp ta được x_N.<1/(a_{N+1}....a_n) với mọi n>N.
Từ đó suy ra x_N=0, vô lí với tính vô tỉ của x.
b) Hiển nhiên dãy a_n trước hết phải có tính chất a_n>1 với mọi n.
Bây giờ ta sẽ tìm tất cả các x trong (0,1) (nếu có) thỏa tính chất bài toán.
Đặt c_1=[a_1x], c_{n+1}=[a_{n+1}x_n] khi đó 0<=c_1<a_1;0<c_n<a_n với mọi n>1.
Để ý: c_1=< a_1x < c_1+1. hay c_1/a_1=<x<c_1/a_1+1/a_1
c_2=< a_2x_1=a_2(a_1x-c_1) < c_2+1 suy ra c_1/a_1+c_2/(a_1a_2)=<x<c_1/a_1+c_2/(a_1a_2)+1/(a_1a_2)
Đặt d_1=1/a_1; d_2=1/a_1.1/a_2;...;
Bằng quy nạp ta CM được: c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n<=x<c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n+d_n.
Đặt en=c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n, fn=c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n+d_n.
Khi đó e_1<e_2<....<e_n<f_n<=f_{n-1}<=...<f_1.
x phải thỏa e_n<x<f_n với mọi n. Khi đó x chỉ có thể là lim e_n (=lim f_n).

Từ tính chất này ta suy ra ta phải tìm vô số dãy c1,c2,...,cn,.... thỏa 0<=c_1<a_1;0<c_n<a_n sao cho
x=lim c1d1+c2d2+....cndn thuộc (0,1) và thỏa bài toán.
Từ đây ta suy ra dãy a_n phải có vô hạn số khác 2.
Ngược lại với một dãy có vô hạn số khác 2 thì mọi số x có dạng
lim c1d1+c2d2+...+cndn, với ci=1 nếu ai=2 ; ci=1 hoặc 2 nếu ai>2 đều thỏa.
Hiển nhiên có vô số số x như vây.
Tóm lại mọi dãy cần tìm là những dãy số có tính chất an>=2 và có vô hạn số >2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 11-08-2006 - 21:06

[QUANVU]

{a_(N+1}x_N}<1/a_{N+2}.

Chỗ này là vì sao vậy?Ý bạn là có {a{b}}<={ab}??
Cậu viết không cẩn thận làm tôi kiểm tra lâu quá

[emvaanh]

với b>0,a nguyên duong nếu a{b}<1 thi {ab}=a{b}

[QUANVU]

với b>0,a nguyên duong nếu a{b}<1 thi {ab}=a{b}

Cậu hiểu nhầm ý mình,cậu đọc bài post trên kia đi!Thế này nhé: cậu chỉ cần giải thích rõ cái phần mình quote ra là xong!Mình đang ở ngoài quán cậu viết rõ ra nhé!

[emvaanh]

Xét b>0 và a nguyen duong và a{b}<1 khi dó ab=a[b]+a{b}, suy ra {ab}={a{b}}=a{b} ( do a{b}<1).
The chac da on roi nhi?

[QUANVU]

a) Giả sử ngược lại có số vô tỉ x>0 và có N>0 sao cho x_n<=1/a_{n+1} với mọi x>=N.
Vì x vô tỉ nên dấn <= có thể thay bằng <. Nghĩa là ta có x_n<1/a_{n+1} với mọi x>=N.
Do vậy a_{N+1}x_N <1=>a_{N+1}{a_1...a_Nx}={a_{N+1}a_1...a_Nx}=x_{N+1}<1/a_{N+2}, suy ra x_N<1/(a_{N+1}.a_{N+2})
Bằng quy nạp ta được  x_N.<1/(a_{N+1}....a_n) với mọi n>N.
Từ đó suy ra x_N=0, vô lí với tính vô tỉ của x.

Sửa lúc nào không nói ?

Bây giờ câu a) mình nghĩ bạn làm đúng .Về khách sạn thôi,không người ta đóng cửa.Đêm nay ở một mình,dễ hư lắm đây Mai ktr câu b)...

Xét b>0 và a nguyen duong và a{b}<1 khi dó ab=a[b]+a{b}, suy ra {ab}={a{b}}=a{b} ( do a{b}<1).
The chac da on roi nhi?

Đã bảo hiểu nhầm mà.Tôi có hỏi cái này đâu ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QUANVU: 11-08-2006 - 21:20

[QUANVU]

Mình kiểm tra tiếp nhé,sẽ kiểm tra nghiêm túc nên hỏi câu nào linh tinh bạn thông cảm.Giá mà bạn dùng được http://dientuvietnam...metex.cgi?LaTex thì kiểm tra nhanh hơn rất nhiều

b)
Đặt c_1=[a_1x], c_{n+1}=[a_{n+1}x_n] khi đó 0<=c_1<a_1;0<c_n<a_n với mọi n>1.
Để ý:  c_1=< a_1x < c_1+1. hay c_1/a_1=<x<c_1/a_1+1/a_1
c_2=< a_2x_1=a_2(a_1x-c_1) < c_2+1 suy ra c_1/a_1+c_2/(a_1a_2)=<x<c_1/a_1+c_2/(a_1a_2)+1/(a_1a_2)
Đặt d_1=1/a_1; d_2=1/a_1.1/a_2;...;
Bằng quy nạp ta CM được: c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n<=x<c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n+d_n.
Đặt en=c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n, fn=c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n+d_n.
Khi đó e_1<e_2<....<e_n<f_n<=f_{n-1}<=...<f_1.
x phải thỏa e_n<x<f_n với mọi n. Khi đó x chỉ có thể là lim e_n (=lim f_n).

Đoạn này đúng,xem x là số có t/c đó.

Từ tính chất này ta suy ra ta phải tìm vô số dãy c1,c2,...,cn,....  thỏa 0<=c_1<a_1;0<c_n<a_n sao cho
x=lim c1d1+c2d2+....cndn thuộc (0,1) và thỏa bài toán.

Nhưng cái đoạn này là vì sao?Lại là chuyển về bt khác

[emvaanh]

Từ tính chất này ta suy ra ta phải tìm vô số dãy c1,c2,...,cn,.... thỏa 0<=c_1<a_1;0<c_n<a_n sao cho
x=lim c1d1+c2d2+....cndn thuộc (0,1) và thỏa bài toán.
Từ đây ta suy ra dãy a_n phải có vô hạn số khác 2.

Vi sao nhu vay u?
voi day c1,c2,...,cn,.... thỏa 0<=c_1<a_1;0<c_n<a_n.
Dat en=c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n, fn= fn=c_1d_1+c_2d_2+...+c_nd_n+d_n,
Khi do xet x= lim en, khi do x=lim fn (dey xn tang ngat, fn giam)
x thoa bai toan khi va chi khi en<x<fn voi moi n>1.
(that vay neu e2<x<f2 suy ra e1<x<f1, nen c_1<a_1x<c_1+1, suy ra {a_1x}=a_1x-c_1 (1)
Tu e2<x<f2 suy ra c_2/a_2<a_1x-c_1<(c_2+1)/a_2<=1 (2)
tu (1),(2) suy ra {a_1x}>1/a_2.
Voi y tuong tuong tu ta co dpcm...)
Vi e1<e2<...-->e nen hien nhien en<x voi moi n.
Van de con lai la lam sao cho fn>x voi moi n. De ý f1>=f2>=...>=fn-->x.
De fn>x voi moi n <=> khong xay ra truong hop mot luc nao do day fn la hang<=> co vo so i: fi>f(i+1) <=>co vo so i de c(i+1)<a(i+1)-1 (vi fi=f(i+1) <=>c(i+1)=a(i+1)-1) <=> co vo so i de a(i+1)>2
(nen nho o day la ta da Cm tuong duong luon)
Con phan sau bai toan la chuyen don gian...

[QUANVU]

Mình xin lỗi là cậu viết quá ẩu,cái chính thì ko nói,toàn nói cái đâu đâu .Cũng tại mình và cậu không hiểu ý nhau lắm nên cậu trả lời cái mà mình không hỏi.Thôi được rồi,mình sẽ in chủ đề này ra ,về khách sạn kiểm tra cho tiện.Nếu được,tối mình sẽ hỏi tiếp

Đây là lần thứ 2 tớ nhắc:Học dùng LaTex và gõ tiếng Việt có dấu đi!

[QUANVU]

Mình xin lỗi là cậu viết quá ẩu,cái chính thì ko nói,toàn nói cái đâu đâu .Cũng tại mình và cậu không hiểu ý nhau lắm nên cậu trả lời cái mà mình không hỏi.Thôi được rồi,mình sẽ in chủ đề này ra ,về khách sạn kiểm tra cho tiện.Nếu được,tối mình sẽ hỏi tiếp

Đây là lần thứ 2 tớ nhắc:Học dùng LaTex và gõ tiếng Việt có dấu đi!

Hì hì ,đọc kĩ thì không phải là không có lý Nhưng mình còn một câu hỏi nữa.Trước khi nêu nó ra ,mình sẽ viết lại theo ý của bạn câu b) để cho ai quan tâm thì tiện theo dõi hơn.Tình hình là như thế này:emvaanh sẽ định chứng minh mệnh đề sau:''Dãy http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a_n) thỏa mãn khi và chỉ khi tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=\{n|a_n>2\} là tập vô hạn'' .Để có bạn đã c/m hai chiều,dưới đây là ý của bạn mà tôi viết lại(nếu tôi hiểu đúng ý bạn).

Điều kiện cần.Giả sử http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a_n) là dãy thỏa mãn và x là một trong những số như vậy,thế là http://dientuvietnam...{n-1}<=...<f_1.
x phải thỏa http://dientuvietnam...mimetex.cgi?e_n (=lim http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_n).Đến đây suy ra http://dientuvietnam...imetex.cgi?(f_n) không thể là dãy hằng kể từ lúc nào đó trở đi vì nếu vậy http://dientuvietnam...metex.cgi?x=f_n với n nào đó!Suy ra có vô hạn i để http://dientuvietnam...cgi?f_i>f_{i 1} hay có vô hạn i để http://dientuvietnam...{i 1}>1 c_{i 1} hay tập A là tập vô hạn.
Điều kiện đủ.Giả sử A là tập vô hạn.Dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(c_n) gọi là dãy tốt nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c_i=1 khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_i=2,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c_i=1 hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2 khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_i>2.Với mỗi dãy tốt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(c_i)
Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d_i xác định như phần điều kiện cần.
Khi đó xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c_1<a_1x<c_1+1, suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{a_1x\}=a_1x-c_1 (1).Từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?e_2<x<f_2 suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{a_1x\}>\dfrac{1}{a_2},...

Bây giờ emvaanh c/m cái 3) được không?Mà tôi ngờ rằng việc c/m 1 không đơn giản,liệu x=1 được không?Bạn làm rõ ra nhé!

[emvaanh]

Trước hết để ý dãy tốt của tôi khác dãy tốt của QUANVU một xíu:
0<=c1<=a1-1;cn=1 nếu an=2, cn=1, hoặc 2 nếu an>2.

1) x thuộc (0,1), vi x<f1=(c1+1)/a1<=1
2) một dãy tốt cho một số x thỏa đề (đã CM)
(hơn nữa ta còn có công thức tính ci theo x như đã trình bày đầu tiên nhất
c1=[a1x], c_{n+1}=[a_{n+1}{a1...anx}]
3) hai dãy tốt khác nhau cho hai số khác nhau thỏa đề.
điều này hiển nhiên vì công thức trên.

kết luận cuối cùng và cũng xin dừng lại ở đây là:
mọi dãy cần tìm: a1,a2 ,... thỏa a1 bất kì ( có thể =1), an>1 với n>1, và tồn tại vô số n để an>2.

[QUANVU]

Trước hết để ý dãy tốt của tôi khác dãy tốt của QUANVU một xíu:
0<=c1<=a1-1;cn=1 nếu an=2, cn=1, hoặc 2 nếu an>2.

1) x thuộc (0,1), vi x<f1=(c1+1)/a1<=1

Biết thế nào bạn cũng trả lời vậy mà ý tôi là liệu có thể x=f_1?

3) hai dãy tốt khác nhau cho hai số khác nhau thỏa đề.
điều  này hiển nhiên vì công thức trên.

Công thức ngay trên á?Cái đó làm sao đảm bảo được?

Cuối cùng mình nghĩ rằng cái dãy tốt bạn phải trọn để có ''ít'' đẳng thức a_i=c_i+1 thôi thì mới được!